5.6: La Ley de Reciprocidad Cuadrática
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Dado eso\(p\) y\(q\) son primos impares. Supongamos que sabemos si\(q\) es un residuo cuadrático de\(p\) o no. La pregunta que esta sección responderá es si\(p\) será un residuo cuadrático de\(q\) o no. Antes de exponer la ley de reciprocidad cuadrática, presentaremos un Lema de Eisenstein el cual será utilizado en la prueba de la ley de reciprocidad. El siguiente lema relacionará el símbolo de Legendre con los puntos de celosía de conteo en el triángulo.
Lema de Eisenstein
Si\(p\neq 2\) es un primo y\(a\) es un entero impar tal que\(p\nmid a\), entonces
\[\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^{\sum_{i=1}^{(p-1)/2}[ia/p]}.\]
Considerar los residuos menos positivos de los enteros\(a, 2a,...,((p-1)/2)a\); dejar\(m_1,m_2,...,m_s\) ser enteros de este conjunto tal que\(m_i>p/2\) para todos\(i\) y dejar que\(n_1,n_2,...,n_t\) sean aquellos enteros donde\(n_i<p/2\). Usando el algoritmo de división, vemos que\[ia=p[ia/p]+r\] donde\(r\) está uno de los\(m_i\) o\(n_i\). Al sumar las\((p-1)/2\) ecuaciones, obtenemos
\[\label{qr1} \sum_{i=1}^{(p-1)/2}ia=\sum_{i=1}^{(p-1)/2}p[ia/p]+\sum_{i=1}^sm_i+\sum_{i=1}^tn_i.\]
Como en la prueba del Lema de Gauss, vemos que\[p-m_1,p-m_2,...,p-m_s,p-n_1,p-n_2,...,p-n_t\] son precisamente los enteros\(1,2,...,(p-1)/2\), en el mismo orden. Ahora obtenemos
\[\label{qr2} \sum_{i=1}^{(p-1)/2}i=\sum_{i=1}^s(p-m_i)+\sum_{i=1}^tn_i=ps-\sum_{i=1}^sm_i+\sum_{i=1}^tn_i.\]Nos restamos\((\ref{qr2})\) de\((\ref{qr1})\) para obtener\[\sum_{i=1}^{(p-1)/2}ia-\sum_{i=1}^{(p-1)/2}i=\sum_{i=1}^{(p-1)/2}p[ia/p]-ps+2\sum_{i=1}^sm_i.\]
Ahora como estamos tomando los siguientes como exponentes para\(-1\), basta con mirarlos módulo 2. Así
\[0\equiv \sum_{i=1}^{(p-1)/2}[ia/p]-s(mod \ 2).\]\[\sum_{i=1}^{(p-1)/2}[ia/p]\equiv s(mod \ 2)\]Usando el lema de Gauss, obtenemos
\[\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^s=(-1)^{\sum_{i=1}^{(p-1)/2}[ia/p]}.\]
La Ley de Reciprocidad Cuadrática
Dejar\(p\) y\(q\) ser primos impares distintos. Entonces
\[\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2}}\]
Consideramos ahora los pares de enteros también conocidos como puntos de celosía\((x,y)\) con\[1\leq x\leq (p-1)/2 \mbox{and} \ \ 1\leq y\leq (q-1)/2.\] El número de tales pares es\(\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2}\). Dividimos estos pares en dos grupos dependiendo de los tamaños de\(qx\) y\(py\). Tenga en cuenta que\(qx\neq py\) para todos los pares porque\(p\) y\(q\) son primos distintos.
Ahora contamos los pares de enteros\((x,y)\) con\[1\leq x\leq (p-1)/2, \ \ 1\leq y\leq (q-1)/2 \mbox{and} \ \ qx>py.\] Tenga en cuenta que estos pares son precisamente aquellos donde
\[1\leq x\leq (p-1)/2 \mbox{and} \ \ 1\leq y\leq qx/p.\]
Por cada valor fijo de\(x\) con\(1\leq x\leq (p-1)/2\), hay\([qx/p]\) enteros satisfactorios\(1\leq y\leq qx/p\). En consecuencia, el número total de pares con son
\[1\leq x\leq (p-1)/2, \ \ 1\leq y\leq qx/p, \mbox{and} \ \ qx>py\]es\[\sum_{i=1}^{(p-1)/2}[qi/p].\]
Consideremos ahora el par de enteros\((x,y)\) con
\[1\leq x\leq (p-1)/2, \ \ 1\leq y\leq (q-1)/2, \mbox{and} \ \ qx<py.\]
Del mismo modo, encontramos que el número total de tales pares de enteros es
\[\sum_{i=1}^{(q-1)/2}[pi/q].\]
Sumando los números de pares en estas clases, vemos eso\[\sum_{i=1}^{(p-1)/2}[qi/p]+ \sum_{i=1}^{(q-1)/2}[pi/q]=\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2},\] y de ahí usando Lemma 14, obtenemos eso
\[\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2}}\]
Ejercicios
- Evaluar\(\left(\frac{3}{53}\right)\).
- Evaluar\(\left(\frac{31}{641}\right)\).
- Usando la ley de la reciprocidad cuadrática, mostrar que si\(p\) es un primo impar, entonces\[\left(\frac{3}{p}\right)=\left\{\begin{array}{lcr} \ 1 &{\mbox{if}\ p\equiv \pm1(mod \ 12)} \\ \ -1 &{\mbox{if}\ p\equiv \pm 5(mod \ 12)}. \\ \end{array}\right .\]
- Mostrar que si\(p\) es un primo impar, entonces\[\left(\frac{-3}{p}\right)=\left\{\begin{array}{lcr} \ 1 &{\mbox{if}\ p\equiv 1(mod \ 6)} \\ \ -1 &{\mbox{if}\ p\equiv -1 (mod \ 6)}. \\ \end{array}\right .\]
- Encuentra una congruencia describiendo todos los primos para los cuales 5 es un residuo cuadrático.