2.3: El teorema fundamental de la aritmética
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El Teorema Fundamental de la Aritmética es uno de los resultados más importantes de este capítulo. Simplemente dice que cada entero positivo puede escribirse de manera única como un producto de primos. La factorización única es necesaria para establecer gran parte de lo que viene después. Hay sistemas donde la factorización única no logra sostenerse. Muchos de estos ejemplos provienen de la teoría algebraica de números. De hecho, podemos enumerar un ejemplo fácil donde falla la factorización única.
Considera la clase\(C\) de enteros pares positivos. Tenga en cuenta que\(C\) se cierra bajo multiplicación, lo que significa que el producto de cualquiera de dos elementos en\(C\) está nuevamente adentro\(C\). Supongamos ahora que el único número que conocemos son los miembros\(C\). Entonces tenemos\(12=2.6\) es compuesto donde como\(14\) es primo ya que no es producto de dos números en\(C\). Ahora fíjense que\(60=2.30=6.10\) y así la factorización no es única.
Ahora damos ejemplos de la factorización única de enteros.
\(99=3\cdot 3\cdot 11=3^2\cdot 11\),
\(32=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^5\)
El teorema fundamental de la aritmética
Para probar el teorema fundamental de la aritmética, necesitamos probar algunos lemas sobre la divisibilidad.
Lema 4
Si a, b, c son enteros positivos tales que\((a,b)=1\) y\(a \mid bc\), entonces\(a\mid c\).
Ya que\((a,b)=1\), entonces existen enteros\(x,y\) tales que\(ax+by=1\). Como resultado,\(cax+cby=c\). Observe que desde\(a \mid bc\), entonces por el Teorema 4,\(a\) divide\(cax+cby\) y por lo tanto\(a\) divide\(c\).
Podemos generalizar el lema anterior como tal: Si\((a_,n_i)=1\) por cada\(i=1,2,\cdots,n\) y\(a\mid n_1n_2\cdots n_{k+1}\), entonces\(a\mid n_{k+1}\). A continuación probamos un caso de esta generalización y lo usamos para probar el teorema fundamental de la aritmética.
lemma5
Si\(p\) divide\(n_1n_2n_3...n_k\), donde p es un primo y\(n_i >0\) para todos\(1\leq i\leq k\), entonces hay un entero\(j\) con\(1\leq j\leq k\) tal que\(p \mid n_j\).
Presentamos la prueba de este resultado por inducción. Pues\(k=1\), el resultado es trivial. Supongamos ahora que el resultado es cierto para\(k\). Considera\(n_1n_2...n_{k+1}\) que es divisible por\(p\). Observe que ya sea
\[(p,n_1n_2...n_k)=1\ \ \mbox{or} \ \ (p,n_1n_2...n_{k})=p.\]
Ahora si\((p,n_1n_2...n_k)=1\) entonces por Lema 4,\(p \mid n_{k+1}\). Ahora si\(p\mid n_1n_2...n_k\), entonces por la hipótesis de inducción, existe un entero\(i\) tal que\(p\mid n_i\).
Ahora declaramos el teorema fundamental de la aritmética y presentamos la prueba usando Lemma 5.
Teorema: El teorema fundamental de la aritmética
Cada entero positivo diferente de 1 se puede escribir únicamente como un producto de primos.
Si\(n\) es un número entero primo, entonces\(n\) sí mismo se erige como un producto de primos con un solo factor. Si\(n\) es compuesto, utilizamos la prueba por contradicción. Supongamos ahora que hay algún entero positivo que no se puede escribir como producto de primos. Dejar\(n\) ser el más pequeño tal entero. Dejar\(n=ab\), con\(1<a<n\) y\(1<b<n\). Como resultado\(a\) y\(b\) son productos de primos ya que ambos enteros son menores que\(n\). En consecuencia,\(n=ab\) es producto de primos, contradiciendo que no lo es. Esto demuestra que cada entero puede escribirse como producto de primos. Ahora demostramos que la representación de un entero positivo como producto de primos es única. Supongamos ahora que hay un entero\(n\) con dos factorizaciones diferentes digamos
\[n=p_1p_2...p_s=q_1q_2...q_r\]
donde\(p_1,p_2,...p_s,q_1,q_2,...q_r\) estan los primos,\[p_1\leq p_2 \leq p_3\leq ...\leq p_s \mbox{and} \ \ q_1 \leq q_2 \leq q_3 \leq ... \leq q_r.\] Cancele todos los primos comunes de las factorizaciones anteriores para obtener
\[p_{j_1}p_{j_2}...p_{j_u}=q_{i_1}q_{i_2}...q_{i_v}\]
Así, todos los primos del lado izquierdo son diferentes de los primos del lado derecho. Dado que cualquier\(p_{j_l}\)\((l=1,\cdots,n)\) división\(p_{j_1}p_{j_2}...p_{j_u}\), entonces\(p_{j_l}\) debe dividir\(q_{i_1}q_{i_2}...q_{i_v}\), y por lo tanto por Lema 5,\(p_{j_1}\) debe dividir\(q_{j_k}\) para algunos\(1\leq k \leq v\) lo cual es imposible. De ahí que la representación sea única.
[anotación1] La representación única de un entero positivo\(n\) como producto de primos se puede escribir de varias maneras. Presentaremos las representaciones más comunes. Por ejemplo,\(n=p_1p_2p_3...p_k\) donde\(p_i\) para no\(1\leq i\leq k\) son necesariamente distintos. Otro ejemplo sería\[n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}...p_j^{a_j}\] donde todos los\(p_i\) son distintos para\(1\leq i\leq j\). También se puede escribir un producto formal\[n=\prod_{all\hspace{0.1cm} primes\hspace{0.1cm} p_i}p_i^{\alpha_i},\] donde todos menos finitamente muchos de los\(\alpha_i's\) son 0.
