7.1: Introducción a la Teoría Analítica de Números
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Es bien sabido que la serie armónica\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) diverge. Por lo tanto, determinamos algunas fórmulas asintóticas que determinan el crecimiento de la\(\sum_{n\leq x}\frac{1}{n}\). Comenzamos por introducir la fórmula de suma de Euler que nos ayudará a determinar la fórmula asintótica.
Podríamos hacer la siguiente pregunta. Y si la suma se toma sobre todos los primos. En esta sección, mostramos que la suma sobre los primos también diverge. También mostramos que un producto interesante también divergirá. Del siguiente teorema, en realidad podemos deducir que hay infinitamente muchos primos.
Definición: Fórmula de suma de Euler
Si\(f\) tiene una derivada continua en un intervalo\([a,b]\) donde\(a> 0\), entonces\[\sum_{a<n\leq b}f(n)=\int_{a}^bf(t)dt+\int_{a}^b(\{t\})f'(t)dt+f(b)(\{b\})-f(a)(\{a\}).\] donde\(\{t\}\) denota la parte fraccionaria de\(t\).
Prueba
Para la prueba de la fórmula de suma de Euler ver.
Si\(x\geq 1\), tenemos eso:\[\sum_{n\leq x}\frac{1}{n}=\log x+\gamma+O\left(\frac{1}{x}\right)\]
Utilizamos la fórmula de suma de Euler tomando\(f(t)=1/t\). Entonces obtenemos
\[\begin{aligned} \sum_{n\leq x}\frac{1}{n}&=&\int_{1}^x\frac{1}{t}dt-\int_1^x\frac{\{t\}}{t^2}dt+1+O\left(\frac{1}{x}\right)\\ &=& \log x+1-\int_1^{\infty}\frac{\{t\}}{t^2}dt+\int_x^{\infty}\frac{\{t\}}{t^2}dt+O\left(\frac{1}{x}\right)\end{aligned}\]
Observe ahora que\(\{t\}\leq t\) y de ahí existen las dos integrales impropias ya que están dominadas por integrales que convergen. Por lo tanto, tenemos
\[0\leq \int_x^\infty\frac{\{t\}}{t^2}dt\leq \frac{1}{x},\]
también dejamos
\[\gamma=1-\int_1^{\infty}\frac{\{t\}}{t^2}dt\]
y obtenemos la fórmula asintótica.
Observe que\(\gamma\) se llama constante de Euler. Observe también que se pueden seguir pasos similares para encontrar fórmulas asintóticas para otras sumas que involucren poderes de\(n\).
Ahora procedemos a demostrar que si sumamos sobre los primos en su lugar, todavía obtenemos una serie divergente.
Ambos\(\sum_p\frac{1}{p}\) y\(\prod_p(1-\frac{1}{p})\) divergen.
Deja\(x \geq 2\) y pon\[P(x)=\prod_{p\leq x}\left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1}, \ \ \ S(x)=\sum_{p\leq x}\frac{1}{p}\] Let\(0<u<1\) y\(m\in \mathbb{Z}\), tenemos
\[\frac{1}{1-u}>\frac{1-u^{m+1}}{1-u}=1+u+...+u^m.\]
Ahora tomando\(u=\frac{1}{p}\), obtenemos
\[\frac{1}{1-\frac{1}{p}}>1+\frac{1}{p}+...+\left(\frac{1}{p}\right)^m\]Como resultado, tenemos que\[P(x)>\prod_{p\leq x}\left(1+\frac{1}{p}+...+\frac{1}{p^m}\right)\]
Elige\(m>0 \in \mathbb{Z}\) tal que\(2^{m-1}\leq x\leq 2^m\). Observe también que
\[\prod_{p\leq x}\left(1+\frac{1}{p}+...+\frac{1}{p^m}\right)=1+\sum_{p_i\leq x}\frac{1}{p_1^{m_1}p_2^{m_2}...}\]
donde\(1\leq m_i\leq m\). Como resultado, obtenemos cada\(\frac{1}{n}, n\in \mathbb{Z^+}\) lugar donde cada factor primo de\(n\) es menor o igual a\(x\) (Ejercicio). Así tenemos
\[\prod_{p\leq x}\left(1+\frac{1}{p}+...+\frac{1}{p^m}\right)>\sum_{n=1}^{2^{m-1}}\frac{1}{n}>\sum_{n=1}^{[x/2]}\frac{1}{n}\]
Tomando el límite como\(x\) se acerca al infinito, concluimos que\(P(x)\) diverge.
Se procede ahora a probar que\(S(x)\) diverge. Observe que si\(u>0\), entonces
\[\log(1/u-1)<u+\frac{1}{2}(u^2+u^3+...).\]
Así tenemos
\[\log(1/u-1)<u+\frac{u^2}{2}(1/1-u), \ \ \ 0<u<1.\]
Ahora dejamos\(u=1/p\) para cada uno\(p\leq x\), entonces\[\log\left(\frac{1}{1-1/p}\right)-\frac{1}{p}<\frac{1}{2p(p-1)}\] Así\[\log P(x)=\sum_{p\leq x}log(1/1-p).\] Así tenemos\[\log P(x)-S(x)<\frac{1}{2}\sum_{p\leq x}\frac{1}{p(p-1)}<\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)}\] Esto implica que\[S(x)>\log P(x)-\frac{1}{2}\] Y así\(S(x)\) diverge a medida que se\(x\) acerca al infinito.
[1] Para cualquier función aritmética\(f(n)\), dejamos\[A(x)=\sum_{n\leq x}f(n)\] donde\(A(x)=0\) para\(x<1\). Supongamos también que\(g\) tiene una derivada continua en el intervalo\([y,x]\), donde\(0<y<x\). Entonces tenemos
\[\sum_{y<n\leq x}f(n)g(n)=A(x)g(x)-A(y)g(y)-\int_y^xA(t)g'(t)dt.\]
La prueba de este teorema se puede encontrar en.
Ejercicios
- Demostrar que uno obtiene cada\(\frac{1}{n}, n\in \mathbb{Z^+}\) donde cada factor primo de\(n\) es menor o igual a\(x\) en la prueba del Teorema 1.
- Anote en detalle el comprobante de la fórmula de suma de Abel.