4.1: Definiciones y Propiedades
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Una función aritmética es una función cuyo dominio de definición es el conjunto\(\mathbb{N}\) de enteros positivos.
Una función aritmética\(f\) se llama multiplicativa si\(f(ab)=f(a)f(b)\) para todos\(a,b\in\mathbb{N}\) tales que\((a,b)=1\).
Una función aritmética\(f\) se llama completamente multiplicativa si\[f(ab)=f(a)f(b)\] para todos los enteros positivos\(a,b\).
La función\(f(a)=1\) donde\(k\) es una función completamente multiplicativa ya que\[f(ab)=1=f(a)f(b).\] Observe también que una función completamente multiplicativa es una función multiplicativa pero no de otra manera.
Ahora probamos un teorema sobre las funciones multiplicativas. Nos interesará estudiar las propiedades de las funciones multiplicativas más que las completamente multiplicativas.
Dada una función multiplicativa\(f\). \(n=\prod_{k=1}^sp_k^{a_k}\)Sea la principal factorización de\(n\). Entonces\[f(n)=\prod_{k=1}^sf(p_k^{a_k}).\]
Demostramos este teorema por inducción sobre el número de primos en la factorización de\(n\). Supongamos que\(n=p_1^{a_1}\). De esta manera el resultado sigue fácilmente. Supongamos ahora que para\[n=\prod_{k=1}^sp_k^{a_k},\] nosotros tenemos\[f(n)=\prod_{k=1}^sf(p_k^{a_k}).\] Así que tenemos que probar que si\[n=\prod_{k=1}^{s+1}p_k^{a_k},\] entonces\[f(n)=\prod_{k=1}^{s+1}f(p_k^{a_k}).\] Observe que para\[n=\prod_{k=1}^{s+1}p_k^{a_k},\] nosotros tenemos\((\prod_{k=1}^{s}p_k^{a_k},p_{s+1}^{a_{s+1}})=1\). Así tenemos\[f(n)=f(\prod_{k=1}^{s+1}p_k^{a_k})=f(\prod_{k=1}^{s}p_k^{a_k})f(p_{s+1}^{a_{s+1}})\] que conseguir que por el paso inductivo da\[f(\prod_{k=1}^{s+1}p_k^{a_k})=f(n)=\prod_{k=1}^{s+1}f(p_k^{a_k}).\]
Del teorema anterior, podemos ver que para evaluar una función multiplicativa en un entero, bastará con conocer el valor de la función en los primos que están en la factorización primo del número.
Ahora definimos funciones sumatorias que representan la suma de los valores de una función dada en los divisores de un número dado.
Dejar\(f\) ser una función aritmética. Definir\[F(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\] Entonces\(F\) se llama la función sumatoria de\(f\).
Esta función determina la suma de los valores de la función aritmética en los divisores de un entero dado.
Si\(f(n)\) es una función aritmética, entonces\[F(18)=\sum_{d\mid 18}f(d)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)+f(9)+f(18).\]
Si\(f\) es una función multiplicativa, entonces la función sumatoria de\(f\) denotada por también\(F(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\) es multiplicativa.
Tenemos que probarlo\(F(mn)=F(m)F(n)\) cuando sea\((m,n)=1\). Tenemos\[F(mn)=\sum_{d\mid mn}f(d).\] Notice que por Lemma 6, cada divisor de\(mn\) puede escribirse únicamente como un producto de divisores relativamente primos\(d_1\) de\(m\) y\(d_2\) de\(n\), además el producto de dos divisores cualesquiera de\(m\) y\(n\) es un divisor de\(mn\). Así conseguimos\[F(mn)=\sum_{d_1\mid m, d_2\mid n}f(d_1d_2)\] Notar que ya que\(f\) es multiplicativo, tenemos\[\begin{aligned} F(mn)&=& \sum_{d_1\mid m, d_2\mid n}f(d_1d_2)\\&=&\sum_{d_1\mid m, d_2\mid n}f(d_1)f(d_2)\\&=&\sum_{d_1\mid m}f(d_1)\sum_{d_2\mid n} f(d_2)=F(m)F(n) \end{aligned}\]
Ejercicios
- Determinar si las funciones aritméticas\(f(n)=n!\) y\(g(n)=n/2\) son completamente multiplicativas o no.
- Defina la función aritmética\(g(n)\) de la siguiente manera. g (n) =1 si\(n=1\) y 0 para\(n>1\). Demostrar que\(g(n)\) es multiplicativo.