8.2: Curvas elípticas
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Las curvas elípticas en el\(xy\) plano -son el conjunto de puntos\((x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) que son los ceros de tipos especiales de polinomios de tercer orden\(f(x,y)\), con coeficientes reales, en las dos variables\(x\) y\(y\). Estas curvas resultan ser de interés fundamental en la teoría analítica de números. De manera más general, se pueden definir curvas similares sobre campos algebraicos arbitrarios de la siguiente manera. Dejar\(f(x,y)\) ser un polinomio de cualquier grado en dos variables\(x\) y\(y\), con coeficientes en un campo algebraico\(\mathcal{F}\). Definimos la curva algebraica\(\mathscr{C}_f(\mathcal{F})\) sobre el campo\(\mathcal{F}\) por Por\[\mathscr{C}_f(\mathcal{F})=\{(x,y)\in\mathcal{F}\times\mathcal{F}:f(x,y)=0\in \mathcal{F}\}.\] supuesto, también se puede definir de manera similar la curva algebraica\(\mathscr{C}_f(\mathcal{Q})\) sobre un campo\(\mathcal{Q}\), donde\(\mathcal{Q}\) es o bien un subcampo del campo\(\mathcal{F}\) donde los coeficientes de \(f\)existir, o es un campo de extensión de\(\mathcal{F}\). Así si\(f\in\mathcal{F}[x,y]\), y si\(\mathcal{Q}\) es una extensión o un subcampo de\(\mathcal{F}\), entonces se puede definir\(\mathscr{C}_f(\mathcal{Q})=\{(x,y)\in\mathcal{Q}\times\mathcal{Q}:f(x,y)=0\}\). Nuestro principal interés en esta sección será en polinomios de tercer orden (curvas cúbicas)\[f(x,y)=ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3+ex^2+fxy+gy^2+hx+iy+j,\] con coeficientes en\(\mathcal{R}\), con las curvas asociadas\(\mathscr{C}_f(\mathbb{Q})\) sobre el campo de números racionales\(\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\). Así, básicamente, nos interesarán los puntos\((x,y)\in\mathbb{R}^2\) que tengan coordenadas racionales\(x\) y\(y\), y llamados puntos racionales, que satisfagan\(f(x,y)=0\). Por supuesto, primero se puede imaginar la curva\(f(x,y)=0\) en\(\mathbb{R}^2\), es decir, la curva\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\) sobre\(\mathbb{R}\), y luego elegir los puntos en esta curva que tienen coordenadas racionales. Esto se puede expresar simplemente escribiendo eso\(\mathscr{C}_f(\mathbb{Q})\subset\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\). Hay que mencionar que las “curvas racionales”\(\mathscr{C}_f(\mathbb{Q})\) están relacionadas con ecuaciones diofantinas. Esto es en el sentido de que las soluciones racionales a las ecuaciones\(f(x,y)=0\) producen soluciones enteras a las ecuaciones\(f'(x,y)=0\), donde el polinomio\(f'\) está muy estrechamente relacionado con el polinomio\(f\), si no el mismo en muchos casos. Por ejemplo, cada punto en\(\mathscr{C}_f(\mathbb{Q})\), donde\(f(x,y)=x^n+y^n\), es decir, cada solución racional a\(f(x,y)=x^n+y^n=0\), produce una solución entera para\(x^n+y^n=0\). Así, las curvas algebraicas\(\mathscr{C}_f(\mathbb{Q})\) pueden ser de interés genuino en este sentido.
En un posible procedimiento para construir la curva\(\mathscr{C}_f(\mathbb{Q})\) para un polinomio\(f(x,y)\in\mathbb{R}[x,y]\) con coeficientes reales, se considera la posibilidad de que, dado un punto racional\((x,y)\in\mathscr{C}_f(\mathbb{Q})\subset\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\), una línea recta con una pendiente racional\(m\) pueda intersectar la curva\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\) en un punto\((x',y')\) que también está en \(\mathscr{C}_f(\mathbb{Q})\). Esta posibilidad viene del simple hecho de que si\((x,y), (x',y')\in\mathscr{C}_f(\mathbb{Q})\), entonces la pendiente de la recta que se une\((x,y)\) y\((x',y')\) es un número racional. Esta técnica, de determinar un punto\(\mathscr{C}_f(\mathbb{Q})\) a partir de otro mediante el uso de líneas rectas como se mencionó, funciona muy bien en algunos casos de polinomios, especialmente los de segundo grado, y funciona razonablemente bien para polinomios de tercer orden.
