1.28: Suma de Cuadrados
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En este capítulo presentamos las respuestas a la primera pregunta formulada en el primer capítulo de este libro: ¿qué enteros positivos se pueden expresar como la suma de dos, tres o cuatro cuadrados perfectos?
Sumas de dos cuadrados
Aquí se muestra la lista de los enteros de 0 a 100 que se pueden escribir como una suma de dos cuadrados, organizados en dos conjuntos de cuatro columnas, con espacios marcando enteros que no son iguales a la suma de dos cuadrados.
Algunos patrones parecen saltar de inmediato:
- No vemos ningún número que sea congruente a 3 módulo 4.
- En la segunda columna vemos mayormente números que están separados por algún múltiplo de 8, así que no vemos ningún número que sea congruente con 6 módulo 8.
Ahora los números que son congruentes a 6 módulo 8 son 2 veces números que son congruentes a 3 módulo 4, así que quizás si un número aparece o no depende de la factorización primo del número. En efecto, la tercera columna no contiene ninguno de los primos 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79 u 83, y muchos —de hecho todos— de los números que faltan en la lista tienen uno de estos primos como factor primo. De hecho,
- Los únicos múltiplos de 3 que aparecen en la lista son 9, 18, 36, 45, 72, 81, 90 —los múltiplos de 9 (\(=3^2\)) pero no de 27 (\(=3^3\)), excepto 81 (\(=3^4\)).
- Los únicos múltiplos de 7 que aparecen en la lista son 49 y 98 —los múltiplos de 49 (\(=7^2\)).
- No aparece múltiplo de 11, 19, ni ninguno de los otros primos faltantes en la lista (aunque claramente si extendimos la lista, entonces\(121 = 11^2 + 0^2\) aparecería en la lista).
Al examinar cómo continúan estos patrones entre números más altos, podríamos llegar a la siguiente afirmación, que justificaremos parcialmente en esta sección.
Un entero positivo\(n\) es igual a la suma de dos cuadrados perfectos si y solo si la factorización prima de no\(n\) contiene exponente impar en ningún primo que sea congruente con\(3\) módulo\(4\).
¿Por qué podría ser esto cierto? Si bien una prueba completa necesitaría más preparación de la que daremos en este texto, podemos establecer algunos lémas útiles para insinuar de dónde viene este teorema.
Si\(a\) y ambos\(b\) pueden escribirse como la suma de dos cuadrados, entonces también se\(ab\) puede escribir como la suma de dos cuadrados.
Prueba
Supongamos que\(a = w^2+x^2\) y\(b = y^2+z^2\). Utilizamos un truco de factorización a partir de los enteros gaussianos:\[a = w^2 - (-x^2) = (w+ix)(w-ix); \qquad b = y^2 - (-z^2) = (y+iz)(y-iz).\nonumber \]\[\begin{aligned} ab &= (w+ix)(w-ix)(y+iz)(y-iz)\\ &= [(w+ix)(y+iz)][(w-ix)(y-iz)]\\ &= [(wy-xz) + i(wz+xy)][(wy-xz)-i(wz+xy)]\\ &= (wy-xz)^2 + (wz+xy)^2. \end{aligned}\] Dado que\(wy-xz\) y\(wz+xy\) son enteros,\(ab\) es una suma de dos cuadrados.
Debido a este lema, si podemos determinar qué poderes de primos se pueden escribir como sumas de dos cuadrados, entonces estaremos mucho más cerca de mostrar que el Teorema\(\PageIndex{1}\) es correcto. La afirmación más fácil es la siguiente:
Si\(p\) es un primo y\(n\) es un entero no negativo, entonces\(p^{2n} = \left(p^n\right)^2+0^2\), por lo que cualquier primo elevado a una potencia par se puede escribir como la suma de dos cuadrados.
Aquí hay otra pieza del rompecabezas.
Si\(n \equiv 3 \pmod 4\), entonces\(n\) no se puede escribir como una suma de dos cuadrados.
Prueba
Observe que para cualquier entero\(k\),\[(2k)^2=4k^2\quad\text{and}\quad (2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1,\nonumber\] por lo que los números pares tienen cuadrados que son congruentes a 0 módulo 4, y los números impares tienen cuadrados que son congruentes a 1 módulo 4. De ahí que la suma de dos cuadrados pueda ser congruente con\(0\) (\(=0+0\)) o\(1\) (\(=0+1\)) o\(2\) (\(=1+1\)), pero no puede ser congruente con el\(3\) módulo 4.
