2.3: Implicaciones

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

La mayoría de los teoremas en matemáticas aparecen en forma de declaraciones compuestas llamadas declaraciones condicionales y bicondicionales. Estudiaremos declaración bicondicional en el siguiente apartado. Las declaraciones condicionales también se denominan implicaciones.

Una implicación es la declaración compuesta de la forma “si$p$, entonces”$q$. Se denota$p \Rightarrow q$, que se lee como “$p$implica”$q$. Es falso sólo cuando$p$ es verdadero y$q$ es falso, y es cierto en todas las demás situaciones.

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

La afirmación$p$ en una implicación$p \Rightarrow q$ se llama su hipótesis, premisa o antecedente, y$q$ la conclusión o consecuencia.

Las implicaciones vienen en muchas formas disfrazadas. Existen varias alternativas para decir$p \Rightarrow q$. Los más comunes son

$p$implica$q$,
$p$sólo si$q$,
$q$si$p$,
$q$, siempre que$p$.

Todos ellos significan$p\Rightarrow q$.

Las implicaciones juegan un papel clave en el argumento lógico. Si se sabe que una implicación es verdadera, entonces siempre que se cumpla la hipótesis, la consecuencia también debe ser verdadera. Es por ello que a una implicación también se le llama declaración condicional.

Ejemplo$\PageIndex{1}\label{eg:imply-01}$

La fórmula cuadrática afirma que\[b^2-4ac>0 \quad \Rightarrow \quad ax^2+bx+c=0 \mbox{ has two distinct real solutions}.\] Consecuentemente, la ecuación$x^2-3x+1=0$ tiene dos soluciones reales distintas porque sus coeficientes satisfacen la desigualdad$b^2-4ac>0$.

ejercicio práctico$\PageIndex{1}\label{he:imply-01}$

De manera más general,

Si$b^2-4ac>0$, entonces la ecuación$ax^2+bx+c=0$ tiene dos soluciones reales distintas. De hecho,$ax^2+bx+c = a(x-r_1)(x-r_2)$, dónde$r_1\neq r_2$ están las dos raíces distintas.
Si$b^2-4ac=0$, entonces la ecuación$ax^2+bx+c=0$ tiene sólo una solución real$r$. En tal caso,$ax^2+bx+c = a(x-r)^2$. En consecuencia, llamamos$r$ raíz repetida.
Si$b^2-4ac=0$, entonces la ecuación no$ax^2+bx+c=0$ tiene una solución real.

Utilice estos resultados para determinar cuántas soluciones tienen estas ecuaciones:

$4x^2+12x+9=0$
$2x^2-3x-4=0$
$x^2+x=-1$

Ejemplo$\PageIndex{2}\label{eg:imply-02}$

Hemos remarcado anteriormente que muchos teoremas en matemáticas están en forma de implicaciones. Aquí hay un ejemplo:

Si$|r|<1$, entonces$1+r+r^2+r^3+\cdots = \text{F}rac{1}{1-r}$.
Significa, simbólicamente,$|r|<1 \Rightarrow 1+r+r^2+r^3+\cdots = \text{F}rac{1}{1-r}$.

ejercicio práctico$\PageIndex{2}\label{he:imply-02}$

Exprese la siguiente declaración en símbolos:

Si$x>y>0$, entonces$x^2>y^2$.

Ejemplo$\PageIndex{3}\label{eg:imply-03}$

Si un padre promete a sus hijos, “Si mañana es soleado, iremos a la playa”, los niños lo tomarán como una verdadera declaración. En consecuencia, si despiertan a la mañana siguiente y lo encuentran soleado afuera, esperan que vayan a la playa. El padre rompe su promesa (de ahí haciendo falsa la implicación) sólo cuando hace sol pero no lleva a sus hijos a la playa.

