7.2: Funciones de Chebyshev
- Page ID
- 114922
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Introducimos algunas funciones teóricas numéricas que desempeñan un papel importante en la distribución de primos. También probamos resultados analíticos relacionados con esas funciones. Comenzamos definiendo la función Van-Mangolt
\(\Omega(n)=\log p\)si\(n=p^m\) y desaparece de otra manera.
Definimos también las siguientes funciones, las dos últimas funciones se llaman funciones de Chebyshev.
- \(\pi(x)=\sum_{p\leq x}1.\)
- \(\theta(x)=\sum_{p\leq x}log p\)
- \(\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Omega(n)\)
Observe que\[\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Omega(n)=\sum_{m=1, \ p^m\leq x}^{\infty}\sum_p\Omega(p^m)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{p\leq x^{1/m}}log p.\]
- \(\pi(10)=4\).
- \(\theta(10)=\log 2+ \log 3+ \log 5+\log 7\).
- \(\psi(10)=\log 2+ \log 2+\log 2+ \log 3+ \log 3+ \log 5+\ log 7\)
Es fácil ver que\[\psi(x)=\theta(x)+\theta(x^{1/2})+ \theta(x^{1/3})+...\theta(x^{1/m})\] dónde\(m\leq log_2x\). Esta observación se deja como ejercicio.
Observe que la suma anterior será una suma finita ya que para algunos\(m\), tenemos eso\(x^{1/m}<2\) y así\(\theta(x^{1/m})=0\).
Ahora utilizamos la fórmula de suma de Abel para expresar las dos funciones\(\pi(x)\) y\(\theta(x)\) en términos de integrales.
Para\(x\geq 2\), tenemos
\[\theta(x)=\pi(x)\log x-\int_ {2}^{x}\frac{\pi(t)}{t}dt\]
y
\[\pi(x)=\frac{\theta(x)}{\log x}+\int_{2}^x\frac{\theta(t)}{t\log^2t}dt.\]
Definimos la función\(\chi(n)\) característica como\(1\) si\(n\) es primo y de\(0\) otra manera. Como resultado, podemos ver a partir de la definición de\(\pi(x)\) y\(\theta(x)\) que se pueden representar en términos de la función característica\(\chi(n)\). Esta representación permitirá el uso para aplicar la fórmula de suma de\(f(n)=\chi(n)\) Abel dónde\(\theta(x)\) y dónde\(f(n)=\chi(n) \log n\) para\(\pi(x)\). Así que tenemos,
\[\pi(x)=\sum_{1\leq n/leq x}\chi(n) \ \ \ \ \mbox{and} \ \ \ \theta(x)=\sum_{1\leq n\leq x}\chi(n)\log n\]
Ahora vamos\(g(x)=\log x\) en Teorema 84 con\(y=1\) y obtenemos el resultado deseado para la representación integral de\(\theta(x)\). De igual manera dejamos\(g(x)=1/\log x\) con\(y=3/2\) y obtenemos el resultado deseado para\(\pi(x)\) since\(\theta(t)=0\) for\(t<2\).
Ahora demostramos un teorema que relaciona las dos funciones de Chebyshev\(\theta(x)\) y\(\psi(x)\). El siguiente teorema establece que si el límite de una de las dos funciones\(\theta(x)/x\) o\(\psi(x)/x\) existe entonces el límite de la otra existe también y los dos límites son iguales.
Para\(x>0\), tenemos
\[0 \leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\theta(x)}{x}\leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log 2}.\]
Desde la observación 4, es fácil ver que\[0\leq \psi(x)-\theta(x)=\theta(x^{1/2})+ \theta(x^{1/3})+...\theta(x^{1/m})\] dónde\(m\leq log_2x\). Además, tenemos eso\(\theta(x)\leq x\log x\). El resultado seguirá después de probar la desigualdad en el Ejercicio 2.
Ejercicios
- Demuestre que\[\psi(x)=\theta(x)+\theta(x^{1/2})+ \theta(x^{1/3})+...\theta(x^{1/m})\] dónde\(m\leq log_2x\).
- Demostrar eso\(0\leq \psi(x)-\theta(x)\leq (\log_2(x))\sqrt{x}\log\sqrt{x}\) y así sigue el resultado del Teorema 86.
- Mostrar que las siguientes dos relaciones son equivalentes\[\pi(x)=\frac{x}{\log x}+O\left(\frac{x}{\log^2x}\right)\]\[\theta(x)=x+O\left(\frac{x}{\log x}\right)\]