Para completar la prueba del Teorema\(\PageIndex{1}\), necesitaríamos mostrar lo siguiente:
- Cada primo que sea congruente con 1 módulo 4 se puede escribir como una suma de dos cuadrados. (Esta declaración la hizo A. Girard en 1632, y nuevamente por Fermat, quien afirmó en una carta de 1654 a Pascal tener una prueba, aunque no tenemos constancia de ello; Euler publicó una prueba en 1758.)
- Si\(n\) tiene una factorización prima donde algún primo que es congruente con 3 módulo 4 se eleva a un exponente impar, entonces\(n\) no se puede escribir como una suma de dos cuadrados.
Las pruebas de ambas afirmaciones son posibles a través del estudio de los residuos cuadráticos. Estos son simplemente los números que ocurren como cuadrados perfectos con respecto a un módulo dado; por ejemplo, el módulo 10, los residuos cuadráticos son\(0\),\(1\),\(4\),\(9\),\(6\),\(5\) (pero no \(2\),\(3\)\(7\), o\(8\) —estos nunca aparecen como el dígito de las unidades en un cuadrado perfecto). Existe una riqueza de propiedades y resultados interesantes relacionados con los residuos cuadráticos que apenas está fuera del alcance de este libro. Se le anima a buscar estos en un texto un poco más avanzado y hacer algunas lecturas por su cuenta. Mientras tanto, pasaremos ahora al siguiente problema.
Sumas de tres cuadrados
Como hicimos en la sección anterior, comencemos enumerando los enteros no negativos que son como máximo 100 y capaces de escribirse como la suma de tres cuadrados. Recordando de la Sección 1.1 que 7, 15 y 23 no se podían escribir de esta manera, colocamos nuestra lista en 8 columnas.
Aquí los patrones son aún más espantosos:
- No vemos ningún número que sea congruente a 7 módulo 8.
- Los únicos otros números que faltan pertenecen a la 4ª columna, donde son\(28\) (\(=4\cdot 7\)), 60 (\(=4\cdot 15\)) y 92 (\(=4\cdot 23\)); estos números son cada uno 4 veces un número que es congruente con 7 módulo 8.
La última observación sugiere que nuevamente las factorizaciones de un número pueden marcar la diferencia en la expresibilidad como suma de cuadrados.
De hecho, la afirmación correcta, probada por Legendre en 1797 o 1798, es la siguiente:
Un entero positivo\(n\) es igual a la suma de tres cuadrados perfectos si y solo si\(n\) no tiene la forma\(4^a(8b+7)\).
Al igual que la del Teorema\(\PageIndex{1}\), esta prueba está más allá de nuestro alcance en este momento, pero una vez más diremos lo que podamos. Comenzamos con un simple corolario al Teorema\(\PageIndex{1}\).
Cualquier número que pueda escribirse como la suma de dos cuadrados se puede escribir como la suma de tres cuadrados, ya que si\(n=a^2+b^2\) entonces\(n=a^2+b^2+0^2\). De ahí que podamos escribir como la suma de tres cuadrados cualquiera\(n\) para el cual la factorización prima de no\(n\) contiene exponente impar en ningún primo que sea congruente con 3 módulo 4.
También podemos escribir como la suma de tres cuadrados cualquier número que sea 1 más que un número que sea la suma de dos cuadrados, ya que si\(n=a^2+b^2\), entonces\(n+1=a^2+b^2+1^2\).
Al observar las brechas en nuestra lista anterior, vemos que los números que son congruentes a 7 módulo 8 son todos congruentes con 3 módulo 4 y así no son expresables como la suma de dos cuadrados. También observamos que cada brecha en nuestra lista corresponde a una brecha de al menos dos números consecutivos en la lista de números de dos cuadrados en la última sección.
Pasamos a explicar por qué algunos números no pueden escribirse como la suma de tres cuadrados.
Si\(n \equiv 7 \pmod 8\), entonces\(n\) no se puede escribir como una suma de tres cuadrados.
Prueba
Ningún entero de la forma\(4^a(8b+7)\), donde\(a\) y\(b\) son enteros no negativos, es igual a la suma de tres cuadrados.
