5.4: Introducción a los residuos cuadráticos y no residuos

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La pregunta que tenemos que responder en esta sección es la siguiente. If\(p\) es un primo impar y\(a\) es un entero relativamente primo a\(p\). Es\(a\) un módulo cuadrado perfecto\(p\).

Dejar\(m\) ser un entero positivo. Un entero\(a\) es un residuo cuadrático de\(m\) if\((a,m)=1\) y la congruencia\(x^2\equiv a (mod \ m)\) es solucionable. Si la congruencia no\(x^2\equiv a (mod \ m)\) tiene solución, entonces\(a\) es un no residuo cuadrático de\(m\).

Observe eso\(1^2=6^2\equiv 1(mod \ 7)\),\(3^2=4^2\equiv 2(mod \ 7)\) y\(2^2=5^2\equiv 4(mod \ 7)\). Así\(1,2,4\) son residuos cuadráticos módulo 7 mientras que\(3,5,6\) son cuadráticos no residuos módulo 7.

Dejar\(p\neq 2\) ser un número primo y\(a\) es un entero tal que\(p\nmid a\). Entonces ya sea un módulo cuadrático no residuo\(p\) o\[x^2\equiv a(mod \ p)\] tiene exactamente dos soluciones incongruentes módulo\(p\).

Si\(x^2\equiv a(mod \ p)\) tiene una solución, digamos\(x=x'\), entonces\(-x'\) es una solución también. Observe eso\(-x' \not\equiv x'(mod \ p)\) porque entonces\(p\mid 2x'\) y por lo tanto\(p\nmid x_0\).

Ahora demostramos que no hay más de dos soluciones incongruentes. Supongamos que\(x=x'\) y ambas\(x=x''\) son soluciones de\(x^2\equiv a(mod \ p)\). Entonces tenemos\[(x')^2- (x'')^2=(x'+x'')(x'-x'')\equiv 0(mod \ p).\] Por lo tanto\[x'\equiv x''(mod \ p)\ \ \mbox{or} \ \ x'\equiv -x''(mod \ p).\]

El siguiente teorema determina el número de enteros que son residuos cuadráticos módulo un primo impar.

Si\(p\neq 2\) es un primo, entonces hay exactamente el módulo de residuos\((p-1)/2\) cuadráticos\(p\) y el módulo\((p-1)/2\) cuadrático de no residuos\(p\) en el conjunto de enteros\(1,2...,p-1\).

Para encontrar todos los residuos cuadráticos de\(p\) entre todos los enteros\(1,2,...,p-1\), determinamos el módulo\(p\) de residuo menos positivo de\(1^2,2^2,...,(p-1)^2\). Considerando las\(p-1\) congruencias y debido a que cada congruencia no tiene solución o bien dos soluciones incongruentes, debe haber exactamente residuos\((p-1)/2\) cuadráticos de\(p\) entre\(1,2,...,p-1\). Así los restantes son no residuos\((p-1)/2\) cuadráticos de\(p\).

Ejercicios

Encuentra todos los residuos cuadráticos de 3.
Encuentra todos los residuos cuadráticos de 13.
encontrar todos los residuos cuadráticos de 18.
Mostrar que si\(p\) es primo y\(p\geq 7\), entonces siempre hay dos residuos cuadráticos consecutivos de\(p\). Pista: Mostrar que al menos uno de\(2,5\) o 10 es un residuo cuadrático de\(p\).
Mostrar que si\(p\) es primo y\(p\geq 7\), entonces siempre hay dos residuos cuadráticos de\(p\) que difieren en 3.

Colaboradores y Atribuciones

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