Dos aspectos de esta técnica de usar líneas rectas para determinar puntos en\(\mathscr{C}_f(\mathbb{Q})\), y que serán necesarios para definir curvas elípticas, son los siguientes. El primero se ilustra con el siguiente ejemplo.
Considera el polinomio\(f(x,y)=y^2-x^2+y=(y-x+1)(y+x)\). La curva\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\) contiene las dos líneas rectas\(y=x-1\) y\(y=-x\). El punto\((2,1)\in\mathscr{C}_f(\mathbb{Q})\), y si uno intenta encontrar la intersección de la línea particular\(y=x-1\) que atraviesa\((2,1)\) con\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\), uno encuentra que esto incluye toda la línea\(y=x-1\) misma, y no solo uno o dos puntos más (por ejemplo). Este resultado se debe a que\(f\) es un polinomio reducible, es decir, que se puede factorizar en la forma\(f=f'f''\) con\(f\) y\(f''\) no solo números reales.
En esta dirección se tiene el siguiente teorema general sobre el número de puntos de intersección entre una línea recta\(L\) y una curva algebraica\(\mathscr{C}_f(\mathcal{R})\):
Si\(f\in\mathbb{R}[x,y]\) es un polinomio de grado\(d\), y la línea\(L\), que se define por los ceros de\(g(x,y)=y-mx-b\in\mathbb{R}[x,y]\), son tales que\(L\cap\mathscr{C}_f(\mathcal{R})\) contiene más de\(d\) puntos (contando las multiplicidades de intersecciones) entonces de hecho\(L=\mathscr{C}_g(\mathcal{R})\subset\mathscr{C}_f(\mathcal{R})\), y se\(f\) puede escribir en la forma \(f(x,y)=g(x,y)p(x,y)\), donde\(p(x,y)\) hay algún polinomio de grado\(d-1\).
En relación con el teorema anterior, y en la definición de una curva elíptica\(\mathscr{C}_f(\mathcal{R})\), donde\(f\) es un polinomio de grado tres, requeriremos que esta curva sea tal que cualquier línea recta que pase por dos puntos\((x_1,y_1), (x_2,y_2)\in\mathscr{C}_f(\mathcal{R})\), donde los dos puntos podrían ser el mismo punto si la curva en uno de ellos es diferenciable con la tangente en ese punto a la curva teniendo la misma pendiente que la de la línea, también pasará por un tercer punto único\((x_3,y_3)\). Por el teorema anterior, si una línea cruza la curva\(\mathscr{C}_f(\mathcal{R})\) asociada con el polinomio de tercer orden\(f\) en más de tres puntos, entonces la línea misma es un subconjunto de\(\mathscr{C}_f(\mathcal{R})\). Esto se excluirá para el tipo de polinomios de tercer grado\(f\) cuyas curvas algebraicas asociadas se llamarán curvas elípticas.
Otra cosa a excluir, tener curvas de tercer orden caracterizadas como curvas elípticas, es la existencia de puntos singulares en la curva, donde un punto singular es aquel en el que la curva no admite una tangente única.
Hay que mencionar que en la discusión anterior, los puntos en la curva\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\) pueden estar en el infinito. Para hacer frente a esta situación suponemos que la curva es de hecho una curva en el plano proyectivo real\(\mathbb{P}_2(\mathbb{R})\). Ahora podemos definir una curva elíptica\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\) como tal que\(f(x,y)\) es un polinomio irreducible de tercer orden sin\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\) tener puntos singulares en\(\mathbb{P}_2(\mathbb{R})\).
