3: Congruencias
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Una congruencia no es más que una declaración sobre la divisibilidad. La teoría de las congruencias fue introducida por Carl Friedreich Gauss. Gauss contribuyó a las ideas básicas de congruencias y demostró varios teoremas relacionados con esta teoría. Comenzamos por introducir congruencias y sus propiedades. Se procede a probar teoremas sobre el sistema de residuos en relación con la\(\phi\) función de Euler. Luego presentamos soluciones a congruencias lineales que servirán de introducción al teorema del resto chino. Presentamos finalmente importantes teoremas de congruencia derivados de Wilson, Fermat y Euler.
- 3.1: Introducción a las congruencias
- Como mencionamos en la introducción, la teoría de las congruencias fue desarrollada por Gauss a principios del siglo XIX.
- 3.3: Congruencias lineales
- Debido a que las congruencias son análogas a las ecuaciones, es natural preguntar por soluciones de ecuaciones lineales. En esta sección, vamos a discutir congruencias lineales de una variable y sus soluciones.
- 3.4: El teorema del resto chino
- En esta sección, se discute la solución de un sistema de congruencias que tiene diferentes módulos. Un ejemplo de este tipo de sistemas es el siguiente; encontrar un número que deja un resto de 1 cuando se divide por 2, un resto de 2 cuando se divide por tres y un resto de 3 cuando se divide por 5. Este tipo de preguntas pueden traducirse al lenguaje de las congruencias. Como resultado, en este capítulo, presentamos una manera sistemática de resolver este sistema de congruencias.
- 3.5: Teoremas de Fermat, Euler y Wilson
- En esta sección presentamos tres aplicaciones de congruencias. El primer teorema es el teorema de Wilson que afirma que (p−1)! +1 es divisible por p, para p prime. A continuación, presentamos el teorema de Fermat, también conocido como pequeño teorema de Fermat que establece que ap y a tienen los mismos restos cuando se dividen por p donde pa. Finalmente presentamos el teorema de Euler que es una generalización del teorema de Fermat y establece que para cualquier entero positivo m que es relativamente primo a un entero a.