6.1: Notaciones Básicas
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En general, una fracción continuada (simple) es una expresión de la forma\[a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a_2+ \ldots}},\] donde las letras\(a_0\),\(\ a_1\),\(\ a_2\),\(\ldots\) denotan variables independientes, y pueden interpretarse como uno quiere (por ejemplo, números reales o complejos, funciones, etc.). Esta expresión tiene sentido preciso si el número de términos es finito, y puede que no tenga sentido para un número infinito de términos. En esta sección solo discutimos el escenario clásico más simple.
Las letras\(\ a_1\),\(\ a_2\),\(\ldots\) denotan enteros positivos. La letra\(a_0\) denota un número entero.
La siguiente notación estándar es muy conveniente.
Escribimos\[[a_0; a_1,a_2, \ldots, a_n] = a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{\displaystyle 1} {\displaystyle a_2+ \ldots \genfrac{}{}{0cm}{0}{}{+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a_n}} }}\] si el número de términos es finito, y\[[a_0; a_1,a_2, \ldots] = a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a_2+ \ldots}}\] para un número infinito de términos.
Aún así, en el caso del número infinito de términos se debe realizar cierta cantidad de trabajo para que la fórmula anterior tenga sentido. Al mismo tiempo, para el número finito de términos la fórmula tiene sentido.
\[[-2;1,3,5] = -2 + 1/(1+1/(3+1/5)) = -2+1/(1+5/16) = -2+1/(21/16) = -2+16/21 = -26/21\]
Para una fracción continuada finita\([a_0;a_1,a_2, \ldots, a_n]\) y un entero positivo\(k \leq n\), el resto\(k\) -ésimo se define como la fracción continuada\[r_k=[a_k;a_{k+1}, a_{k+2}, \ldots, a_n].\]
De manera similar, para una fracción continua infinita\([a_0;a_1,a_2, \ldots]\) y un entero positivo\(k\), el resto\(k\) -ésimo se define como la fracción continuada\[r_k=[a_k;a_{k+1}, a_{k+2}, \ldots].\]
Así, al menos en el caso de una fracción finita continuada,\[\alpha=[a_0;a_1,a_2,\ldots, a_n] =a_0+1/(a_1+1/(a_2+ \ldots +1/a_n))\] tenemos\[\label{remainder} \alpha = a_0+1/(a_1+1/(a_2+ \ldots +1/(a_{k-1}+1/r_k) )) = "[a_0;a_1,a_2,\ldots, a_{k-1},r_k]"\] para cualquier positivo\(k\leq n\). Aparecen signos de comillas porque consideramos las expresiones de este tipo solo con entradas enteras pero la cantidad\(r_k\) puede ser un no entero.
No es difícil expandir ningún número racional\(\alpha\) a una fracción continua. Efectivamente, dejemos\(a_0=[\alpha]\) ser el mayor número entero que no exceda\(\alpha\). De ahí la diferencia\(\delta=\alpha - a_0 <1\) y, por supuesto,\(\delta \geq 0\). Si\(\delta = 0\) entonces ya terminamos. De lo contrario poner\(r_1 = 1/\delta\), encontrar\(a_1=[r_1]\) y no negativo\(\delta=\alpha_1 - a_1 <1\). Continúe con el procedimiento hasta obtener\(\delta = 0\).
Considere la expansión continua de la fracción para\(42/31\). Obtenemos\(a_0=[42/31]=1\),\(\delta = 42/31-1=11/31\). Ahora\(r_1= 1/\delta=31/11\) y\(a_1=[\alpha_1]=[31/11]=2\). El nuevo\(\delta = 31/11-2=9/11\). Ahora\(r_2= 1/\delta=11/9\) y\(a_2=[\alpha_2]=[11/9]=1\). De ello se deduce que\(\delta = 11/9-1 = 2/9\). Ahora\(r_3= 1/\delta=9/2\) y\(a_3=[\alpha_3]=[9/2]=4\). De ello se deduce que\(\delta =9/2-4=1/2\). Ahora\(r_4= 1/\delta=2\) y\(a_4=[\alpha_4]=[2]=2\). De ello se deduce\(\delta = 2-2=0\) y ya terminamos.
