6.4: Una Aplicación

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Considera el siguiente problema que puede ser de cierto interés práctico. Supongamos que calculamos cierta cantidad usando una computadora. También supongamos que sabemos de antemano que la cantidad en cuestión es un número racional. La computadora devuelve un decimal que tiene alta precisión y está bastante cerca de nuestra respuesta deseada. ¿Cómo adivinar la respuesta exacta?

Para ser más específicos considera un ejemplo.

Supongamos que la respuesta deseada es\[\frac{123456}{121169}\] y el resultado del cálculo por computadora con un modesto error de\(10^{-15}\) es\[\begin{array}{l} \alpha = 123456/121169 + 10^{-15} = \\ 1.01887446459077916933374047817511079566555802226642127937013592 \\ 5855623137931319066757999158200529838490042832737746453300761745 \\ 9911363467553582186862976503891259315501489654944746593600673439576129207 \end{array}\] con unos doscientos dígitos de precisión que, por supuesto, se quedan cortos para ayudar a adivinar el periodo y el denominador exacto de\(121169\).

Solución. Dado que\(123456/121169\) es una buena aproximación (solo en un sentido ingenuo) a\(\alpha\), debería estar entre sus convergentes. Esta no es una afirmación exacta, ¡pero ofrece una esperanza! Tenemos\[\alpha = [1; 52, 1, 53, 2, 4, 1, 2, 1, 68110, 4, 1, 2, 106, 22, 3, 1, 1, 10, 2, 1, 3, 1, 3, 4, 2, 11].\]

No vamos a comprobar todos los convergentes, porque notamos la irregularidad: un elemento,\(68110\) es mucho más que los demás. Para explicar esto utilizamos la desigualdad izquierda del Teorema [inequ] junto con la fórmula ([main]). En efecto, tenemos una aproximación de la\(\alpha\) cual es inesperadamente buena:\(\vert \alpha - p_k/q_k \vert\) es muy pequeña (está alrededor\(10^{-15}\)) y con una modesta\(q_k\) también. Tenemos\[q_k(q_{k+1} + q_k) = q_k(a_{k+1} q_k + q_{k-1}) = q_k^2(a_{k+1} + q_{k-1}/q_k)\] y De\[\left\vert \alpha - \frac{p_k}{q_k} \right\vert \geq \frac{1}{q_k^2(a_{k+1} + q_{k-1}/q_k)}.\] ello se deduce que\(1/q_k^2(a_{k+1} + q_{k-1}/q_k)\) es pequeño (más pequeño que\(10^{-15}\)) y por lo tanto,\(a_{k+1}\) debería ser grande. Esto es exactamente lo que vemos. Por supuesto, nuestra suposición es correcta:\[\frac{123456}{121169} = [1, 52, 1, 53, 2, 4, 1, 2, 1].\]

De esta manera concluimos que en general un elemento inesperadamente grande permite cortar la fracción continuada (justo antes de este elemento) y adivinar la cantidad racional exacta. Probablemente no haya necesidad (aunque esto es, por supuesto, posible) de cuantificar este procedimiento. Prefiero usarlo solo para adivinar las cantidades correctas en el acto desde el primer vistazo.

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