8.3: La función Zeta de Riemann
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La función zeta de Riemann\(\zeta(z)\) es una función analítica que es una función muy importante en la teoría analítica de números. Se define (inicialmente) en algún dominio en el plano complejo por el tipo especial de serie Dirichlet dada por\[\zeta(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^z},\] dónde\(Re(z)>1\). Se puede verificar fácilmente que la serie dada converge localmente de manera uniforme, y así eso\(\zeta(z)\) es efectivamente analítico en el dominio en el plano complejo\(\bf C\) definido por\(Re(z)>1\), y que esta función no tiene un cero en este dominio.
Primero probamos el siguiente resultado que se llama Fórmula del Producto Euler.
\(\zeta(z)\), según lo definido por la serie anterior, se puede escribir en la forma\[\zeta(z)=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{p_n^z}\right)},\] donde\(\{p_n\}\) está la secuencia de todos los números primos.
sabiendo que si\(|x|<1\) entonces\[\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^{\infty}x^k,\] uno encuentra que cada término\(\frac{1}{1-\frac{1}{p_n^z}}\) en\(\zeta(z)\) está dado por\[\frac{1}{1-\frac{1}{p_n^z}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p_n^{kz}},\] desde cada\(|1/p_n^z|<1\) si\(Re(z)>1\). Esto da que para cualquier entero\(N\)\[\begin{aligned} \prod_{n=1}^N\frac{1}{\left(1-\frac{1}{p_n^z}\right)}&=&\prod_{n=1}^N\left(1+ \frac{1}{p_n^z}+\frac{1}{p_n^{2z}}+\cdots\right)\nonumber\\&=&\sum\frac{1}{p_ {n_1}^{k_1z}\cdots p_{n_i}^{k_jz}}\\&=&\sum\frac{1}{n^z}\nonumber\end{aligned}\] donde se\(i\) extiende sobre\(1,\cdots,N\), y\(j\) va de\(0\) a\(\infty\), y por lo tanto los enteros\(n\) en la tercera línea por encima de rango sobre todos los enteros cuya factorización de números primos consiste en un producto de potencias del primos\(p_1=2,\cdots, p_N\). También tenga en cuenta que cada uno de esos enteros\(n\) aparece solo una vez en la suma anterior.
Ahora como la serie en la definición de\(\zeta(z)\) converge absolutamente y el orden de los términos en la suma no importa para el límite, y ya que, finalmente, cada entero\(n\) aparece en el lado derecho de 8.15 como\(N\longrightarrow\infty\), entonces\(\lim_{N\to\infty}\left[\sum\frac{1}{n^z}\nonumber\right]_N=\zeta(z)\). Además,\(\lim_{N\to\infty}\prod_{n=1}^N\frac{1}{\left(1-\frac{1}{p_n^z}\right)}\) existe, y el resultado sigue.
La función zeta de Riemann\(\zeta(z)\) como se define a través de la serie especial de Dirichlet anterior, se puede continuar analíticamente a una función analítica a través del plano complejo C excepto hasta el punto\(z=1\), donde la función continua tiene un polo de orden 1. Así, la continuación de\(\zeta(z)\) produce una función meromórfica en C con un polo simple en 1. El siguiente teorema da este resultado.
\(\zeta(z)\), como se definió anteriormente, puede continuarse meromórficamente en C, y puede escribirse en la forma\(\zeta(z)=\frac{1}{z-1}+f(z)\), donde\(f(z)\) está entera.
Dada esta continuación de\(\zeta(z)\), y también dada la ecuación funcional que se satisface con esta función continuada, y que es\[\zeta(z)=2^z\pi^{z-1}\sin\left(\frac{\pi z}{2}\right)\Gamma(1-z)\zeta(1-z),\] (ver una prueba en), donde\(\Gamma\) está la función gamma compleja, se puede deducir que el continuado\(\zeta(z)\) tiene ceros en los puntos\(z=-2,-4,-6,\cdots\) de la eje real negativo. Esto sigue como tal: La función gamma compleja\(\Gamma(z)\) tiene polos en los puntos\(z=-1,-2,-3,\cdots\) de la línea real negativa, y por lo tanto\(\Gamma(1-z)\) debe tener polos\(z=2,3,\cdots\) en el eje real positivo. Y como\(\zeta(z)\) es analítico en estos puntos, entonces debe ser que\(\sin\left(\frac{\pi z}{2}\right)\) o bien\(\zeta(1-z)\) debe tener ceros en los puntos\(z=2,3,\cdots\) para anular los polos de\(\Gamma(1-z)\), y así hacer\(\zeta(z)\) analíticos en estos puntos. Y ya que\(\sin\left(\frac{\pi z}{2}\right)\) tiene ceros en\(z=2,4,\cdots\), pero no en\(z=3,5,\cdots\), entonces debe ser que\(\zeta(1-z)\) tenga ceros en\(z=3,5,\cdots\). Esto da que\(\zeta(z)\) tiene ceros en\(z=-2,-4,-6\cdots\).
También se desprende de la ecuación funcional anterior, y del hecho antes mencionado que no\(\zeta(z)\) tiene ceros en el dominio donde\(Re(z)>1\), que estos ceros a\(z=-2,-4,-6\cdots\) de\(\zeta(z)\) son los únicos ceros que tienen partes reales ya sea menores que 0, o mayores que 1. Fue conjeturado por Riemann, La hipótesis de Riemann, que cada otro cero de\(\zeta(z)\) en la franja restante\(0\leq Re(z)\leq 1\), todos existen en la línea vertical\(Re(z)=1/2\). Esta hipótesis se comprobó para ceros en esta tira con módulo muy grande, pero permanece sin una prueba general. Se piensa que la consecuencia de la hipótesis de Riemann sobre la teoría de números, siempre y cuando resulte cierta, es inmensa.