1.4: Demostrar identidades

Hay muchos métodos que se pueden utilizar para probar una identidad. Lo más sencillo es utilizar la manipulación algebraica, como hemos demostrado en los ejemplos anteriores. En una prueba algebraica, hay tres enfoques aceptables:

• De izquierda a derecha: expande o simplifica el lado izquierdo hasta obtener el lado derecho.
• De derecha a izquierda: expande o simplifica el lado derecho hasta obtener el lado izquierdo.
• Reúnase en el medio: expanda o simplifique el lado izquierdo y el lado derecho por separado hasta obtener el mismo resultado de ambos lados.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Para demostrar que\[x^3-y^3 = (x-y) (x^2+xy+y^2), \nonumber\] partimos del lado derecho, porque es más complicado que el lado izquierdo. La prueba procede de la siguiente manera:

Solución

\[\begin{array}{l c l} (x-y)(x^2+xy+y^2) &=& x^3-x^2y+x^2y-xy^2+xy^2-y^3 \\ &=& x^3-y^3.\end{array}\label{eg:provingID-01}\]Recuerda: empieza por un lado y trabaja en él hasta obtener el otro lado.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

La siguiente “prueba” de\[x^4+x^2y^2+y^4 = (x^2+xy+y^2) (x^2-xy+y^2) \nonumber\] es incorrecta:

\ [\ begin {eqnarray*}
x^4+x^2y^2+y^4
&=& (x^2+xy+y^2) (x^2-xy+y^2)\\
&=&
x^4-x^3y+x^2y^2+x^3y-x^2y^2y^2+xy^3+x^2y^2y^2y^3y^3y^3y^3y^3y^3y^2y^3y^3y^2y^2y=& x^4+x^2y^2+y^4. \ label {eg:wrong pf1}
\ end {eqnarray*}\]

Aquí está la razón. Cuando colocamos

\[x^4+x^2y^2+y^4 = (x^2+xy+y^2) (x^2-xy+y^2) \nonumber\]

al inicio de la prueba, por convención, estamos proclamando que efectivamente\(x^4+x^2y^2+y^4\) es igual a\((x^2+xy+y^2) (x^2-xy+y^2)\). No obstante, esto es lo que se nos pide probar. Antes en realidad hemos demostrado que es cierto, aún no sabemos, si son iguales. Por lo tanto, es erróneo comenzar la prueba con ella.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Por la misma razón,\[x^3-y^3 = (x-y) (x^2+xy+y^2) \nonumber\] es inaceptable la siguiente “prueba” de la identidad:

\ [\ begin {array} {lcl}
x^3-y^3 &=& (x-y) (x^2+xy+y^2)\\
x^3-y^3 &=& x^3-x^2y+x^2y-xy^2+xy^2-y^3\
x^3-y^3 &=& x^3-y^3\ label {eg:errorpf2} fin
\ {matriz}\]

Al poner\(x^3-y^3\) en el lado izquierdo de cada línea, esto se convierte (por convención) en una colección de tres ecuaciones. En pocas palabras, el argumento comienza con una ecuación y simplificamos hasta obtener algo que sabemos que es cierto. Si este formato es válido, podemos “probar” que\(21=6\), de la siguiente manera:

\ [\ begin {eqnarray*}
21 &=& 6\\
6 &=& 21\\
27 &=& 27
\ end {eqnarray*}\]

\(21=6\)Al escribir al principio de la prueba, lo que realmente decimos es “Asumir\(21=6\) es verdad”. Pero esto es lo que pretendemos probar. Así, en efecto, estamos poniendo el carro frente al caballo, lo cual es lógicamente incorrecto. Hay otra explicación por qué esta prueba es incorrecta. Lo discutiremos en la Sección 2.3.

En resumen: no podemos comenzar con la identidad dada y simplificar ambos lados hasta que obtengamos una igualdad (o una ecuación de la forma\(0=0\)).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

\(\frac{1}{6}\,k(k+1)(2k+1) + (k+1)^2 = \frac{1}{6} (k+1)(k+2)(2k+3)\)Demuéstralo.