La idea principal detrás de la definición anterior para curvas elípticas es tener una curva mediante la cual dos puntos cualesquiera\(A\) y\(B\) sobre la curva puedan determinar un tercer punto único, a denotarse por\(AB\), utilizando una línea recta uniendo\(A\) y\(B\). Las posibilidades son las siguientes: Si la línea se une\(A\) y no\(B\) es tangente a la curva\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\) en ningún punto, entonces la línea cruza la curva exactamente en tres puntos diferentes dos de los cuales son\(A\) y\(B\) mientras que el tercero es\(AB\). Si la línea une\(A\) y\(B\) es tangente a la curva en algún punto,\(p\) entonces esta línea se cruza exactamente\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\) en dos puntos,\(p\) y algún otro punto\(p'\), o cruza la curva en un solo punto\(p\). Si la línea se cruza\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\) en dos puntos\(p\) y\(p'\), entonces ya sea\(p=A=B\) en qué caso\(AB=p'\), o\(A\neq B\) en qué caso (independientemente de si\(p=A\) y\(p'=B\) o viceversa) uno tendría\(p=AB\). Mientras que si la línea se cruza\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\) en un solo punto\(p\) entonces\(p=A=B=AB\).
La discusión anterior establece una operación binaria sobre curvas elípticas que produce, para dos puntos cualesquiera\(A\) y\(B\) un tercer punto definido de manera única\(AB\). Esta operación binaria a su vez produce, como se describirá a continuación, otra operación binaria, denotada por\(+\), que define una estructura de grupo sobre la\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\) que se asocia con la construcción de línea recta discutida hasta ahora.
Una estructura de grupo sobre una curva elíptica\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\) se define de la siguiente manera: Considere un punto arbitrario, denotado por\(0\), on\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\). Definimos, para dos puntos cualesquiera\(A\) y\(B\) sucesivamente\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\), el punto\(A+B\) en el\[A+B=0(AB),\] sentido de que primero determinamos el punto\(AB\) como arriba, luego determinamos el punto\(0(AB)\) correspondiente a\(0\) y\(AB\). Independientemente de la elección del punto\(0\), se tiene el siguiente teorema sobre una estructura grupal determinada por\(+\) on\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\).
Dejar\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\) ser una curva elíptica, y dejar\(0\) ser cualquier punto en\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\). Entonces la operación binaria anterior\(+\) define una estructura de grupo abeliano sobre\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\),\(0\) siendo el elemento de identidad y\(-A=A(00)\) para cada punto\(A\).
La prueba es muy larga y se puede encontrar en. Primero observamos que si\(0\) y\(0'\) son dos puntos diferentes en una curva elíptica con operaciones binarias asociadas\(+\) y\(+'\), entonces uno puede mostrar fácilmente eso para dos puntos cualesquiera\(A\) y\(B\)\[A+'B=A+B-0'.\] Esto demuestra que las diversas estructuras de grupo que se pueden definir en una curva elíptica considerando todos los puntos posibles\(0\) y operaciones asociadas\(+\), son esencialmente los mismos, hasta una “traslación”.
Considerar la estructura de grupo sobre una curva elíptica\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\), correspondiente a una operación\(+\) con elemento de identidad\(0\). Si el polinomio cúbico\(f\) tiene coeficientes racionales, entonces el subconjunto\(\mathscr{C}_f(\mathbb{Q})\subset\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\) de soluciones racionales para formar\(f(x,y)=0\) un subgrupo de\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\) si y solo si\(0\) es en sí mismo un punto racional (es decir, una solución racional).
Si\(\mathscr{C}_f(\mathbb{Q})\) es un subgrupo de\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\), entonces debe contener la identidad\(0\), y así\(0\) sería un punto racional. Por el contrario, supongamos que\(0\) es un punto racional. Primero, ya que\(f\) tiene coeficientes racionales, entonces para dos puntos racionales cualesquiera\(A\) y\(B\) en\(\mathscr{C}_f(\mathbb{Q})\) uno hay que tener eso también\(AB\) es racional, y así (ya que\(0\) se asume racional) que\(0(AB)\) es racional, haciendo\(A+B=0(AB)\) racional. De esta manera se\(\mathscr{C}_f(\mathbb{Q})\) cerraría bajo\(+\). Además, ya que para cada\(A\in\mathscr{C}_f(\mathbb{Q})\) uno tiene eso\(-A=A(00)\), entonces también\(-A\) es racional, lo que hace\(\mathscr{C}_f(\mathbb{Q})\) cerrado bajo inversión. De ahí\(\mathscr{C}_f(\mathbb{Q})\) que sea un subgrupo.
Así, por el lema 18, el conjunto de todos los puntos racionales en una curva elíptica forman un subgrupo del grupo determinado por la curva y un punto\(0\), si y sólo si el elemento de identidad\(0\) es en sí mismo un punto racional. En otras palabras, se encuentra que si la curva elíptica\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\) contiene un punto racional\(p\), entonces existe una estructura de grupo sobre\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\), con\(0=p\) y la operación binaria correspondiente\(+\), tal que el conjunto\(\mathscr{C}_f(\mathbb{Q})\) de todos los puntos racionales en\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\) es un grupo.
