1.18: Pruebas de Divisibilidad para 2, 3, 5, 9, 11

Recordemos de la Definición 1.6.1 que la representación decimal del entero positivo\(a\) viene dada por\[\label{decimal} a=a_{n-1}a_{n-2}\dotsm a_1a_0\] cuándo\[a=a_{n-1}10^{n-1}+a_{n-2}10^{n-2}+\dotsb+a_110+a_0\nonumber \] y\(0\le a_i\le 9\) para\(i=0,1,\dotsc,n-1\).

Teorema \(\PageIndex{1}\)

Dejar que la representación decimal de\(a\) sea dada por\(a=a_{n-1}a_{n-2}\dotsm a_1a_0\). Entonces

1. \(a\bmod 2=a_0\bmod 2\),
2. \(a\bmod 5=a_0\bmod 5\),
3. \(a\bmod 3=\left(a_{n-1}+\dotsb+a_0\right)\bmod 3\),
4. \(a\bmod 9=\left(a_{n-1}+\dotsb+a_0\right)\bmod 9\),
5. \(a\bmod 11=\left(a_0-a_1+a_2-a_3+\dotsb\right)\bmod 11\).

Antes de probar este teorema, vamos a dar algunos ejemplos. \[\begin{aligned} 1457\bmod 2 &=7\bmod 2=1; \\ 1457\bmod 5 &=7\bmod 5=2;\end{aligned}\]\[\begin{split} 1457\bmod 3 =(1+4+5+7)\bmod 3 &=17\bmod 3 \\= (1+7)\bmod 3 &=8\bmod 3=2; \end{split}\]\[\begin{split} 1457\bmod 9 &=(1+4+5+7)\bmod 9 \\ &=17\bmod 9 \\&=(1+7)\bmod 9\\ &=8\bmod 9 \\ &=8; \end{split}\]\[\begin{split} 1457 \bmod 11 &=(7-5+4-1)\bmod 11 \\ &=5\bmod 11 \\ &=5. \end{split}\]

Prueba de teorema\(\PageIndex{1}\)

Prueba

Considera el polinomio\[f(x)=a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb+a_1x+a_0.\nonumber \] Tenga en cuenta que\(10\equiv 0\pmod 2\). Así por Teorema 1.17.3 (4) Es\[a_{n-1}10^{n-1}+\dotsb+a_110+a_0\equiv a_{n-1}0^{n-1}+\dotsb+a_10+a_0\pmod 2.\nonumber \] decir,\[a\equiv a_0\pmod 2.\nonumber \] Esto, junto con el Teorema 1.17.1, prueba parte (a). Ya que\(10\equiv 0\pmod 5\), la prueba de la parte (b) es similar.

Tenga en cuenta que\(10\equiv 1\pmod 3\), así aplicando el Teorema 1.17.3 (4) de nuevo, tenemos Es\[a_{n-1}10^{n-1}+\dotsb+a_110+a_0\equiv a_{n-1}1^{n-1}+\dotsb+a_11+a_0\pmod 3.\nonumber \] decir,\[a\equiv a_{n-1}+\dotsb+a_1+a_0\pmod 3.\nonumber \] Esto, utilizando el Teorema 1.17.1, prueba parte (c). Ya que\(10\equiv 1\pmod 9\), la prueba de la parte (d) es similar.

Ahora\(10\equiv-1\pmod{11}\) así\[a_{n-1}10^{n-1}+\dotsb+a_110+a_0\equiv a_{n-1}(-1)^{n-1}+\dotsb+a_1(-1)+a_0\pmod{11}.\nonumber \] Eso es,\[a\equiv a_0-a_1+a_2-\dotsb\pmod{11}\nonumber \] y por Teorema 1.17.1 ya hemos terminado.

Observación\(\PageIndex{1}\)

Tenga en cuenta que\[m\mid a\Leftrightarrow a\bmod m=0,\nonumber \] así a partir del Teorema\(\PageIndex{1}\) obtenemos inmediatamente el siguiente corolario.

Corolario\(\PageIndex{1}\)

\(a\)Déjese dar por la expresión\(\eqref{decimal}\). Entonces

1. \(2\mid a\Leftrightarrow a_0=0,2,4,6\)o\(8\)
2. \(5\mid a\Leftrightarrow a_0=0\)o\(5\)
3. \(3\mid a\Leftrightarrow 3\mid (a_0+a_1+\dotsb+a_{n-1})\)
4. \(9\mid a\Leftrightarrow 9\mid (a_0+a_1+\dotsb+a_{n-1})\)
5. \(11\mid a\Leftrightarrow 11\mid (a_0-a_1+a_2-a_3+\dotsb)\).

Tenga en cuenta que al aplicar (c), (d) y (e) podemos usar el hecho de que\[(a+m) \bmod m = a\nonumber \] para “echar fuera”\(3\)'s (para (c)) y\(9\)'s (para (d)). He aquí un ejemplo de “casting out\(9\)”:\[\begin{split} 1487\bmod 9 &=(1+4+8+7) \bmod 9 \\ &=(9+4+7)\bmod 9 \\ &=(4+7)\bmod 9 \\ &=(2+9) \bmod 9 \\ &=2\bmod 9=2. \end{split}\] So\(1487\bmod 9=2\).

\[\boxed{\begin{array}{c}\text{Note that if }0\leq r<m\text{ then } \\ r\bmod m=4.\end{array}}\nonumber\]

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Vamos\(a=18726132117057\). Encuentra\(a \bmod m\) para\(m=2,3,5,9\) y\(11\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Utilice la prueba de divisibilidad que se presenta en este capítulo para determinar el próximo año posterior a este que será divisible por 11.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Dejar\(a=a_n\dotsm a_1a_0\) ser la representación decimal de\(a\). Entonces demuestre

1. \(a\bmod 10=a_0\).
2. \(a\bmod 100=a_1a_0\).
3. \(a\bmod 1000=a_2a_1a_0\).

Ejercicio \(\PageIndex{4}\)

Demostrar que si\(b\) es un cuadrado positivo, es decir\(b=a^2\),\(a>0\),, entonces el dígito menos significativo de\(b\) es uno de\(0\),\(1\),\(4\),\(5\), \(6\),\(9\).

(Pista:\(b\bmod 10\) es el dígito menos significativo de\(b\). Escribir\(a=a_{n-1}\dotsm a_0\). Entonces\(a\equiv a_0\pmod{10}\) así\(a^2\equiv a_0^2\pmod{10}\). Para cada dígito\(a_0\in\{0,1,2,\dotsc,9\}\) encontrar\(a_0^2\bmod 10\). Utilice el Teorema 1.17.4, entre otros resultados.)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Anote, con comprobante, una declaración como esa en Ejercicio\(\PageIndex{4}\) que pruebe si\(b\) es un cuadrado positivo observando los dos últimos dígitos de su representación decimal.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

¿Alguno de los siguientes números son cuadrados? Explique, sin usar un dispositivo para tomar una raíz cuadrada. \[10, \quad 11, \quad 16, \quad 19, \quad 24, \quad 25, \quad 272,\quad 2983,\quad 11007,\quad 1120378\nonumber \]