7.2: Funciones de Chebyshev

Introducimos algunas funciones teóricas numéricas que desempeñan un papel importante en la distribución de primos. También probamos resultados analíticos relacionados con esas funciones. Comenzamos definiendo la función Van-Mangolt

\(\Omega(n)=\log p\)si\(n=p^m\) y desaparece de otra manera.

Definimos también las siguientes funciones, las dos últimas funciones se llaman funciones de Chebyshev.

1. \(\pi(x)=\sum_{p\leq x}1.\)
2. \(\theta(x)=\sum_{p\leq x}log p\)
3. \(\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Omega(n)\)

Observe que\[\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Omega(n)=\sum_{m=1, \ p^m\leq x}^{\infty}\sum_p\Omega(p^m)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{p\leq x^{1/m}}log p.\]

1. \(\pi(10)=4\).
2. \(\theta(10)=\log 2+ \log 3+ \log 5+\log 7\).
3. \(\psi(10)=\log 2+ \log 2+\log 2+ \log 3+ \log 3+ \log 5+\ log 7\)

Es fácil ver que\[\psi(x)=\theta(x)+\theta(x^{1/2})+ \theta(x^{1/3})+...\theta(x^{1/m})\] dónde\(m\leq log_2x\). Esta observación se deja como ejercicio.

Observe que la suma anterior será una suma finita ya que para algunos\(m\), tenemos eso\(x^{1/m}<2\) y así\(\theta(x^{1/m})=0\).
Ahora utilizamos la fórmula de suma de Abel para expresar las dos funciones\(\pi(x)\) y\(\theta(x)\) en términos de integrales.

Para\(x\geq 2\), tenemos

\[\theta(x)=\pi(x)\log x-\int_ {2}^{x}\frac{\pi(t)}{t}dt\]

y

\[\pi(x)=\frac{\theta(x)}{\log x}+\int_{2}^x\frac{\theta(t)}{t\log^2t}dt.\]

Definimos la función\(\chi(n)\) característica como\(1\) si\(n\) es primo y de\(0\) otra manera. Como resultado, podemos ver a partir de la definición de\(\pi(x)\) y\(\theta(x)\) que se pueden representar en términos de la función característica\(\chi(n)\). Esta representación permitirá el uso para aplicar la fórmula de suma de\(f(n)=\chi(n)\) Abel dónde\(\theta(x)\) y dónde\(f(n)=\chi(n) \log n\) para\(\pi(x)\). Así que tenemos,

\[\pi(x)=\sum_{1\leq n/leq x}\chi(n) \ \ \ \ \mbox{and} \ \ \ \theta(x)=\sum_{1\leq n\leq x}\chi(n)\log n\]

Ahora vamos\(g(x)=\log x\) en Teorema 84 con\(y=1\) y obtenemos el resultado deseado para la representación integral de\(\theta(x)\). De igual manera dejamos\(g(x)=1/\log x\) con\(y=3/2\) y obtenemos el resultado deseado para\(\pi(x)\) since\(\theta(t)=0\) for\(t<2\).

Ahora demostramos un teorema que relaciona las dos funciones de Chebyshev\(\theta(x)\) y\(\psi(x)\). El siguiente teorema establece que si el límite de una de las dos funciones\(\theta(x)/x\) o\(\psi(x)/x\) existe entonces el límite de la otra existe también y los dos límites son iguales.

Para\(x>0\), tenemos

\[0 \leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\theta(x)}{x}\leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log 2}.\]

Desde la observación 4, es fácil ver que\[0\leq \psi(x)-\theta(x)=\theta(x^{1/2})+ \theta(x^{1/3})+...\theta(x^{1/m})\] dónde\(m\leq log_2x\). Además, tenemos eso\(\theta(x)\leq x\log x\). El resultado seguirá después de probar la desigualdad en el Ejercicio 2.

Ejercicios

1. Demuestre que\[\psi(x)=\theta(x)+\theta(x^{1/2})+ \theta(x^{1/3})+...\theta(x^{1/m})\] dónde\(m\leq log_2x\).
2. Demostrar eso\(0\leq \psi(x)-\theta(x)\leq (\log_2(x))\sqrt{x}\log\sqrt{x}\) y así sigue el resultado del Teorema 86.
3. Mostrar que las siguientes dos relaciones son equivalentes\[\pi(x)=\frac{x}{\log x}+O\left(\frac{x}{\log^2x}\right)\]\[\theta(x)=x+O\left(\frac{x}{\log x}\right)\]

Colaboradores y Atribuciones

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