2.7: Teoremas y Conjeturas que involucran números primos

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Hemos demostrado que hay infinitamente muchos primos. También hemos demostrado que existen grandes brechas arbitrarias entre primos. La pregunta que surge naturalmente aquí es la siguiente: ¿Podemos estimar cuántos primos hay menos que un número dado? El teorema que responde a esta pregunta es el teorema del número primo. Denotamos por\(\pi(x)\) el número de primos menor que un número positivo dado\(x\). Muchos matemáticos trabajaron en este teorema y conjeturaron muchas estimaciones antes de que Chebyshev finalmente afirmara que la estimación es\(x/log x\). El teorema de los números primos fue finalmente probado en 1896 cuando Hadamard y Poussin produjeron pruebas independientes. Antes de afirmar el teorema de números primos, declaramos y probamos un lema que involucra primos que se utilizará en los próximos capítulos.

Lema

\(p\)Déjese ser un prime y deja\(m\in \mathbb{Z^+}\). Entonces el mayor poder de\(p\) dividir\(m!\) es\[\sum_{i=1}^\infty\left[\frac{m}{p^i}\right]\]

Entre todos los enteros desde 1 hasta\(m\), hay exactamente\(\left[\frac{m}{p}\right]\) enteros que son divisibles por\(p\). Estos son\(p,2p,...,\left[\frac{m}{p}\right]p\). De igual manera vemos que hay\(\left[\frac{m}{p^i}\right]\) enteros que son divisibles por\(p^i\). Como resultado, el mayor poder de\(p\) división\(m!\) es

\[\sum_{i\geq 1}i\left\{\left[\frac{m}{p^i}\right]-\left[\frac{m}{p^{i+1}}\right]\right\}=\sum_{i\geq 1} \left[\frac{m}{p^i}\right]\]

El teorema de los números primos

Vamos\(x>0\) entonces\[\pi(x)\sim x/log x\]

Entonces este teorema dice que no es necesario encontrar todos los primos menos que\(x\) para averiguar su número, bastará con evaluar\(x/log x\) para grandes\(x\) para encontrar una estimación del número de primos. Observe que mencioné que\(x\) tiene que ser lo suficientemente grande para poder utilizar esta estimación.

Varios otros teoremas fueron probados concernientes a números primos. muchos grandes matemáticos abordaron problemas que están relacionados con primos. Todavía quedan muchos problemas abiertos de los cuales mencionaremos algunos.

Conjetura Twin Prime

Hay infinitamente muchos pares primos\(p\) y\(p+2\).

Conjetura de Goldbach

Cada entero positivo par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos primos.

El\(n^2+1\) Conjecture

Hay infinitamente muchos primos de la forma\(n^2+1\), donde\(n\) es un entero positivo.

Conjetura de Polignac

Por cada número par\(2n\) hay infinitamente muchos pares de primos consecutivos que difieren en\(2n\).

Conjetura de Opperman

¿Siempre hay un prime entre\(n^2\) y\((n+1)^2\)?

Colaboradores y Atribuciones

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