5.7: Símbolo Jacobi
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En esta sección, definimos el símbolo jacobi que es una generalización del símbolo Legendre. El símbolo Legendre se definió en términos de primos, mientras que el símbolo Jacobi se generalizará para cualquier número entero impar y se dará en términos de símbolo de Legendre.
Let\(n\) Ser un entero positivo impar con factorización prima
\[n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_m^{a_m}\]
y dejar\(a\) ser un número entero relativamente primo a\(n\), entonces
\[\left(\frac{a}{n}\right)=\prod_{i=1}^m\left(\frac{a}{p_i}\right)^{c_i}.\]
Observe que a partir de la factorización prime de 45, obtenemos que\[\left(\frac{2}{55}\right)=\left(\frac{2}{5}\right)\left(\frac{2}{11}\right)=(-1)(-1)=1\]
Ahora probamos algunas propiedades para el símbolo jacobi que son similares a las propiedades del símbolo Legendre.
propiedades en Jacobi symbol
Dejar\(n\) ser un entero positivo impar\(a\) y let y\(b\) ser enteros tales que\((a,n)=1\) y\((b,n)=1\). Entonces
- si\(n \mid (a-b)\), entonces\[\left(\frac{a}{n}\right)=\left(\frac{b}{n}\right).\]
- \[\left(\frac{ab}{n}\right)=\left(\frac{a}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right).\]
Pruebas
Comprobante de 1
Tenga en cuenta que si\(p\) está en la factorización prima de\(n\), entonces tenemos eso\(p\mid (a-b)\). De ahí que por el Teorema 70, obtenemos que
\[\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right).\]
Como resultado, tenemos
\[\left(\frac{a}{n}\right)=\prod_{i=1}^m\left(\frac{a}{p_i}\right)^{c_i}= \prod_{i=1}^{m}\left(\frac{b}{p_i}\right)^{c_i}\]
Comprobante de 2
Tenga en cuenta que por Teorema 71, tenemos\(\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)\) para cualquier primo\(p\) que aparezca en la factorización prima de\(n\). Como resultado, tenemos
\[\begin{aligned} \left(\frac{ab}{n}\right)&=&\prod_{i=1}^m\left(\frac{ab}{p_i}\right)^{c_i}\\ &=&\prod_{i=1}^m\left(\frac{a}{p_i}\right)^{c_i}\prod_{i=1}^m\left(\frac{b}{p_i}\right)^{c_i} \\&=&\left(\frac{a}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right).\end{aligned}\]
En el siguiente teorema, determinamos\(\left(\frac{-1}{n}\right)\) y\(\left(\frac{2}{n}\right)\).
Nota
Let\(n\) Ser un entero positivo impar. Entonces
- \[\left(\frac{-1}{n}\right)=(-1)^{(n-1)/2}.\]
- \[\left(\frac{2}{n}\right)=(-1)^{(n^2-1)/8}.\]
Pruebas
Comprobante de 1
Si\(p\) está en la factorización prima de\(n\), entonces por el Corolario 3, vemos eso\(\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{(p-1)/2}\). Así
\[\begin{aligned} \left(\frac{-1}{n}\right)&=&\prod_{i=1}^m\left(\frac{-1}{p_i}\right)^{c_i}\\ \\ &=& (-1)^{\sum_{i=1}^mc_i(p_i-1)/2}.\end{aligned}\]
Observe que ya que\(p_i-1\) es par, tenemos
\[p_i^{a_i}=(1+(p_i-1))^{c_i}\equiv 1+c_i(p_i-1)(mod \ 4)\]
y de ahí obtenemos
\[n=\prod_{i=1}^mp_i^{c_i}\equiv 1+\sum_{i=1}^mc_i(p_i-1)(mod \ 4).\]
Como resultado, tenemos\[(n-1)/2\equiv \sum_{i=1}^mc_i(p_i-1)/2 \ (mod \ 2).\]
Comprobante de 2
Si\(p\) es un primo, entonces por el Teorema 72 tenemos
\[\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{(p^2-1)/8}.\]De ahí\[\left(\frac{2}{n}\right)=(-1)^{\sum_{i=1}^mc_i(p_i^2-1)/8}.\]
Porque\(8 \mid p_i^2-1\), vemos de manera similar que
\[(1+(p_i^2-1))^{c_i}\equiv 1+c_i(p_i^2-1)(mod \ 64)\]y por lo tanto\[n^2\equiv 1+\sum_{i=1}^mc_i(p_i^2-1) (mod \ 64),\]
lo que implica que
\[(n^2-1)/8\equiv \sum_{i=1}^mc_i(p_i^2-1)/8 (mod \ 8).\]
Ahora demostramos que la ley de reciprocidad sostiene para el símbolo jacobi.
Let\((a,b)=1\) Ser enteros positivos impares. Entonces
\[\left(\frac{b}{a}\right)\left(\frac{a}{b}\right)=(-1)^{\frac{a-1}{2}.\frac{b-1}{2}}.\]
Observe que desde\(a=\prod_{j=1}^mp_i^{c_i}\) y\(b=\prod_{i=1}^nq_i^{d_i}\) obtenemos
\[\left(\frac{b}{a}\right)\left(\frac{a}{b}\right)= \prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^m\left[\left(\frac{p_j}{q_i}\right)\left(\frac{q_i}{p_j}\right)\right]^{c_jd_i}\]
Por la ley de la reciprocidad cuadrática, obtenemos
\[\left(\frac{b}{a}\right)\left(\frac{a}{b}\right)= (-1)^{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mc_j\left(\frac{p_j-1}{2}\right)d_i\left(\frac{q_i-1}{2}\right)}\]
Al igual que en la prueba de la parte 1 del Teorema 75, vemos que
\[\sum_{j=1}^mc_j\left(\frac{p_j-1}{2}\right)\equiv \frac{a-1}{2}(mod \ 2)\]
y
\[\sum_{i=1}^nd_i\left(\frac{q_i-1}{2}\right)\equiv \frac{b-1}{2}(mod \ 2).\]
Así concluimos que
\[\sum_{j=1}^mc_j\left(\frac{p_j-1}{2}\right)\sum_{i=1}^nd_i\left(\frac{q_i-1}{2}\right)\equiv \frac{a-1}{2}.\frac{b-1}{2}(mod \ 2).\]
Ejercicios
- Evaluar\(\left(\frac{258}{4520}\right)\).
- Evaluar\(\left(\frac{1008}{2307}\right)\).
- ¿Para qué enteros positivos\(n\) que son relativamente primos a 15 el símbolo jacobi\(\left(\frac{15}{n}\right)\) equivale a 1?
- Let\(n\) Ser un entero positivo libre cuadrado impar. Demostrar que hay un entero\(a\) tal que\((a,n)=1\) y\(\left(\frac{a}{n}\right)=-1\).