1.19: Pruebas de Divisibilidad para 7 y 13

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Teorema \(\PageIndex{1}\)

Dejar\(a=a_ra_{r-1}\dotsm a_1a_0\) ser la representación decimal de\(a\). Entonces

\(7\mid a\Leftrightarrow 7\mid (a_r\dotsm a_1-2a_0)\).
\(13\mid a\Leftrightarrow 13\mid (a_r\dotsm a_1-9a_0)\).

[Aquí\(a_r\dotsm a_1=\frac{a-a_0}{10}=a_r10^{r-1}+\dotsb+a_210+a_1\). ]

Antes de probar este teorema lo ilustramos con dos ejemplos. \[\begin{split} 7\mid 2481 &\Leftrightarrow 7\mid (248-2) \\ &\Leftrightarrow 7\mid 246 \\ &\Leftrightarrow 7\mid (24-12) \\ &\Leftrightarrow 7\mid 12 \end{split}\]ya\(7\nmid 12\) que tenemos\(7\nmid 2481\).

\[\begin{split} 13\mid 12987 &\Leftrightarrow 13\mid (1298-63) \\ &\Leftrightarrow 13\mid 1235 \\ &\Leftrightarrow 13\mid (123-45) \\ &\Leftrightarrow 13\mid 78 \end{split}\]

ya que\(6\cdot 13=78\), tenemos\(13\mid 78\). Entonces, por Teorema\(\PageIndex{1}\) (b),\(13\mid 12987\).

Prueba de teorema\(\PageIndex{1}\)

Prueba

de (a)

Vamos\(c=a_r\dotsm a_1\). Así que tenemos\(a=10c+a_0\). De ahí\(-2a=-20c-2a_0\). Ahora\(1\equiv -20\pmod 7\) así tenemos\[-2a\equiv c-2a_0\pmod 7.\nonumber \] Se deduce del Teorema 1.17.1 que\[-2a\bmod 7=c-2a_0\bmod 7.\nonumber \] De ahí,\(7\mid -2a\Leftrightarrow 7\mid (c-2a_0)\). Ya\(\gcd(7,-2)=1\) que tenemos\(7\mid -2a\Leftrightarrow 7\mid a\). De ahí\(7\mid a\Leftrightarrow 7\mid (c-2a_0)\), que es lo que queríamos probar.

de (b)

(Esto tiene una prueba similar a la de \(\PageIndex{1}\)(a) y se deja para el lector interesado.)

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Usando el Teorema\(\PageIndex{1}\), determinar cuál de los siguientes, si los hay, es divisible por\(7\); también decidir si alguno de los siguientes es divisible por 13. Muestra todos tus cómputos.

\(6994\)
\(6993\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Dar múltiples razones, entre ellas una aplicación del Teorema\(\PageIndex{1}\), por qué ningún entero de la forma\(10^n\) puede ser divisible por 7 o 13.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Usando el teorema\(\PageIndex{1}\), determinar el año siguiente (después, posiblemente, del año en curso) que es

divisible por 7.
divisible por 13.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Mostrar con el ejemplo que, en la notación del Teorema\(\PageIndex{1}\), no\(a\bmod 7\) necesita ser igual a\((a_r\dotsm a_1-2a_0) \bmod 7\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Mostrar que el número\(a = a_r a_{r-1} \cdots a_1 a_0\) es divisible por 13 si y sólo si\(a_r a_{r-1} \cdots a_1 + 4a_0\) es divisible por 13. (Esto da una prueba ligeramente diferente para la divisibilidad por 13.) Una vez que hayas probado esto, aplícalo para probar si 111,111 es divisible por 13.