2.5: Ecuaciones Diofantinas Lineales
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En esta sección, discutimos ecuaciones en dos variables llamadas ecuaciones diofantinas. Este tipo de ecuaciones requieren soluciones enteras. El objetivo de esta sección es presentar el conjunto de puntos que determinan la solución a este tipo de ecuaciones. Geométricamente hablando, la ecuación diofantina representa la ecuación de una línea recta. Necesitamos encontrar los puntos cuyas coordenadas son números enteros y por los cuales pasa la línea recta.
Una ecuación lineal de la forma\(ax+by=c\) donde\(a,b\) y\(c\) son enteros se conoce como una ecuación diofantina lineal.
Tenga en cuenta que una solución a la ecuación diofantina lineal\((x_0,y_0)\) requiere\(x_0\) y\(y_0\) ser enteros. El siguiente teorema describe el caso en el que la ecuación diofantina tiene una solución y cuáles son las soluciones de tales ecuaciones.
La ecuación\(ax+by=c\) tiene soluciones enteras si y solo si\(d\mid c\) donde\(d=(a,b)\). Si la ecuación tiene una solución\(x=x_0\)\(y=y_0\), entonces hay infinitamente muchas soluciones y las soluciones están dadas por\[x=x_0+(b/d)t \ \ \ \ \ y=y_0-(a/d)t\] donde\(t\) es un entero arbitrario.
Supongamos que la ecuación\(ax+by=c\) tiene solución entera\(x\) y\(y\). Así desde\(d\mid a\) y\(d\mid b\), entonces\[d\mid (ax+by)=c.\] Ahora tenemos que demostrar que si\(d\mid c\), entonces la ecuación tiene solución integral. Asumir eso\(d\mid c\). Por teorema 9, existen enteros\(m\) y\(n\) tal que\[d=am+bn.\] Y también existe entero\(k\) tal que\[c=dk\] Ahora ya que\(c=ax+by\), tenemos\[c=dk=(ma+nb)k=a(km)+b(nk).\] De ahí una solución para la ecuación\(ax+by=c\) es\[x_0=km \ \ \mbox{and} \ \ y_0=kn.\] Lo que queda por probar es que tenemos infinitamente muchos soluciones. Vamos\[x=x_0+(b/d)t \ \ \mbox{and} \ \ y=y_0-(a/d)t.\] Tenemos que demostrar ahora que\(x\) y\(y\) son soluciones para todos los enteros\(t\). Observe que Ahora\[ax+by=a(x_0+(b/d)t)+b(y_0-(a/d)t)=ax_0+by_0=c.\] mostramos que cada solución para la ecuación\(ax+by=c\) es de la forma\[x=x_0+(b/d)t \mbox{and} \ \ y=y_0-(a/d)t.\] Notar que ya que\(ax_0+by_0=c\), tenemos\[a(x-x_0)+b(y-y_0)=0.\] De ahí\[a(x-x_0)=b(y-y_0).\] Dividiendo ambos lados por\(d\), obtenemos\[a/d(x-x_0)=b/d(y-y_0).\] Notar eso\((a/d,b/d)=1\) y así obtenemos por Lema 4 eso\(a/d\mid y-y_0\). Como resultado, existe un entero\(t\) tal que\(y=y_0-(a/d)t\). Ahora sustituyendo\(y-y_0\) en la ecuación\[a(x-x_0)=b(y-y_0).\] Obtenemos\[x=x_0+(b/d)t.\]
La ecuación no\(3x+6y=7\) tiene solución entera porque\((3,6)=3\) no divide\(7\).
Hay infinitamente muchas soluciones enteras para la ecuación\(4x+6y=8\) porque\((4,6)=2 \mid 8\). Utilizamos el algoritmo euclidiano para determinar\(m\) y\(n\) dónde\(4m+6n=2\). Resulta que\(4(-1)+6(1)=2\). Y también\(8=2.4\). Así\(x_0=4.(-1)=-4\) y\(y_0=4.1=4\) es una solución particular. Las soluciones están dadas por\[x=-4+3t \ \ \ \ \ y=4-2t\] para todos los enteros\(t\).
Ejercicios
- O encuentra todas las soluciones o prueba que no hay soluciones para la ecuación diofantina\(21x+7y=147.\)
- O encuentra todas las soluciones o prueba que no hay soluciones para la ecuación diofantina\(2x+13y=31.\)
- O encuentra todas las soluciones o prueba que no hay soluciones para la ecuación diofantina\(2x+14y=17.\)
- Un tendero ordena manzanas y plátanos a un costo total de 8.4 dólares. Si las manzanas cuestan 25 centavos cada una y los plátanos 5 centavos cada una, cuántos de cada tipo de fruta ordenó.