1.4: Propiedades de divisibilidad elemental

Definición\(\PageIndex{1}\)

Escribimos\(d\mid n\) si hay un entero\(k\) tal que\(n=dk\). La notación\(d\nmid n\) significa que\(d\mid n\) es falso.

Tenga en cuenta que\(a\mid b\) no significa lo mismo que\(a/b\). Recordemos que\(a/b\) representa la fracción\(\frac ab\), un “sustantivo” matemático. La notación\(a\mid b\) representa una sentencia o sentencia matemática completa.

La expresión\(d\mid n\) puede leerse de cualquiera de las siguientes maneras:

1. \(d\)divide\(n\).
2. \(d\)es un divisor de\(n\).
3. \(d\)es un factor de\(n\).
4. \(n\)es un múltiplo de\(d\).

Así, las siguientes cinco afirmaciones son equivalentes, es decir, todas son formas distintas de decir lo mismo.

1. \(2 \mid 6\).
2. 2 divide 6.
3. 2 es un divisor de 6.
4. 2 es un factor de 6.
5. 6 es un múltiplo de 2.

Las definiciones jugarán un papel importante en este curso. Los estudiantes deben aprender todas las definiciones y ser capaces de expresarlas con precisión. Una forma alternativa de exponer la definición de\(d\mid n\) es la siguiente.

Definición\(\PageIndex{2}\)

\(d\mid n\iff n=dk \text{ for some }k\).

o tal vez

Definición\(\PageIndex{3}\)

\(d\mid n\)si y sólo si\(n=dk\) para algunos\(k\).

Tenga en cuenta que estamos asumiendo que todas las letras\(a,b,\dotsc,z\) representan enteros. De lo contrario tendríamos que añadir este hecho a nuestras definiciones. También se puede ver la siguiente definición a veces.

Definición \(\PageIndex{4}\)

\(d\mid n\)si\(n=dk\) para algunos\(k\).

Tenga en cuenta que\(\iff\) y si y sólo si significan lo mismo. En las definiciones (como Definición\(\PageIndex{4}\)), si se interpreta como si y solo si. Cabe destacar que todas las definiciones anteriores son aceptables. Toma tu selección. Pero ten cuidado al hacer tus propias definiciones.

Teorema \(\PageIndex{1}\): Divisibility Properties

Si\(n\),\(m\), y\(d\) son enteros entonces se mantienen las siguientes instrucciones:

1. \(n\mid n\)(todo se divide a sí mismo)
2. \(d\mid n\)y\(n\mid m\ \Longrightarrow d\mid m\) (transitividad)
3. \(d\mid n\)y\(d\mid m\ \Longrightarrow d\mid (an+bm)\) para todos\(a\) y\(b\) (propiedad de linealidad)
4. \(d\mid n\Longrightarrow ad\mid an\)(propiedad de multiplicación)
5. \({ad}\mid{an}\)y\(a\ne 0\)\(\Longrightarrow\)\(d\mid n\) (propiedad de cancelación)
6. \(1\mid n\)(uno divide todo)
7. \(n\mid 1\Longrightarrow n=\pm 1\)(\(1\)y\(-1\) son los únicos divisores de\(1\). )
8. \(d\mid 0\)(todo divide cero)
9. \(0\mid n\Longrightarrow n=0\)(cero divide solo cero)
10. Si\(d\) y\(n\) son positivos y\(d\mid n\) luego\(d\le n\) (propiedad de comparación)

Terminamos este capítulo con una definición más, que será importante en los capítulos que siguen.

Definición\(\PageIndex{5}\)

Si\(c=as+bt\) para algunos enteros\(s\) y\(t\) decimos que\(c\) es una combinación lineal de\(a\) y\(b\).

Así, la declaración 3 en Teorema\(\PageIndex{1}\) dice que si\(d\) divide\(a\) y\(b\), luego\(d\) divide todas las combinaciones lineales de\(a\) y\(b\). En particular,\(d\) divide\(a+b\) y\(a-b\). Esto resultará ser un dato útil, por lo que lo enfatizamos en los ejercicios.

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar cada una de las propiedades\(1\) a través\(10\) en Teorema\(\PageIndex{1}\).

Ejercicio \(\PageIndex{2}\)

Demostrar que si\(b \neq 0\) entonces\(b\mid a\) si y sólo si\(a/b\in\mathbb{Z}\).

(Como se dijo anteriormente, una dificultad que algunos estudiantes tienen con la notación “divide” es confundir su barra vertical con una barra de fracción, las dos barras no son iguales. Uno (es decir,\(\mid\)) representa una relación; el otro (es decir,\(/\) o —) representa una operación binaria. En tu respuesta, paga especial cuidado de que estés usando la barra correcta en cada lugar.)

Ejercicio \(\PageIndex{3}\)

Demostrar que si\(d \mid a\) y\(d \mid b\) entonces\(d\mid (a-b)\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Demostrar que si\(a \in \mathbb{Z}\) entonces el único divisor positivo de ambos\(a\) y\(a+1\) es\(1\). (Pista: use Ejercicio\(\PageIndex{3}\).)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Demostrar que\(x+y\) es divisor de\(x^n+y^n\) para todos los enteros impares positivos\(n\).

(Pista: podría ser útil considerar el resultado probado en el Ejercicio 1.3.12; puede usarlo aquí, si lo desea, sin proporcionar la prueba.)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

1. Usa la inducción para demostrar que\((6n+1)^2-1\) es divisible por 4 por cada entero\(n \geq 0\).
2. Demostrar la misma afirmación de la parte (a) sin usar inducción expandiendo\((6n+1)^2-1\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

1. Demostrar por inducción, no apoyándose en ninguno de los ejercicios del capítulo anterior, que\(7^n-1\) es divisible por 6 por cada entero positivo\(n\).
2. Ahora sustituya uno o más valores por\(n\) en un ejercicio del capítulo anterior para encontrar una prueba más simple de la afirmación en la parte (a). (Algo en lo que pensar: ¿cómo se compara su prueba en la parte (a) con la prueba en el ejercicio que utilizó del capítulo anterior?)