Si está nublado afuera a la mañana siguiente, desconocen si irán a la playa, porque no se puede sacar ninguna conclusión de la implicación (la promesa de su padre) si el clima es malo. No obstante, todavía pueden ir a la playa, ¡aunque llueva! Dado que su padre no contradice su promesa, la implicación sigue siendo cierta.

A muchos estudiantes les molesta la validez de una implicación incluso cuando la hipótesis es falsa. Puede ayudar si entendemos cómo usamos una implicación.

Solución

Supongamos que queremos demostrar que cierta afirmación$q$ es cierta.

Primero, encontramos un resultado de la forma$p\Rightarrow q$. Si no podemos encontrar uno, tenemos que demostrar que eso$p\Rightarrow q$ es cierto.
A continuación, mostrar que$p$ se cumple la hipótesis.
Estos dos pasos juntos nos permiten sacar la conclusión que$q$ debe ser cierta.

En consecuencia, si$p$ es falso, no se espera que utilicemos$p\Rightarrow q$ en absoluto la implicación. Como no lo vamos a usar, podemos definir su valor de verdad a lo que nos guste. Sin embargo, tenemos que mantener la coherencia [pg:consistence] con otras conectivas lógicas. Daremos una justificación de nuestra elección al final de la siguiente sección.

Ejemplo$\PageIndex{4}\label{eg:imply-04}$

Para demostrar que “si$x=2$, entonces$x^2=4$” es cierto, no necesitamos preocuparnos por esos$x$ -valores que no son iguales a 2, porque la implicación es inmediatamente verdadera si$x\neq 2$. Basta con asumir eso$x=2$, y tratar de demostrar que vamos a conseguir$x^2=4$. Desde que sí tenemos$x^2=4$ cuándo$x=2$, se establece la validez de la implicación.

En contraste, para determinar si la implicación “si$x^2=4$, entonces$x=2$” es verdadera, asumimos$x^2=4$, e intentamos determinar si$x$ debe ser 2. Ya$x = -2$ que hace$x^2=4$ verdad pero$x=2$ falsa, la implicación es falsa.

En general, para refutar una implicación, basta con encontrar un contraejemplo que haga verdadera la hipótesis y la conclusión falsa.

ejercicio práctico$\PageIndex{3}\label{he:imply-0}$

Determina si estas dos afirmaciones son verdaderas o falsas:

Si$(x-2)(x-3)=0$, entonces$x=2$.
Si$x=2$, entonces$(x-2)(x-3)=0$.

Explique.

Ejemplo$\PageIndex{5}\label{eg:imply-05}$

Aunque dijimos que los ejemplos se pueden usar para refutar una afirmación, los ejemplos por sí solos nunca pueden usarse como pruebas. Si se le pide que demuestre que

\[\mbox{if $x>2$, then $x^2>4$},\]

no puedes probarlo comprobando solo unos pocos valores de$x$, porque puedes encontrar un contraejemplo después de probar algunos cálculos más. Por lo tanto, los ejemplos son sólo para fines ilustrativos, no son aceptables como pruebas.

Ejemplo$\PageIndex{6}\label{eg:imply-06}$

El comunicado

“Si un triángulo$PQR$ es isósceles, entonces dos de sus ángulos tienen igual medida”.

toma la forma de una implicación$p\Rightarrow q$, donde

\[\begin{array}{l@{\quad}l} p: & \mbox{The triangle $PQR$ is isosceles} \\ q: & \mbox{Two of the angles of the triangle $PQR$ have equal measure} \end{array}\]I

n este ejemplo, tenemos que reformearlas$p$ y$q$, porque cada una de ellas debe ser una declaración independiente. Si nos vamos$q$ como “dos de sus ángulos tienen igual medida”, no está claro a qué se refiere “su”. Además, es un buen hábito deletrear los detalles. Nos ayuda a enfocar nuestra atención en lo que estamos investigando.

Ejemplo$\PageIndex{7}\label{eg:isostrig}$

El comunicado

“Un cuadrado también debe ser un paralelogramo”.

se puede expresar como una implicación: “si el cuadrilátero$PQRS$ es un cuadrado, entonces el cuadrilátero$PQRS$ es un paralelogramo”.