Prueba
Demostramos el resultado por inducción en\(a\). Observe que si\(a=0\), entonces\(4^a(8b+7)\) no puede igualar la suma de tres cuadrados por Lemma\(\PageIndex{3}\). Supongamos ahora que ningún entero de la forma\(4^s(8m+7)\), donde\(m\) es un entero, es igual a la suma de tres cuadrados para cualquiera\(s \in \{0,1,\dots,k\}\), donde\(k\) es un entero no negativo. Dejemos\(n=4^{k+1}(8b+7)\), y supongamos al contrario que\(n = p^2+q^2+r^2\) para los enteros\(p,q,r\). Ahora\(n \bmod 8 \in \{0,4\}\), y se puede mostrar (ver Ejercicio\(\PageIndex{4}\)) que cada uno de\(p^2,q^2,r^2\) es congruente con\(0\) o\(1\) o\(4\) módulo 8. La única forma en que estos números pueden sumar 0 o 4 módulo 8 es haciendo que todos sean congruentes con 0, o dos congruentes con 0 y uno congruente con 4, o todos congruentes con 4, módulo 8. En cada caso, cada uno de\(p^2,q^2,r^2\) es divisible por 4, y por lo tanto cada uno de\(p,q,r\) es divisible por 2. Podemos escribir así\(p=2p'\),, y\(q=2q'\)\(r=2r'\), donde\(p',q',r'\) están los enteros, y así\[n = (2p')^2+(2q')^2+(2r')^2 = 4[(p')^2+(q')^2+(r')^2],\nonumber \] y por lo tanto el entero se\(n/4\) puede escribir como una suma de tres cuadrados:\[4^{k}(8b+7) = (p')^2+(q')^2+(r')^2.\nonumber \] Dado que el exponente en \(4\)arriba hace que el lado izquierdo se ajuste a nuestra hipótesis de inducción, esto es una contradicción. De ahí que por PMI, ningún entero de la forma\(4^a(8b+7)\), donde\(a\) y\(b\) son enteros no negativos, es igual a la suma de tres cuadrados.
Para completar la prueba del Teorema\(\PageIndex{2}\), tendríamos que demostrar que cada número\(n\) que no sea de la forma\(4^a(8b+7)\) puede escribirse como la suma de tres cuadrados. Este resultado es bastante más complicado que el teorema de dos cuadrados de la última sección o el teorema de cuatro cuadrados en la siguiente sección. Sus pruebas, como la prueba del teorema de dos cuadrados, a menudo hacen uso de propiedades de residuos cuadráticos (y en particular, un teorema conocido como la ley de la reciprocidad cuadrática) que están más allá del alcance de este libro, pero que vale la pena perseguir, si te interesa.
Sumas de cuatro cuadrados
En la Sección 1.1 identificamos ningún entero positivo que no pudiera escribirse como la suma de cuatro cuadrados. Esto no es un accidente.
Cada entero positivo\(n\) es igual a la suma de cuatro cuadrados perfectos.
Se cree que esta afirmación fue conocida (aunque sin pruebas) por Diofanto, basada en ejemplos en la Aritmética; una prueba fue dada por Lagrange en 1770.
Una vez que Legendre probó el teorema de los tres cuadrados (Teorema\(\PageIndex{2}\)) en 1797—1798, el teorema de cuatro cuadrados se convirtió en corolario, como ahora mostramos.
Prueba
Dejar\(n\) ser cualquier entero positivo. Si\(n=a^2+b^2+c^2\) para enteros\(a,b,c\), entonces\(n=a^2+b^2+c^2+0^2\). Si\(n\) no se puede escribir como la suma de tres cuadrados perfectos, entonces\(n\) tiene la forma\(4^k(8\ell+7)\) para enteros no negativos\(k,\ell\). El número\(4^k(8\ell+6)\) no tiene esta forma (el exponente sobre 2 en la factorización primo es impar, mientras que el exponente en 2 es par en la factorización primo de\(4^k(8\ell+7)\)). Así existen enteros\(a,b,c\) tales que\(4^k(8\ell+6) = a^2+b^2+c^2\), y\[n=4^k(8\ell+7) = 4^k(8\ell+6) + 4^k = a^2+b^2+c^2+(2^{k})^2.\nonumber \] Por lo tanto siempre\(n\) pueden escribirse como la suma de cuatro cuadrados.
Sin embargo, la prueba de Lagrange es anterior a la de Legendre en casi dos décadas, y es mucho más simple. No vamos a dar la prueba completa aquí —una vez más, involucra hechos sobre residuos cuadráticos que actualmente no tenemos— pero mencionaremos un análogo de cuatro cuadrados del truco en Lemma\(\PageIndex{1}\) que también es útil aquí.
Si\(a\) y ambos\(b\) pueden escribirse como la suma de cuatro cuadrados, entonces también se\(ab\) puede escribir como la suma de cuatro cuadrados.
