6.5: Una fórmula de Gauss, un teorema de Kuzmin y Levi y un problema de Arnold
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En este sentido, Gauss preguntó sobre la probabilidad\(c_k\) de\(k\) que un número apareciera como elemento de una fracción continuada. Dicha probabilidad se define de manera natural: como límite cuando\(N \rightarrow \infty\) del número de ocurrencias de\(k\) entre los primeros\(N\) elementos de la enpensión de fracción continuada. Además, Gauss dio una respuesta, pero nunca publicó la prueba. Dos pruebas diferentes fueron encontradas independientemente por R.O.Kuzmin (1928) y P. Lévy (1929) (ver para una exposición detallada de la prueba de R.O.Kuzmin).
[Gauss] Para casi todos los reales,\(\alpha\) la probabilidad de\(k\) que un número aparezca como un elemento en la expansión continua de la fracción de\(\alpha\) es\[\label{ga} c_k=\frac{1}{\ln 2} \ln \left( 1 + \frac{1}{k(k+2)} \right).\]
Observaciones. 1. Las palabras “para casi todos\(\alpha\)" significan que la medida del conjunto de excepciones es cero.
2. Incluso la existencia de\(p_k\) (definida como límite) es altamente no trivial.
El teorema [Gauss] puede (y probablemente debería) ser considerado como resultado de la teoría ergódica más que de la teoría de números. Esto construye un puente entre estas dos áreas de las Matemáticas y explica la atención reciente a las fracciones continuas de los matemáticos que estudian los sistemas dinámicos. En particular, V.I.Arnold formuló el siguiente problema abierto. Considera el conjunto de pares de números enteros de\((a,b)\) tal manera que los puntos correspondientes en el plano estén contenidos en un cuarto de círculo de radios\(N\):\[a^2 + b^2 \leq N^2.\] Expandir los números\(p/q\) en fracciones continuas y computar las frecuencias\(s_k\) para la aparición de\(k\) en estas fracciones. ¿Estas frecuencias tienen límites como\(N \rightarrow \infty\)? Si es así, ¿estos límites tienen algo que ver con las probabilidades, dadas por ([ga])? Estas preguntas no exigen más que una investigación experimental por computadora, y tal experimento puede ser emprendido por un estudiante. Por supuesto, sería sumamente desafiante encontrar un fenómeno experimentalmente de esta manera y probarlo después de eso teóricamente.
Por supuesto, se pueden considerar tipos más generales de fracciones continuas. En particular, se puede aliviar la suposición de que los elementos son enteros positivos y considerar, permitiendo reales arbitrarios como los elementos (la cuestión de la convergencia suele resolverse). Las siguientes identidades fueron descubiertas independientemente por tres destacados matemáticos. El matemático inglés R.J. Rogers encontró y probó estas identidades en 1894, Ramanujan encontró las identidades (sin pruebas) y las formuló en su carta a Hardy desde la India en 1913. Independientemente, al estar separado de Inglaterra por la guerra, I. J. Schur encontró las identidades y publicó dos pruebas diferentes en 1917. Refirimos a un lector interesado para una discusión detallada y simplemente declaramos las increíbles identidades aquí. \[[0;e^{-2\pi},e^{-4\pi},e^{-6\pi},e^{-8\pi}, \ldots ]= \left(\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}} - \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right) e^{2\pi/5}\]
\[[1;e^{-\pi},e^{-2\pi},e^{-3\pi},e^{-4\pi}, \ldots ]= \left(\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}} - \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right) e^{\pi/5}\]
Ejercicios
- Demostrar que\(c_k\) realmente definir una distribución de probabilidad, es decir, que\[\sum_{k=1}^\infty c_k =1.\]