De igual manera, el comunicado

“Todos los triángulos isósceles tienen dos ángulos iguales”.

se puede reformular como “si el triángulo$PQR$ es isósceles, entonces el triángulo$PQR$ tiene dos ángulos iguales”. Dado que hemos expresado la declaración en forma de implicación, ya no necesitamos incluir la palabra “todos”.

ejercicio práctico$\PageIndex{1}\label{he:imply-04}$

Reescribe cada una de estas sentencias lógicas:

Cualquier cuadrado es también un paralelogramo.
Un número primo es un entero.
Todos los polinomios son diferenciables.

como implicación$p\Rightarrow q$. Especificar qué$p$ y$q$ son.

Ejemplo$\PageIndex{8}\label{eg:imply-08}$

¿En qué se traduce “$p$a menos que$q$”, lógicamente hablando? Sabemos que eso$p$ es cierto, siempre y cuando eso$q$ no suceda. Significa, en símbolo,$\overline{q}\Rightarrow p$. Por lo tanto,

El cuadrilátero no$PQRS$ es un cuadrado a menos que el cuadrilátero$PQRS$ sea un paralelogramo

es lo mismo que decir

Si un cuadrilátero no$PQRS$ es un paralelogramo, entonces el cuadrilátero no$PQRS$ es un cuadrado.

Equivalentemente, “$p$a menos$q$” significa$\overline{p}\Rightarrow q$, porque$q$ es una condición necesaria que$p$ impide que suceda.

Dada una implicación$p \Rightarrow q$, definimos tres implicaciones relacionadas:

Su inverso se define como$q \Rightarrow p$.
Su inversa se define como$\overline{p} \Rightarrow \overline{q}$.
Su contrapositivo se define como$\overline{q} \Rightarrow \overline{p}$.

Entre ellos, el contrapositivo$\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ es el más importante. Lo volveremos a estudiar en la siguiente sección.

Ejemplo$\PageIndex{9}\label{eg:imply-09}$

A continuación se enumeran los valores inverso, inverso y contrapositivo de “$x>2\Rightarrow x^2>4$”. \[% \arraygap{1.25} \begin{array}{l@{\quad}rcl} \mbox{converse:} & x^2>4 &\Rightarrow& x>2, \\ \mbox{inverse:} & x\leq2 &\Rightarrow& x^2\leq4, \\ \mbox{contrapositive:}& x^2\leq4 &\Rightarrow& x\leq2. \end{array}\]Podemos cambiar la notación cuando negamos una declaración. Si es apropiado, incluso podemos reformular una oración para que la negación sea más legible.

Ejemplo$\PageIndex{5}\label{he:imply-05}$

Enumere lo contrario, inverso y contrapositivo de la afirmación “si$p$ es primo, entonces$\sqrt{p}$ es irracional”.

El inverso de una implicación rara vez se usa en matemáticas, por lo que solo estudiaremos los valores de verdad de lo contrario y contrapositivo.

\[\begin{array}{|*{7}{c|}} \hline p & q & p\Rightarrow q & q\Rightarrow p & \overline{q} & \overline{p} & \overline{q}\Rightarrow\overline{p} \\ \hline \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{F} & \text{F} & \text{T} \\ \text{T} & \text{F} & \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{F} & \text{F} & \text{T} & \text{T} \\ \text{F} & \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \hline \end{array}\]

Una implicación y su contrapositivo siempre tienen el mismo valor de verdad, pero esto no es cierto para lo contrario. Lo que esto significa es que, aunque sabemos que$p\Rightarrow q$ es verdad, no hay garantía de que también$q\Rightarrow p$ sea cierto. Esta es una observación importante, sobre todo cuando tenemos un teorema expresado en forma de implicación. Así que volvamos a decirlo:

\[\fbox{The converse of a theorem in the form of an implication may not be true.}\]

En consecuencia, si sólo sabes que eso$p\Rightarrow q$ es cierto, no asumas que también$q\Rightarrow p$ es cierto lo contrario. De igual manera, si se le pide que demuestre que eso$p\Rightarrow q$ es cierto, no intente probarlo$q\Rightarrow p$, porque estas dos implicaciones no son las mismas.

