6.2: Herramienta Técnica Principal
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Trunca fracción continuada finita (o infinita)\(\alpha=[a_0;a_1,a_2, \ldots, a_n]\) en el\(k\) -ésimo lugar (con\(k<n\) en el caso finito). El número racional\(s_k=[a_0;a_1,a_2, \ldots, a_k]\) se llama el\(k\) -ésimo convergente de\(\alpha\). Definir los enteros\(p_k\) y\(q_k\) por\[\label{d2} s_k = \frac{p_k}{q_k}\] escrito en la forma reducida con\(q_k>0\).
Se lleva a cabo la siguiente ley de transformación recursiva.
[PRINCIPAL] Para\(k \geq 2\)\[\label{main} \begin{array}{c} \displaystyle p_k=a_kp_{k-1} + p_{k-2} \\ \displaystyle q_k=a_kq_{k-1} + q_{k-2}. \end{array}\]
OBSERVACIÓN. Aquí no importa si tratamos con fracciones continuas finitas o infinitas: los convergentes son finitos de todos modos. Usamos el argumento de inducción en\(k\). Porque\(k=2\) la afirmación es cierta.
Ahora, asuma ([main]) para\(2 \leq k < l\). Dejar\[\alpha=[a_0;a_1,a_2,\ldots a_l]=\frac{p_l}{q_l}\] ser una fracción continuada arbitraria de longitud\(l+1\). Denotamos por\(p_r/q_r\) el\(r\) -ésimo convergente\(\alpha\). Considerar también la fracción continuada\[\beta = [a_1;a_2, \ldots, a_l]\] y denotar por\(p'_r/q'_r\) su\(r\) -ésima convergente. Tenemos\(\alpha=a_0+1/\beta\) lo que se traduce como\[\label{l3} \begin{array}{l} p_l=a_0p'_{l-1} + q'_{l-1} \\ q_l=p'_{l-1}. \end{array}\] También, por el supuesto de inducción,\[\label{l4} \begin{array}{l} p'_{l-1}=a_lp'_{l-2} + p'_{l-3} \\ q'_{l-1}=a_lq'_{l-2} + q'_{l-3} \end{array}\] Combinando ([l3]) y ([l4]) obtenemos las fórmulas\[p_l=a_0(a_lp'_{l-2} + p'_{l-3}) + a_lq'_{l-2} + q'_{l-3} = a_l(a_0p'_{l-2} + q'_{l-2}) + (a_0p'_{l-3} + q'_{l-3}) = a_lp_{l-1} + p_{l-2}\] y las\[q_l=a_lp'_{l-2} +p'_{l-3}=a_lq_{l-1}+ q_{l-2},\] cuales completan el paso de inducción. Hemos demostrado así que\[s_k = \frac{p_k}{q_k},\] donde\(p_k\) y\(q_k\) están definidos por las fórmulas recursivas ([main]). Todavía tenemos que comprobar que estas son las cantidades definidas por ([d2]), es decir, eso\(q_k>0\) y aquello\(q_k\) y\(p_k\) son relativamente primos. La afirmación anterior se desprende de ([principal]) ya que\(a_k>0\) para\(k>0\). Para probar esta última afirmación, multiplique las ecuaciones ([principal]) por\(q_{k-1}\) y\(p_{k-1}\) respectivamente y restarlas. Obtenemos\[\label{l5} p_kq_{k-1} - q_kp_{k-1} = -(p_{k-1}q_{k-2} - q_{k-1} p_{k-2}).\]
Con esto concluye la prueba del Teorema [principal]. Como consecuencia inmediata de ([main]) encontramos que
\[\label{dif1} \frac{p_{k-1}}{q_{k-1}} - \frac{p_k}{q_k} = \frac{(-1)^k}{q_kq_{k-1}}\]
y\[\frac{p_{k-2}}{q_{k-2}} - \frac{p_k}{q_k} = \frac{(-1)^ka_k}{q_kq_{k-2}}.\] Dado que todos los números\(q_k\) y\(a_k\) son positivos, las fórmulas anteriores implican lo siguiente.
