4.2: Funciones teóricas de números multiplicativos
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Ahora presentamos varias funciones teóricas de números multiplicativos que jugarán un papel crucial en muchos resultados teóricos numéricos. Comenzamos discutiendo la función phi-function de Euler que se definió en un capítulo anterior. Luego definimos la función de suma de divisores y la función de número de divisores junto con sus propiedades.
El Euler\(\phi\) -Función
Como se definió anteriormente, la\(\phi\) función Euler cuenta el número de números enteros más pequeños que y relativamente primos a un entero dado. Primero calculamos el valor de la\(phi\) función -en primos y poderes primos.
Si\(p\) es primo, entonces\(\phi(p)=p-1\). Por el contrario, si\(p\) es un entero tal que\(\phi(p)=p-1\), entonces\(p\) es primo.
La primera parte es obvia ya que cada entero positivo menor que\(p\) es relativamente primo a\(p\). Por el contrario, supongamos que no\(p\) es primo. Entonces\(p=1\) o\(p\) es un número compuesto. Si\(p=1\), entonces\(\phi(p)\neq p-1\). Ahora si\(p\) es compuesto, entonces\(p\) tiene un divisor positivo. Por lo tanto\(\phi(p)\neq p-1\). Tenemos una contradicción y por lo tanto\(p\) es primo.
Ahora encontramos el valor de\(\phi\) at prime powers.
Dejar\(p\) ser un primo y\(m\) un entero positivo, entonces\(\phi(p^m)=p^m-p^{m-1}\).
Tenga en cuenta que todos los enteros que son relativamente primos a\(p^m\) y que son menores que\(p^m\) son aquellos que no son múltiples de\(p\). Esos enteros son\(p,2p,3p,...,p^{m-1}p\). Hay\(p^{m-1}\) de esos enteros que no son relativamente primos a\(p^m\) y que son menores que\(p^m\). Por lo tanto\[\phi(p^m)=p^m-p^{m-1}.\]
\(\phi(7^3)=7^3-7^2=343-49=294\). También\(\phi(2^{10})=2^{10}-2^9=512.\)
Ahora demostramos que\(\phi\) es una función multiplicativa.
Let\(m\) y\(n\) ser dos números enteros positivos relativamente primos. Entonces\(\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)\).
Denotar\(\phi(m)\) por\(s\) y dejar\(k_1,k_2,...,k_s\) ser un módulo de sistema de residuo reducido\(m\). De igual manera, denotar\(\phi(n)\) por\(t\) y dejar\(k_1',k_2',...,k_t'\) ser un módulo de sistema de residuo reducido\(n\). Observe que si\(x\) pertenece a un módulo de sistema de residuos reducidos\(mn\), entonces\[(x,m)=(x,n)=1.\] Así\[x\equiv k_i(mod\ m) \mbox{and} \ \ x\equiv k_j'(mod \ n)\] para algunos\(i,j\). Por el contrario, si\[x\equiv k_i(mod\ m) \mbox{and} \ \ x\equiv k_j'(mod \ n)\] algunos\(i,j\) entonces\((x,mn)=1\) y por lo tanto\(x\) pertenece a un módulo de sistema de residuo reducido\(mn\). Así, se\(mn\) puede obtener un módulo de sistema de residuo reducido determinando todos los\(x\) que son congruentes a\(k_i\) y\(k_j'\) módulo\(m\) y\(n\) respectivamente. Por el teorema del resto chino, el sistema de ecuaciones\[x\equiv k_i(mod\ m) \mbox{and} \ \ x\equiv k_j'(mod \ n)\] tiene una solución única. Así diferente\(i\) y\(j\) dará respuestas diferentes. Por lo tanto\(\phi(mn)=st\).
Ahora derivamos una fórmula para\(\phi(n)\).
\(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_s^{a_s}\)Déjese ser la factorización primordial de\(n\). Entonces\[\phi(n)=n\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)...\left(1-\frac{1}{p_s}\right).\]
Por el Teorema 37, podemos ver que para todos\(1\leq i\leq k\)\[\phi(p_i^{a_i})=p_i^{a_i}-p_i^{a_i-1}=p_i^{a_i}\left(1-\frac{1}{p_i}\right).\] Así por el Teorema 38,\[\begin{aligned} \phi(n)&=&\phi(p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_s^{a_s})\\&=& \phi(p_1^{a_1})\phi(p_2^{a_2})...\phi(p_s^{a_s})\\&=&p_1^{a_1}\left(1-\frac{1}{p_1}\right) p_2^{a_2}\left(1-\frac{1}{p_2}\right)...p_s^{a_s}\left(1-\frac{1}{p_s}\right)\\&=& p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)... \left(1-\frac{1}{p_s}\right)\\&=& n\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)...\left(1-\frac{1}{p_s}\right).\end{aligned}\]
Tenga en cuenta que\[\phi(200)=\phi(2^35^2)=200\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)=80.\]
Dejar\(n\) ser un entero positivo mayor que 2. Entonces\(\phi(n)\) es parejo.
Vamos\(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}\). Ya que\(\phi\) es multiplicativo, entonces\[\phi(n)=\prod_{j=1}^k\phi(p_j^{a_j}).\] Así por el Teorema 39,\[\phi(p_j^{a_j})=p_j^{a_j-1-1}(p_j-1).\] tenemos Vemos entonces\(\phi(p_j^{a_j})\) es par si\(p_j\) es un primo impar. Observe también que si\(p_j=2\), entonces se deduce que\(\phi(p_j^{a_j})\) es par. De ahí\(\phi(n)\) que sea parejo.