Ejemplo$\PageIndex{10}\label{eg:imply-provingID}$

Sabemos que eso$p\Rightarrow q$ no significa necesariamente que también tengamos$q\Rightarrow p$. Esta importante observación explica la invalidez de la “prueba” de$21=6$ en Ejemplo [eg:malpf2].

\ [\ begin {eqnarray*}
21 &=& 6\\
6 &=& 21\\
27 &=& 27
\ end {eqnarray*}\]

El argumento que usamos aquí consiste en tres ecuaciones, pero no son ecuaciones individuales no relacionadas. Están conectados por implicación.

\ [\ begin {eqnarray*}
\ phantom {\ Rightarrow\ qquad} 21 &=& 6\\
\ Rightarrow\ qquad\ phantom {2} 6 &=& 21\\
\ Rightarrow\ qquad 27 &=& 27
\ end {eqnarray*}\]

Dado que las implicaciones no son reversibles, aunque sí las tengamos$27=27$, no podemos usar este hecho para probarlo$21=6$. Después de todo, una implicación es cierta si su hipótesis es falsa. Por lo tanto, tener una implicación verdadera no significa que su hipótesis deba ser cierta. En este ejemplo, la lógica es sólida, pero no lo prueba$21=6$.

Hay otras dos formas de describir una implicación$p\Rightarrow q$ con palabras. Son completamente diferentes a las que hemos visto hasta ahora. Se enfocan en si podemos decir uno de los dos componentes$p$ y$q$ es verdadero o falso si conocemos el valor de verdad del otro.

$p$es una condición suficiente para$q$
$q$es una condición necesaria para$p$.

Son difíciles de recordar, y pueden confundirse fácilmente. Es posible que desee visualizarlo pictóricamente:

\ [\ fbox {$\ mbox {condición suficiente}\ Rightarrow
\ mbox {condición necesaria} $.}\]

La idea es, asumiendo que eso$p\Rightarrow q$ es cierto, entonces

$q$Para ser verdad, basta con saber o demostrar que$p$ es verdad. De ahí que saber$p$ que es verdad por sí solo es suficiente para que podamos sacar la conclusión$q$ que también debe ser cierto.
$p$Para que sea verdad, es necesario tener$q$ ser verdad también. Así, saber$q$ es verdad no significa necesariamente que eso$p$ deba ser cierto.

Ejemplo$\PageIndex{11}\label{eg:imply-11}$

Considerar la implicación\[x=1 \Rightarrow x^2=1.\] Si$x=1$, debemos tener$x^2=1$. Entonces, saber$x=1$ es suficiente para que concluyamos eso$x^2=1$. Decimos que$x=1$ es una condición suficiente para$x^2=1$.

Si$x=1$, es necesariamente cierto eso$x^2=1$, porque, por ejemplo, es imposible tener$x^2=2$. Sin embargo, saber$x^2=1$ por sí solo no es suficiente para que podamos decidir si$x=1$, porque$x$ puede serlo$-1$. Por lo tanto, no$x^2=1$ es una condición suficiente para$x=1$. En cambio,$x^2=1$ es sólo una condición necesaria para$x=1$.

ejercicio práctico$\PageIndex{6}\label{he:imply-06}$

Escribe estas declaraciones:

Porque$x^2>1$, es suficiente con eso$x>1$.
Para$x^2>1$, es necesario que$x>1$.

en forma de$p\Rightarrow q$. Asegúrese de especificar qué$p$ y$q$ son.