Prueba
Supongamos que\(a = a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2\) y\(b = b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2\). El álgebra tedioso aunque sencillo verifica que\[\begin{aligned} ab &= (a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)\\ &= \phantom{+}(a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3-a_4b_4)^2 \\ &\phantom{=} +(a_1b_2+a_2b_1+a_3b_4-a_4b_3)^2\\ &\phantom{=} +(a_1b_3-a_2b_4+a_3b_1+a_4b_2)^2\\ &\phantom{=} +(a_1b_4+a_2b_3-a_3b_2+a_4b_1)^2. \end{aligned}\] Cada una de las cantidades dentro de un par coincidente de paréntesis es un entero, así\(ab\) es la suma de cuatro cuadrados. \(^{1}\)
De ello se deduce que si podemos demostrar que cada primo es la suma de cuatro cuadrados, entonces cada entero positivo puede escribirse como la suma de cuatro cuadrados. Los resultados del estudio de los residuos cuadráticos nos permiten probar el resultado de cuatro cuadrados para los primos, y\(\PageIndex{3}\) sigue el Teorema.
Al concluir este capítulo, mencionamos que los resultados de este capítulo se vinculan con el problema de Waring, propuesto en 1770 (el mismo año que la prueba del teorema de cuatro cuadrados de Lagrange) por Edward Waring. El problema de Waring se pregunta si cada poder\(k\) tiene un número asociado de\(t_k\) tal manera que cada entero positivo puede expresarse como la suma de potencias\(t_k\)\(k\) -ésima. Por ejemplo, cuando\(k=2\), hemos demostrado que podemos tomar\(t_2=4\), ya que cada número puede escribirse como la suma de cuatro cuadrados perfectos. ¿Debe\(t_k\) existir para todos\(k\)? La respuesta es sí, como lo demostró David Hilbert en 1909.
Existen otros resultados similares. Por ejemplo, Fermat declaró en 1638 (de nuevo, sin pruebas) que cada entero positivo es una suma de a lo sumo números\(n\) -gonales\(n\) diferentes, donde un número\(n\) -gonal o un número poligonal es un número que cuenta el número de puntos utilizados cuando los puntos están dispuestos en “conchas” con forma de un\(n\) -gon regular. Los números triangulares del Ejercicio 1.3.14 son un ejemplo. En el diario matemático de Gauss del 10 de julio de 1796, se informa que escribió, usando griego y alguna taquigrafía simbólica personal,
\(\mathrm{E}\Upsilon\mathrm{P}\mathrm{E}\mathrm{K}\mathrm{A}\)! \(\mathrm{num} = \Delta\)+\(\Delta\) +\(\Delta\).
Este resultado se denomina en consecuencia el “Teorema de Eureka” de Gauss; en palabras, establece que cada entero positivo puede escribirse como la suma de como máximo tres números triangulares. Por supuesto Teorema\(\PageIndex{3}\), resultado de Lagrange de 1770, muestra que cada entero positivo puede escribirse como la suma de como máximo cuatro números cuadrados. Finalmente, el reclamo de número poligonal de Fermat fue probado para todos\(n\) por Cauchy en 1813.
Estos teoremas resaltan una propiedad especial de estos números. A modo de contraste, observe que aunque cada entero positivo puede escribirse como una suma de potencias integrales de 2 (o cualquier base entera mayor, esto era el Teorema 1.6.1), no siempre podemos hacerlo con tres potencias de 2, o cuatro, o incluso diez potencias de 2. El número de summands necesarios crece rápidamente más grande que cualquier número finito en particular; de hecho, siempre\(2^n-1\) necesitará al menos\(n\) summands, sin importar cuán grande\(n\) sea. Así que los números cuadrados y los números poligonales de alguna manera poseen propiedades útiles que los poderes de un entero no tienen. Probablemente hay una lección ahí... o tal vez incluso una pregunta de investigación.
Ejercicios
¿Cuál de las siguientes puede escribirse como una suma de dos cuadrados? Para cualquiera que no pueda, dar una justificación detallada de por qué no. Para cualquiera que pueda, enumere dos números cuyos cuadrados sumen al número dado.
- 315
- 569
- 100,000
- 54,925.
Demostrar que la norma de un entero gaussiano nunca puede ser congruente con 3 módulo 4.
Demostrar que un entero primo que es congruente con 1 módulo 4 nunca es un primo gaussiano (como se define en la Sección 1.13).
(Sugerencia: como parte de su respuesta, recuerde cómo se pueden factorizar las sumas de cuadrados en los enteros gaussianos.)