Solución 1

Podemos usar el enfoque de “reunirse en el medio”. Recordemos que no podemos simplificar ambas partes simultáneamente. En cambio, deberíamos expandir los dos lados por separado, y luego comparar los resultados. También sugerimos agregar más escritura (en palabras) para ayudar con la explicación.

Después de la expansión, el lado izquierdo se convierte

\ [\ begin {eqnarray*}
\ textstyle\ frac {1} {6}\, k (k+1) (2k+1) + (k+1) ^2
&=&\ textstyle\ frac {1} {6} (2k^3+3k^2+k) + (k^2+2k+1)\\
&=&\ textstyle\ frac {1} {3}\, k^3+\ frac {3} {2}\, k^2+\ frac {13} {6}\, k+1.
\ label {eg:provingid-02}\ end {eqnarray*}\]

El lado derecho se expande

\ [\ begin {eqnarray*}
\ textstyle\ frac {1} {6} (k+1) (k+2) (2k+3)
&=&\ textstyle\ frac {1} {6} (2k^3+9k^2+13k+6)\\
&=&\ textstyle\ frac {1} {3}\, k^3+\ frac {3} {2}\, k^2+\ frac {13} {6}\, k+1.
\ end {eqnarray*}\]

Dado que ambos lados arrojan el mismo resultado, deben ser iguales.

Si bien la prueba es correcta, requiere de dos conjuntos de cómputos. Es mucho más fácil usar el enfoque de izquierda a derecha o de derecha a izquierda.

Solución 2

Una mejor alternativa es comenzar por el lado izquierdo y simplificarlo hasta obtener el lado derecho. Nuestra arma secreta es la factorización:

\ [\ begin {eqnarray*}
\ textstyle\ frac {1} {6}\, k (k+1) (2k+1) + (k+1) ^2
&=&\ textstyle\ frac {1} {6} (k+1) [k (2k+1) +6 (k+1)]\\
&=&\ textstyle\ frac {1} {6} (k+1) (k+1)) (2k^2+7k+6)\\
&=&\ textstyle\ frac {1} {6} (k+1) (k+2) (2k+3).
\ end {eqnarray*}\]

Este enfoque suele ser mejor y más seguro, porque no se trata de cómputos desordenados.

Ejercicio práctico\(\PageIndex{1}\)

Mostrar que\ [\ label {el:provingid-01}\ frac {k (k+1) (k+2)} {3} + (k+1) (k+2)
=\ frac {(k+1) (k+2) (k+3)} {3}. \ nonumber\] Asegúrese de usar uno de los tres métodos que discutimos anteriormente.

Resumen y revisión

• Sólo hay tres formas de probar una identidad: de izquierda a derecha, de derecha a izquierda, o reunirse en el medio.
• Nunca demuestres una identidad simplificando ambas partes simultáneamente.

Ejercicios\(\PageIndex{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\label{ex:provingid-01}\)

Dejar\(x\) y\(y\) ser cualquier número real. Demostrar que\[ (x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3. \nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\label{ex:provingid-02}\)

Dejar\(x\) y\(y\) ser cualquier número real. Demostrar que\[ (a-b)^4 = a^4-4a^4b+6a^2b^2-4ab^3+b^4. \nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\label{ex:provingid-03}\)

Demostrar que, para cualquier número real distinto\(x\) y\(y\),\[ \frac{x^3-y^3}{x-y} = x^2+xy+y^2. \nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\label{ex:provingid-04}\)

Demostrar que, para cualquier entero\(k\),\ [\ frac {k (k+1) (k+2) (k+3)} {4} + (k+1) (k+2) (k+3)
=\ frac {(k+1) (k+2) (k+3) (k+3) (k+4)} {4}. \ nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{5}\label{ex:provingid-05}\)

Demostrar que, para cualquier entero\(k\),\ [\ frac {k^2 (k+1) ^2} {4} + (k+1) ^3
=\ frac {(k+1) ^2 (k+2) ^2} {4}. \ nonumber\]