Una cosa a tener en cuenta acerca de las soluciones racionales a las funciones polinómicas generales\(f(x,y)\), es que corresponden a solución entera a un polinomio homogéneo correspondiente\(h(X,Y,Z)\) en tres variables, y vice-verso, donde homogéneo prácticamente significa que esta función es una suma lineal de términos cada uno de los cuales tiene la misma potencia al sumar los poderes de las variables involucradas en este término. Por ejemplo\(XY^2-2X^3+XYZ+Z^3\) es homogéneo.
De hecho una solución racional\(x=a/b\) y\(y=c/d\) para\(f(x,y)=0\), donde\(a,b,c,d\) están los enteros, se puede escribir primero como\(x=ad/bd\) y\(y=cb/bd\), y así siempre se puede tener esta solución en la forma\(x=X/Z\) y\(y=Y/Z\), donde\(X=ad, Y=cb\) y\(Z=bd\). Si\(x=X/Z\) y\(y=Y/Z\) son reemplazados en\(f(x,y)=0\), se obtiene una nueva versión\(h(X,Y,Z)=0\) de esta ecuación escrita en términos de las nuevas variables\(X,Y,Z\). De inmediato se puede ver que esta nueva función polinómica\(h(X,Y,Z)\) es homogénea en\(X,Y,Z\). La función homogénea\(h(X,Y,Z)\) en\(X,Y,Z\) es la forma que\(f(x,y)\) toma en el espacio proyectivo, donde en este caso las transformaciones\(x=X/Z\) y\(y=Y/Z\) definen la transformación proyectiva que llevan\(f(x,y)\) a\(h(X,Y,Z)\).
Si ahora volvemos a la ecuación cúbica\(f(x,y)=0\), se puede transformar esta función en su forma cúbica homogénea\(h(X,Y,Z)=0\), donde\[\begin{aligned} h(X,Y,Z)=aX^3&+&bX^2Y+cXY^2+dY^3+eX^2Z\nonumber\\&+&fXYZ+gY^2Z+hXZ^2+iYZ^2+jZ^3,\end{aligned}\] mediante el uso de la transformación proyectiva\(x=X/Z\) y\(y=Y/Z\). Entonces, imponiendo algunas condiciones, como exigir que el punto\((1,0,0)\) (en el espacio proyectivo) satisfaga esta ecuación, y que la línea tangente a la curva en el punto\((1,0,0)\) sea el\(Z\) -eje que intersecta la curva en el punto\((0,1,0)\), y que el\(X\) eje es la línea tangente a la curva en\((0,1,0)\), entonces uno puede demostrar inmediatamente que la ecuación cúbica homogénea anterior se vuelve de la forma\[h(X,Y,Z)=cXY^2+eX^2Z+fXYZ+hXZ^2+iYZ^2+jZ^3.\] que, al usar de nuevo la transformación proyectiva, y usando nuevos coeficientes, da que los puntos en la curva\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\) son precisamente los de la curva\(\mathscr{C}_h(\mathbb{R})\), donde\[h(x,y)=axy^2+bx^2+cxy+dx+ey+f.\] Y con más simple cambio de variables (consistentes en funciones polinómicas en\(x\) y\(y\) con coeficientes racionales) se obtiene que los puntos en la curva\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})\) son precisamente aquellos en\(\mathscr{C}_g(\mathbb{R})\) donde\[g(x,y)=y^2-4x^3+g_2x-g_3,\] es decir eso\(\mathscr{C}_f(\mathbb{R})=\mathscr{C}_g(\mathbb{R})\). La ecuación\(g(x,y)=0\), donde\(g\) se da en (8.10), se dice que es la forma normal de Weierstrass de la ecuación\(f(x,y)=0\). Así, en particular, cualquier curva elíptica definida por un cúbico\(f\), es biracionalmente equivalente a una curva elíptica definida por un polinomio\(g(x,y)\) como anteriormente. La equivalencia biracional entre curvas se define aquí como una transformación racional, junto con su transformación inversa, que lleva los puntos de una curva a otra, y viceversa.