Resumen y revisión

Una implicación$p\Rightarrow q$ es falsa sólo cuando$p$ es verdadera y$q$ es falsa.
Así es como solemos usar una implicación. Supongamos que queremos demostrar que$q$ es verdad. Tenemos que encontrar o probar un teorema que diga$p\Rightarrow q$. A continuación, hay que demostrar que$p$ se cumple la hipótesis, de ahí que se deduce que$q$ debe ser verdad.
Una implicación se puede describir de varias otras maneras. ¿Puedes nombrar algunos de ellos?
Converse, inverso y contrapositivo se obtienen de una implicación cambiando la hipótesis y la consecuencia, a veces junto con la negación.
En una implicación$p\Rightarrow q$, el componente$p$ se llama la condición suficiente, y el componente$q$ se llama la condición necesaria.

Ejercicio$\PageIndex{1}\label{ex:imply-01}$

Dejar$p$,$q$, y$r$ representar las siguientes declaraciones:

$p$:	Sam comía pizza anoche.
$q$:	Chris terminó su tarea.
$r$:	Pat vio las noticias esta mañana.

Dar una fórmula (usando los símbolos apropiados) para cada una de estas declaraciones:

Si Sam comía pizza anoche entonces Chris terminó su tarea.
Pat vio las noticias esta mañana solo si Sam comía pizza anoche.
Chris terminó su tarea si Sam no tenía pizza anoche.
No es el caso de que si Sam comía pizza anoche, entonces Pat vio las noticias esta mañana.
Sam no tenía pizza anoche y Chris terminó su tarea implica que Pat vio las noticias esta mañana.

Ejercicio$\PageIndex{2}\label{ex:imply-02}$

Definir las variables proposicionales como en el Problema 1. Expresar en palabras las declaraciones representadas por las siguientes fórmulas.

$q\Rightarrow r$
$p\Rightarrow(q\wedge r)$
$\overline{p}\Rightarrow (q\vee r)$
$r\Rightarrow(p\vee q)$

Ejercicio$\PageIndex{3}\label{ex:imply-03}$

Considere las siguientes declaraciones:

$p$:	Niagara Falls se encuentra en Nueva York.
$q$:	La ciudad de Nueva York es la capital del estado de Nueva York.
$r$:	La ciudad de Nueva York tendrá más de 40 pulgadas de nieve en 2525.

El enunciado$p$ es verdadero, y el enunciado$q$ es falso. Representar cada una de las siguientes declaraciones mediante una fórmula. ¿Cuál es su valor de verdad si$r$ es verdad? ¿Y si$r$ es falso?

Si las Cataratas del Niágara están en Nueva York, entonces Nueva York es la capital del estado de Nueva York.
Las Cataratas del Niágara están en Nueva York solo si la ciudad de Nueva York tendrá más de 40 pulgadas de nieve en 2525.
Las Cataratas del Niágara están en Nueva York o la ciudad de Nueva York es la capital del estado de Nueva York implica que la ciudad de Nueva York tendrá más de 40 pulgadas de nieve en 2525.
Para que la ciudad de Nueva York sea la capital del estado de Nueva York, es necesario que la ciudad de Nueva York tenga más de 40 pulgadas de nieve en 2525.e
Para que las Cataratas del Niágara estén en Nueva York, basta con que la Ciudad de Nueva York tenga más de 40 pulgadas de nieve en 2525.

Ejercicio$\PageIndex{4}\label{ex:imply-04}$

Exprese simbólicamente cada una de las siguientes declaraciones compuestas:

Si el triángulo$ABC$ es equilátero, entonces es isósceles.
Si$\sqrt{47089}$ es mayor que 200 y$\sqrt{47089}$ es un número entero, entonces$\sqrt{47089}$ es primo.
Si$\sqrt{47089}$ es mayor que 200, entonces, si$\sqrt{47089}$ es primo, es mayor que 210.
La línea$L_1$ es perpendicular a la línea$L_2$ y la línea$L_2$ es paralela a la línea$L_3$ implica que$L_1$ es perpendicular a$L_3$.
Si$x^3-3x^2+x-3=0$, entonces o bien$x$ es positivo o$x$ es negativo o$x=0$.