La factorización prima de 120 viene dada por
\(120=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=2^3\cdot 3\cdot 5.\)
Observe que 120 está escrito de las dos formas descritas en [anotación1].
Sabemos describir en general cómo se puede utilizar la factorización de primos para determinar el mayor divisor común de dos enteros. Let
\[a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n} \hspace{0.3cm}\mbox{and} \ \ b=p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_n^{b_n},\]
donde excluimos en estas expansiones cualquier primo\(p\) con potencia 0 en ambos\(a\) y\(b\) (y así algunas de las potencias anteriores pueden ser 0 en una expansión pero no en la otra). Por supuesto, si un primo\(p_i\) aparece en\(a\) pero no en\(b\), entonces\(a_i\neq 0\) mientras\(b_i=0\), y viceversa. Entonces el mayor divisor común viene dado por
\[(a,b)=p_1^{\min(a_1,b_2)}p_2^{min(a_2,b_2)}...p_n^{\min(a_n,b_n)}\]
donde\(\min(n,m)\) es el mínimo de\(m\) y\(n\).
El siguiente lema es consecuencia del Teorema Fundamental de la Aritmética.
Lema
Let\(a\) y\(b\) ser números enteros positivos primos relativamente. Entonces si\(d\) divide\(ab\), existe\(d_1\) y\(d_2\) tal que\(d=d_1d_2\) donde\(d_1\) es un divisor de\(a\) y\(d_2\) es un divisor de\(b\). Por el contrario, si\(d_1\) y\(d_2\) son divisores positivos de\(a\) y\(b\), respectivamente, entonces\(d=d_1d_2\) es un divisor positivo de\(ab\).
Dejar\(d_1=(a,d)\) y\(d_2=(b,d)\). Desde\((a,b)=1\) y la escritura\(a\) y\(b\) en cuanto a su descomposición primordial, es claro que\(d=d_1d_2\) y\((d_1,d_2)=1\). Tenga en cuenta que cada poder primordial en la factorización de\(d\) debe aparecer en cualquiera\(d_1\) o\(d_2\). También deben aparecer los poderes primos en la factorización de\(d\) que son poderes primos dividiendo\(d_1\) y en los que\(a\) deben aparecer los poderes primos en la factorización de\(d\) que son poderes primos dividiendo\(b\)\(d_2\).
Ahora a la inversa, dejar\(d_1\) y\(d_2\) ser divisores positivos de\(a\) y\(b\), respectivamente. Entonces\[d=d_1d_2\] es un divisor de\(ab\).
Más sobre la infinitud de Primes
También hay otros teoremas que discuten la infinitud de primos en una progresión aritmética dada. El teorema más famoso sobre primos en progresión aritmética es el teorema de Dirichlet
Teorema de Dirichlet
Dada una progresión aritmética de términos\(an+b\), para\(n=1, 2, ...\), la serie contiene un número infinito de primos si\(a\) y\(b\) son relativamente primos,
Este resultado había sido conjeturado por Gauss pero primero fue probado por Dirichlet. Dirichlet demostró este teorema usando análisis complejos, pero la prueba es muy desafiante. Como resultado, presentaremos un caso especial de este teorema y demostraremos que hay infinitamente muchos primos en una progresión aritmética dada. Antes de exponer el teorema sobre el caso especial del teorema de Dirichlet, probamos un lema que se utilizará en la prueba del teorema mencionado.
Si\(a\) y\(b\) son enteros ambos de la forma\(4n+1\), entonces su producto\(ab\) es de la forma\(4n+1\)
Vamos\(a=4n_1+1\) y\(b=4n_2+1\), entonces\[ab=16n_1n_2+4n_1+4n_2+1=4(4n_1n_2+n_1+n_2)+1=4n_3+1,\] dónde\(n_3=4n_1n_2+n_1+n_2\).
Hay infinitamente muchos primos de la forma\(4n+3\), donde\(n\) es un entero positivo.
Supongamos que hay finitamente muchos primos de la forma\(4n+3\), digamos\(p_0=3,p_1,p_2,...,p_n\). Deje\[N=4p_1p_2...p_n+3.\] Notar que cualquier primo impar es de la forma\(4n+1\) o\(4n+3\). Entonces hay al menos un primo en la factorización prima\(N\) de la forma\(4n+3\), ya que de lo contrario, por Lemma 7,\(N\) estará en la forma\(4n+1\). Deseamos demostrar que este prime en la factorización de no\(N\) es ninguno de\(p_0=3,p_1,p_2,...,p_n\). Observe que si\[3\mid N,\] entonces\(3 \mid (N-3)\) y por lo tanto\[3 \mid 4p_1p_2...p_n\] que es imposible ya que\(p_i\neq 3\) para cada\(i\). De ahí que 3 no se divida\(N\). Además, los otros primos\(p_1,p_2,...,p_n\) no dividen\(N\) porque si\(p_i \mid N\), entonces\[p_i\mid (N-4p_1p_2...p_n)=3.\] De ahí que ninguno de los primos\(p_0,p_1,p_2,...,p_n\) divide a N. Así hay infinitamente muchos primos de la forma\(4n+3\).
Ejercicios
- Encuentra la factorización prima de 32, de 800 y de 289.
- Encuentra la factorización prime de 221122 y de 9!.
- Demuestre que todos los poderes de en la factorización prima de un entero\(a\) son incluso si y solo si a es un cuadrado perfecto.
- Demuestre que hay infinitamente muchos primos de la forma\(6n+5\).