2.6: La función [x]. los símbolos “O”, “o” y “∼”
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Iniciamos esta sección introduciendo una importante función teórica de números. Se procede a definir algunos símbolos convenientes que se utilizarán en relación con el crecimiento y comportamiento de algunas funciones que se definirán en capítulos posteriores.
La función\([x]\)
La función\([x]\) representa el entero más grande que no excede\(x\). En otras palabras, de verdad\(x\),\([x]\) es el entero único tal que
\[x-1<[x]\leq x<[x]+1.\]
También definimos\(((x))\) que es la parte fraccionaria de\(x\). En otras palabras\(((x))=x-[x]\).
Nota
Ahora enumeramos algunas propiedades de las\([x]\) que se utilizarán en cursos posteriores o más avanzados en teoría de números.
- \([x+n]=[x]+n\), si\(n\) es un número entero.
- \([x]+[y]\leq [x+y]\).
- \([x]+[-x]\)es 0 si\(x\) es un número entero y -1 en caso contrario.
- El número de enteros\(m\) para los que\(x<m\leq y\) es\([y]-[x]\).
- El número de múltiplos de los\(m\) cuales no exceden\(x\) es\([x/m]\).
Usando la definición de\([x]\), será fácil ver que las propiedades anteriores son consecuencias directas de la definición.
Ahora definimos algunos símbolos que serán utilizados para estimar el crecimiento de las funciones teóricas numéricas. Estos símbolos no serán realmente apreciados en el contexto de este libro pero estos se utilizan a menudo en muchas pruebas analíticas.
Los símbolos “O” y “o”
Dejar\(f(x)\) ser una función positiva y dejar\(g(x)\) ser cualquier función. Entonces\(O(f(x))\) (pronunciado “big-oh” de\(f(x)\)) denota la colección de funciones\(g(x)\) que exhiben un crecimiento que se limita al de\(f(x)\) en algún aspecto. La notación tradicional para afirmar que\(g(x)\) pertenece a esta colección es:\[g(x)=O(f(x)).\] Esto significa que para suficientemente grande\(x\),
\[\frac{\mid g(x)\mid }{|f(x)|}<M,\]
aquí\(M\) hay algún número positivo.
\(\sin (x)=O(x)\), y también\(\sin(x)=O(1)\).
Ahora bien, la relación\(g(x)=o(f(x))\), pronunciada “peque-oh” de\(f(x)\), se utiliza para indicar que\(f(x)\) crece mucho más rápido que\(g(x)\). Se dice formalmente que
\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{g(x)}{f(x)}=0.\]
De manera más general,\(g(x)=o(f(x))\) en un punto\(b\) si
\[\lim_{x\rightarrow b}\frac{g(x)}{f(x)}=0.\]
\(\sin(x)=o(x)\)en\(\infty\), y\(x^k=o(e^x)\) también en\(\infty\) para cada constante\(k\).
La notación que\(f(x)\) es asintóticamente igual a\(g(x)\) se denota por\(\sim\). Formalmente hablando, decimos que\(f(x) \sim g(x)\) si
\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1.\]
\([x] \sim x\).
El propósito de introducir estos símbolos es simplificar las expresiones matemáticas complicadas. Algunas expresiones se pueden representar como la parte principal que necesitas más un término restante. El término restante se puede expresar usando las notaciones anteriores. Entonces, cuando necesitas combinar varias expresiones, las partes restantes que involucran estos símbolos se pueden combinar fácilmente. Vamos a exponer ahora algunas propiedades de los símbolos anteriores sin pruebas. Estas propiedades son fáciles de probar usando las definiciones de los símbolos.
- \(O(O(f(x)))=O(f(x))\),
- \(o(o(f(x)))=o(f(x))\).
- \(O(f(x))\pm O(f(x))=O(f(x))\),
- \(o(f(x)\pm o(f(x))=o(f(x))\),
- \(O(f(x))\pm O(g(x))=O(\max(f(x), g(x)))\),
Hay algunas otras propiedades que no mencionamos aquí, propiedades que rara vez se utilizan en pruebas teóricas numéricas.
Ejercicios
- Demostrar las cinco propiedades del\([x]\)
- Demostrar las cinco propiedades de las\(o\) anotaciones\(O\) y en el Ejemplo 24.