Así hemos calculado\[42/31=[a_0;a_1,a_2,a_3,a_4] = [1;2,1,4,2].\]
El ejemplo anterior muestra que el algoritmo se detiene después de finitamente muchos pasos. Esto es de hecho un fenómeno bastante general. Para poder practicar con las notaciones introducidas probemos una proposición sencilla pero importante.
[ratrep] Cualquier número racional puede representarse como una fracción finita continuada.
Comprobante. Por construcción, todos los restos son racionales positivos. Para un entero positivo\(k\) poner\(r_k=A/B\) y dejar\(a_k=[r_k]\). Entonces\[\label{l2} r_k-a_k = \frac{A-Ba_k}{B} := \frac{C}{B}.\] con\(C<B\) porque\(r_k - a_k <1\) por construcción. Si\(C=0\), entonces el algoritmo se detiene en este punto y ya terminamos. Asumir ahora eso\(C \neq 0\). Se deduce de ([resto]) que\[\label{l1} r_k=a_k+\frac{1}{r_{k+1}}.\] Comparar ahora ([l2]) con ([l1]) para encontrar que\[r_{k+1} = \frac{B}{C}.\] Desde\(C<B\), el número racional\(r_{k+1}\) tiene un denominador que es menor que el denominador del resto anterior\(r_k\). De ello se deduce que después de un número finito de pasos obtenemos un entero (un racional con\(1\) en el denominador)\(r_n=a_n\) y el procedimiento se detiene en este punto.
Aparecen varias preguntas naturales en la conexión con la Proposición [ratrep].
¿Es única tal representación de fracción continua? La respuesta inmediata es “no”. Aquí hay dos representaciones de fracciones continuas “diferentes” para\(1/2\):\[\frac{1}{2}=[0;2]=[0;1,1].\] Sin embargo, requerimos eso\(a_n>1\), donde\(a_n\) está el último elemento de una fracción finita continuada. Entonces la respuesta es “sí”.
Insinuación. Hacer uso de las fórmulas ([main]) a continuación.
A partir de ahora asumimos eso\(a_n>1\).
Otra pregunta natural es sobre infinitas fracciones continuas y (como se puede adivinar fácilmente) números reales. La prueba del resultado correspondiente está un poco más involucrada, y aquí no la damos. En esta breve introducción nos limitamos a formular el resultado y remitirnos a la literatura () para una prueba completa. Nosotros, sin embargo, hacemos algunas observaciones sobre este resultado a continuación. En particular, explicaremos en algún momento, qué significa la convergencia.
[realrep] Una fracción continua infinita converge y define un número real. Hay una correspondencia uno a uno entre
\(\bullet\)todas (finitas e infinitas) fracciones continuadas\([a_0;a_1,a_2, \ldots]\) con un entero\(a_0\) y números enteros positivos\(a_k\) para\(k>0\) (y el último término\(a_n>1\) en el caso de fracciones finitas continuas)
y
\(\bullet\)números reales.
Tenga en cuenta que el algoritmo que desarrollamos anteriormente se puede aplicar a cualquier número real y proporciona la fracción continuada correspondiente.
El teorema [realrep] tiene cierta significación teórica. L.Kronecker (1823-1891) dijo: “Dios creó los enteros; el resto es obra del hombre”. Varias formas de representar números reales a partir de enteros son bien conocidas. El teorema [realrep] proporciona otra forma más de cumplir con esta tarea. Esta forma es constructiva y al mismo tiempo no está ligada a ninguna base en particular (digamos a descomposición decimal o binaria).
Discutiremos algunos ejemplos más adelante.
Ejercicios
- Demostrar que bajo el supuesto de que\(a_n>1\) la representación continuada de la fracción dada en la Proposición [ratrep] es única. En otras palabras, la correspondencia entre
\(\bullet\)fracciones finitas continuadas\([a_0;a_1,a_2, \ldots a_n]\) con un entero\(a_0\), números enteros positivos\(a_k\) para\(k>0\) y\(a_n>1\)
y
\(\bullet\)números racionales
es uno a uno.