Mostrar que ningún entero de la forma\(8b+7\) es igual a la suma de tres cuadrados.
(Pista: Sigue el espíritu de la prueba de Lemma\(\PageIndex{2}\), observando los posibles residuos de\(a^2+b^2+c^2\), módulo 8, sobre todos los casos posibles para los restos cuando\(a,b,c\) se dividen por 4.)
¿Cuál de las siguientes puede escribirse como una suma de tres cuadrados? Para cualquiera que no pueda, dar una justificación detallada de por qué no. Para cualquiera que pueda, enumere tres números cuyos cuadrados sumen al número dado.
- 331
- 156
- 76.
Escribe cada uno de los números\(n\), para\(30 \leq n \leq 40\), como una suma de cuadrados, en cada caso usando el menor número de cuadrados posible.
(Para estudiantes que hayan visto matrices y determinantes. ) En muchos sentidos, las matrices de la forma\(\begin{bmatrix}a & b\\-b & a\end{bmatrix}\), donde\(a,b \in \mathbb{Z}\), se comportan como enteros gaussianos\(a+bi\). (Para ver esto, sumar y multiplicar\(a+bi\) y\(c+di\), y comparar los resultados con la suma y producto de\(\begin{bmatrix}a & b\\-b & a\end{bmatrix}\) y\(\begin{bmatrix}c & d\\-d & c\end{bmatrix}\).) Ahora el determinante de\(\begin{bmatrix}a & b\\-b & a\end{bmatrix}\) es\(a^2+b^2\), que es igual\((a+bi)(\overline{a+bi})\) y también equivale a una suma de dos cuadrados. Esto nos da otra forma de derivar la identidad en Lemma\(\PageIndex{1}\), que ahora llevarás a cabo:
Calcula el determinante de\(\begin{bmatrix}a & b\\-b & a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c & d\\-c & d\end{bmatrix}\) multiplicando las matrices y luego encontrando el determinante. A continuación, utilizar la propiedad\(\det XY = (\det X)(\det Y)\) de matrices para concluir Lemma\(\PageIndex{1}\).
(Para estudiantes que hayan visto matrices y determinantes. ) Cuando modificamos las matrices utilizadas en el ejercicio previoius, obtenemos resultados aún más interesantes. Matrices de la forma\(\begin{bmatrix}a+bi & c+di\\-c-di & a-bi\end{bmatrix}\), donde\(a,b,c,d \in \mathbb{Z}\), se comportan como elementos de un sistema numérico conocido como los cuaterniones, donde los números tienen la forma\(a+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k}\) para símbolos especiales\(\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\) que, como el número imaginario\(i\), tienen ciertas propiedades especiales. Una búsqueda rápida en internet revelará detalles de computación con cuaterniones; haz algo de lectura por tu cuenta, si lo deseas. Los cuaterniones se pueden utilizar para probar Lema\(\PageIndex{5}\) de la misma manera que se utilizaron los enteros gaussianos para probar Lemma\(\PageIndex{1}\). Sin embargo, por simplicidad (?) , trabajaremos con los análogos matriciales de los cuaterniones, que involucran solo matrices con entradas enteras gaussianas.
Ahora el determinante de\(\begin{bmatrix}a+bi & c+di\\-c-di & a-bi\end{bmatrix}\) es\(a^2+b^2+c^2+d^2\), una suma de cuatro cuadrados. Podemos usar esto de manera similar a la del ejercicio anterior.
Calcula el determinante de\(\begin{bmatrix}a_1+a_2i & a_3+a_4i\\-a_3+a_4i & a_1-a_2i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1+b_2i & b_3+b_4i\\-b_3+b_4i & b_1-b_2i\end{bmatrix}\) multiplicando las matrices y luego encontrando el determinante. Después utilizar la propiedad\(\det XY = (\det X)(\det Y)\) de matrices para concluir Lemma\(\PageIndex{5}\).
Notas al pie
[1] Esta identidad se incluyó en una carta que Euler escribió a Goldbach en 1748. Al igual que la prueba de Lemma\(\PageIndex{1}\), hay una manera de llegar a esta identidad de una manera casi directa mediante el uso de un conjunto diferente de números. Sin embargo, en lugar de enteros gaussianos y conjugados complejos, los números y el concepto que necesitamos aquí son los cuaterniones y los conjugados de cuaterniones. ¡Mira estos! O para una prueba alternativa, ver Ejercicio\(\PageIndex{8}\).