[propord] La subsecuencia de convergentes\(p_k/q_k\) para índices pares\(k\) va en aumento.
La subsecuencia de convergentes\(p_k/q_k\) para índices impares\(k\) es decreciente.
Cada convergente con un índice impar es mayor que cada convergente con un índice par.
OBSERVACIÓN. La proposición [propord] implica que ambas subsecuencias de convergentes (aquellas con índices impares y aquellas con índices pares) tienen límites. Este es un paso hacia la obtención de sentido a partir de una fracción continua infinita: este debería ser el límite común de estas dos subsecuencias. De alguna manera está más involucrado técnicamente (¡aunque todavía bastante elemental!) para demostrar que estos dos límites coinciden.
[inequ] Vamos\(\alpha=[a_0;a_1,a_2,\ldots, a_n]\). Para\(k<n\) nosotros tenemos\[\frac{1}{q_k(q_{k+1}+q_k)} \leq \left\vert \alpha - \frac{p_k}{q_k} \right\vert \leq \frac{1}{q_kq_{k+1}}\]
Comprobante.
Otra desigualdad, que proporciona el límite inferior para la distancia entre el número\(\alpha\) y\(k\) -ésimo convergente, está ligeramente más involucrada. Para probarlo primero consideramos la siguiente forma de sumar fracciones que a veces prefieren los estudiantes.
Al número\[\frac{a+c}{b+d}\] se le llama el mediante de las dos fracciones\(a/b\) y\(c/d\). (Las cantidades\(a,b,c\) y\(d\) son enteros.)
[medi] Si\[\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d}\] entonces\[\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.\]
Consideremos ahora la secuencia de fracciones de\[\label{seq} \frac{p_k}{q_k}, \ \frac{p_k+p_{k+1}}{q_k+q_{k+1}}, \ \frac{p_k+2p_{k+1}}{q_k+2q_{k+1}}, \ldots, \frac{p_k+a_kp_{k+1}}{q_k+a_kq_{k+1}}=\frac{p_{k+2}}{q_{k+2}},\] donde se desprende la última igualdad ([principal]).
De ello se deduce que la secuencia ([seq]) está aumentando si\(k\) es par y disminuye si\(k\) es impar. Así, en particular, la fracción\[\label{l6} \frac{p_k+p_{k+1}}{q_k+q_{k+1}}\] se encuentra entre las cantidades\(p_k/q_k\) y\(\alpha\). Por lo tanto, la distancia entre\(p_k/q_k\) y la fracción ([l6]) es menor que la distancia entre\(p_k/q_k\) y\(\alpha\):\[\left\vert \alpha - \frac{p_k}{q_k} \right\vert \geq \frac{p_k+p_{k+1}}{q_k+q_{k+1}} = \frac{1}{q_k(q_k + q_{k+1})}.\] La segunda desigualdad (derecha) en el Teorema [inequ] ahora se demuestra. Esto termina la prueba del Teorema [inequ].
Ejercicios
- Verificar la aserción del Teorema [PRINCIPAL] para\(k=2\).
- Compruébalo para\(k=2\)\[p_2q_1 - q_2p_1 = -1.\] Pista. Introducir formalmente\(p_{-1}=1\) y\(q_{-1}=0\), comprobar que entonces las fórmulas [main] son ciertas también para\(k=1\).
- Combina los ejercicios anteriores con ([l5]) para obtener\[q_kp_{k-1}-p_kq_{k-1} = (-1)^k\] para\(k \geq 1\). Derivar de esto que\(q_k\) y\(p_k\) son relativamente primos.
- Probar Proposición [propord]
- Combinar ([dif1]) con Proposición [propord] para probar la desigualdad\[\left\vert \alpha - \frac{p_k}{q_k} \right\vert \leq \frac{1}{q_kq_{k+1}}.\]
- Demostrar Lema [medi]
- Use ([main]) para mostrar que el signo de la diferencia entre dos fracciones consecutivas en ([seq]) depende únicamente de la paridad de\(k\).