Ejercicio$\PageIndex{5}\label{ex:imply-05}$

Expresar cada una de las siguientes declaraciones compuestas en símbolos.

$x^3-3x^2+x-3=0$sólo si$x=3$.
Una condición necesaria para$x^3-3x^2+x-3=0$ es$x=3$.
Una condición suficiente para$x^3-3x^2+x-3=0$ es$x=3$.
Si$e^\pi$ es un número real, entonces$e^\pi$ es racional o irracional.
Todos los jugadores de la NFL son enormes.

Ejercicio$\PageIndex{6}\label{ex:imply-06}$

Encuentra lo contrario, inverso y contrapositivo de las siguientes implicaciones:

Si el cuadrilátero$ABCD$ es un rectángulo, entonces$ABCD$ es un paralelogramo.

Ejercicio$\PageIndex{7}\label{ex:imply-07}$

Construye las tablas de verdad para las siguientes expresiones:

$(p\wedge q)\vee r$
$(p\vee q)\Rightarrow (p\wedge r)$

Insinuación

Para ayudarte a empezar, rellena los espacios en blanco.]

a)$\setlength{\arraycolsep}{3pt} \begin{array}[t]{|*{5}{c|}} \noalign{\vskip-9pt}\hline p & q & r & p\wedge q & (p\wedge q)\vee r \\ \hline \text{T} &\text{T} &\text{T} && \\ \text{T} &\text{T} &\text{F} && \\ \text{T} &\text{F} &\text{T} && \\ \text{T} &\text{F} &\text{F} && \\ \text{F} &\text{T} &\text{T} && \\ \text{F} &\text{T} &\text{F} && \\ \text{F} &\text{F} &\text{T} && \\ \text{F} &\text{F} &\text{F} && \\ \hline \end{array}$ b)$\begin{array}[t]{|c|c|c|c|c|c|} \noalign{\vskip-9pt}\hline p & q & r & p\vee q & p\wedge r & (p\vee q)\Rightarrow(p\wedge r) \\ \hline \text{T} &\text{T} &\text{T} &&& \\ \text{T} &\text{T} &\text{F} &&& \\ \text{T} &\text{F} &\text{T} &&& \\ \text{T} &\text{F} &\text{F} &&& \\ \text{F} &\text{T} &\text{T} &&& \\ \text{F} &\text{T} &\text{F} &&& \\ \text{F} &\text{F} &\text{T} &&& \\ \text{F} &\text{F} &\text{F} &&& \\ \hline \end{array}$

Ejercicio$\PageIndex{8}\label{ex:imply-08}$

Construye las tablas de verdad para las siguientes expresiones:

$(p\Rightarrow q) \vee (\overline{p}\Rightarrow q)$
$(p\Rightarrow q) \wedge (\overline{p}\Rightarrow q)$

Ejercicio$\PageIndex{9}\label{ex:imply-09}$

Determine (puede usar una tabla de verdad) el valor de verdad de$p$ si

$(p\wedge q)\Rightarrow (q\vee r)$es falso
$(q\wedge r)\Rightarrow (p\wedge q)$es falso

Ejercicio$\PageIndex{10}\label{ex:imply-10}$

Supongamos$p\Rightarrow q$ que es verdad.

Si$p$ es verdad, ¿debe$q$ ser verdad? Explique.
Si$p$ es falso, ¿debe$q$ ser verdad? Explique.
Si$q$ es verdad, ¿debe$p$ ser falso? Explique.
Si$q$ si es falso, ¿debe$p$ ser falso? Explique.

\(p\):	Sam comía pizza anoche.
\(q\):	Chris terminó su tarea.
\(r\):	Pat vio las noticias esta mañana.

\(p\)	\(q\)	\(p \Rightarrow q\)
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T