Dejar\(n\) ser un entero positivo. Entonces\[\sum_{d\mid n}\phi(d)=n.\]
Dividir los enteros de 1 a\(n\) en clases. Poner un entero\(m\) en la clase\(C_d\) si el mayor divisor común de\(m\) y\(n\) es\(d\). Así, el número de enteros en la\(C_d\) clase es el número de enteros positivos\(n/d\) que no exceden los que son relativamente primos a n/d Así tenemos\(\phi(n/d)\) enteros en\(C_d\). Así vemos que\[n=\sum_{d\mid n}\phi(n/d).\] As\(d\) recorre todos los divisores de\(n\), también lo hace\(n/d\). De ahí\[n=\sum_{d\mid n}\phi(n/d)=\sum_{d\mid n}\phi(d).\]
La función de suma de divisores
La función de suma de divisores, denotada por\(\sigma(n)\), es la suma de todos los divisores positivos de\(n\).
\(\sigma(12)=1+2+3+4+6+12=28.\)
Tenga en cuenta que podemos expresarnos\(\sigma(n)\) como\(\sigma(n)=\sum_{d\mid n}d\).
Ahora demostramos que\(\sigma(n)\) es una función multiplicativa.
La función de suma de divisores\(\sigma(n)\) es multiplicativa.
Hemos demostrado en el Teorema 35 que la función sumatoria es multiplicativa una vez\(f\) es multiplicativa. Así dejar\(f(n)=n\) y notar que\(f(n)\) es multiplicativo. En consecuencia,\(\sigma(n)\) es multiplicativo.
Una vez que descubrimos que\(\sigma(n)\) es multiplicativo, queda por evaluar\(\sigma(n)\) a potencias de primos y de ahí podemos derivar una fórmula para sus valores en cualquier entero positivo.
Dejar\(p\) ser un primo y dejar\(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_t^{a_t}\) ser un entero positivo. Entonces\[\sigma(p^a)=\frac{p^{a+1}-1}{p-1},\] y como resultado,\[\sigma(n)=\prod_{j=1}^{t}\frac{p_j^{a_j+1}-1}{p_j-1}\]
Observe que los divisores de\(p^{a}\) son\(1,p,p^2,...,p^a\). Así\[\sigma(p^a)=1+p+p^2+...+p^a=\frac{p^{a+1}-1}{p-1}.\] donde la suma anterior es la suma de los términos de una progresión geométrica.
Ahora como\(\sigma(n)\) es multiplicativo, tenemos\[\begin{aligned} \sigma(n)&=&\sigma(p^{a_1})\sigma(p^{a_2})...\sigma(p^{a_t})\\&=& \frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1}.\frac{p_2^{a_2+1}-1}{p_2-1}...\frac{p_t^{a_t+1}-1}{p_t-1}\\ &=&\prod_{j=1}^{t}\frac{p_j^{a_j+1}-1}{p_j-1}\end{aligned}\]
\(\sigma(200)=\sigma(2^35^2)=\frac{2^4-1}{2-1}\frac{5^3-1}{5-1}=15.31=465.\)
La función del número de divisores
La función de número de divisores, denotada por\(\tau(n)\), es la suma de todos los divisores positivos de\(n\).
\(\tau(8)=4.\)
También podemos expresarnos\(\tau(n)\) como\(\tau(n)=\sum_{d\mid n}1\).
También podemos probar que\(\tau(n)\) es una función multiplicativa.
La función de número de divisores\(\tau(n)\) es multiplicativa.
Por Teorema 36, con\(f(n)=1\),\(\tau(n)\) es multiplicativo.
También encontramos una fórmula que evalúa\(\tau(n)\) para cualquier entero\(n\).
Dejar\(p\) ser un primo y dejar\(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_t^{a_t}\) ser un entero positivo. Entonces\[\tau(p^a)=a+1,\] y como resultado,\[\tau(n)=\prod_{j=1}^{t}(a_j+1).\]
Los divisores de\(p^{a}\) como se mencionó anteriormente son\(1,p,p^2,...,p^a\). Por lo tanto\[\tau(p^a)=a+1\]
Ahora como\(\tau(n)\) es multiplicativo, tenemos\[\begin{aligned} \tau(n)&=&\tau(p^{a_1})\tau(p^{a_2})...\tau(p^{a_t})\\&=& (a_1+1)(a_2+1)...(a_t+1)\\ &=&\prod_{j=1}^{t}(a_j+1).\end{aligned}\]
\(\tau(200)=\tau(2^35^2)=(3+1)(2+1)=12\).
Ejercicios
- Encontrar\(\phi(256)\) y\(\phi(2.3.5.7.11)\).
- \(\phi(5186)=\phi(5187)\)Demuéstralo.
- Encuentra todos los enteros positivos\(n\) tales que\(\phi(n)=6\).
- Mostrar que si\(n\) es un entero positivo, entonces\(\phi(2n)=\phi(n)\) si\(n\) es impar.
- Mostrar que si\(n\) es un entero positivo, entonces\(\phi(2n)=2\phi(n)\) si\(n\) es par.
- Mostrar que si\(n\) es un entero impar, entonces\(\phi(4n)=2\phi(n)\).
- Encuentra la suma de divisores enteros positivos y el número de divisores enteros positivos de 35
- Encuentra la suma de divisores enteros positivos y el número de divisores enteros positivos de\(2^53^45^37^313\).
- Qué enteros positivos tienen un número impar de divisores positivos.
- Qué enteros positivos tienen exactamente dos divisores positivos.