2.4: Declaraciones bicondicionales

La declaración bicondicional “\(p\)si y sólo si”\(q\), denotada\(p \Leftrightarrow q\), es verdadera cuando ambas\(p\) y\(q\) llevan el mismo valor de verdad, y es falsa de lo contrario. A veces se abrevía como “\(p\)iff”\(q\). Su tabla de verdad se representa a continuación.

\(p\)	\(q\)	\(p \Leftrightarrow q\)
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

Ejemplo\(\PageIndex{1}\label{eg:bicond-01}\)

Las siguientes declaraciones bicondicionales

\(2x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5/2\),

\(x > y \Leftrightarrow x - y > 0\),

son verdaderas, porque, en ambos ejemplos, las dos afirmaciones unidas por\(\Leftrightarrow\) son verdaderas o falsas simultáneamente.

Una declaración bicondicional también se puede definir como la declaración compuesta

\[(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p).\]

Esto explica por qué lo llamamos declaración bicondicional. A menudo se utiliza una declaración bicondicional para definir un nuevo concepto.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\label{eg:bicond-02}\)

Un número es par si y sólo si es un múltiplo de 2. Matemáticamente, esto significa\[n \mbox{ is even} \Leftrightarrow n = 2q \mbox{ for some integer $q$}.\] Se deduce que para cualquier entero\(m\),\[mn = m\cdot 2q = 2(mq).\] ya que\(mq\) es un entero (porque es un producto de dos enteros), por definición,\(mn\) es par. Esto demuestra que el producto de cualquier entero con un entero par es siempre par.

ejercicio práctico\(\PageIndex{1}\label{he:bicond-01}\)

Completa la siguiente declaración:\[n \mbox{ is odd} \Leftrightarrow \hskip1.25in.\] Usa esto para probar que si\(n\) es impar, entonces también\(n^2\) es impar.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\label{eg:bicond-03}\)

La operación “exclusiva o” puede definirse como\[p\veebar q \Leftrightarrow (p\vee q) \wedge \overline{(p\wedge q)}.\] Ver Problema [ex:imply-10] en Ejercicios 1.2.

Cuando tenemos una declaración compleja que involucra más de una operación lógica, se debe tener cuidado para determinar qué operación debe realizarse primero. A continuación se indica la precedencia o prioridad.

Conectivos	Prioridad
\(\neg\)	Más alto
\(\wedge\)
\(\vee\)	\(\vdots\)
\(\Rightarrow\)
\(\Leftrightarrow\)	Menor

Este es el orden en el que deben llevarse a cabo las operaciones si la expresión lógica se lee de izquierda a derecha. Para anular la precedencia, utilice paréntesis.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\label{eg:bicond-04}\)

La precedencia de las operaciones lógicas se puede comparar con las de las operaciones aritméticas.

Operaciones	Prioridad
\(-\)(Negativo)	Más alto
Exponenciación	\(\vdots\)
Multiplicación/División	\(\vdots\)
Sumación/resta	Menor

Por ejemplo,\(yz^{-3} \neq (yz)^{-3}\). Para evaluar\(yz^{-3}\), tenemos que realizar primero la exponenciación. De ahí,\(yz^{-3} = y\cdot z^{-3} = \frac{y}{z^3}\).

Otro ejemplo: la notación\(x^{2^3}\) significa\(x\) elevado al poder de\(2^3\), por lo tanto\(x^{2^3}=x^8\); no debe interpretarse como\((x^2)^3\), porque\((x^2)^3=x^6\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\label{eg:bicond-05}\)

No es cierto que se\(p \Leftrightarrow q\) pueda escribir como “\(p \Rightarrow q \wedge q \Rightarrow p\),” porque significaría, técnicamente,\[p \Rightarrow (q \wedge q) \Rightarrow p.\] La notación correcta es\((p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)\).

ejercicio práctico\(\PageIndex{2}\label{he:bicond-02}\)

Inserte paréntesis en la siguiente fórmula\[p\Rightarrow q\wedge r\] para identificar el procedimiento adecuado para evaluar su valor de verdad. Construye su tabla de verdad.

ejercicio manual\(\PageIndex{3}\label{he:bicond-03}\)

Inserte paréntesis en la siguiente fórmula\[p\wedge q \Leftrightarrow \overline{p}\vee\overline{q}.\] para identificar el procedimiento adecuado para evaluar su valor de verdad. Construye su tabla de verdad.

Cerramos esta sección con una justificación de nuestra elección en el valor de verdad de\(p\Rightarrow q\) cuándo\(p\) es falso. El valor de la verdad de\(p\Rightarrow q\) es obvio cuando\(p\) es cierto.

\(p\)	\(q\)	\(p \Rightarrow q\)
T	T	T
T	F	F
F	T	?
F	F	?

Queremos decidir cuáles son las mejores opciones para los dos valores faltantes para que sean consistentes con las otras conectivas lógicas. Observe que si\(p \Rightarrow q\) es verdadero, y\(q\) es falso, entonces\(p\) debe ser falso también, porque si\(p\) fuera cierto, con\(q\) ser falso, entonces la implicación\(p\Rightarrow q\) habría sido falsa. Por ejemplo, si prometemos

“Si mañana es soleado, iremos a la playa”

pero mañana no vamos a la playa, entonces sabemos que mañana no debe ser soleado. Esto significa las dos afirmaciones\(p\Rightarrow q\) y\(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\) deben compartir el mismo valor de verdad.

Cuando ambos\(p\) y\(q\) son falsos, entonces ambos\(\overline{p}\) y\(\overline{q}\) son verdaderos. De ahí\(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\) que sea cierto, en consecuencia así lo es\(p\Rightarrow q\). Hasta el momento, tenemos la siguiente tabla de verdad parcialmente terminada:

\(p\)	\(q\)	\(p \Rightarrow q\)
T	T	T
T	F	F
F	T	?
F	F	T

Si la última entrada faltante es F, la tabla de verdad resultante sería idéntica a la de\(p \Leftrightarrow q\). Para\(p\Leftrightarrow q\) distinguirlo\(p\Rightarrow q\), tenemos que definir\(p \Rightarrow q\) para que sea cierto en este caso.

Resumen y revisión

• Una declaración bicondicional\(p\Leftrightarrow q\) es la combinación de las dos implicaciones\(p\Rightarrow q\) y\(q\Rightarrow p\).
• El enunciado bicondicional\(p\Leftrightarrow q\) es verdadero cuando ambos\(p\) y\(q\) tienen el mismo valor de verdad, y es falso de lo contrario.
• Una declaración bicondicional se utiliza a menudo en la definición de una notación o un concepto matemático.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\label{ex:bicond-01}\)

Dejar\(p\),\(q\), y\(r\) representar las siguientes declaraciones:

\(p\):	Sam comió pizza anoche.
\(q\):	Chris terminó su tarea.
\(r\):	Pat vio las noticias esta mañana.

Dar una fórmula (usando símbolos apropiados) para cada una de estas declaraciones.

• Sam comía pizza anoche si y sólo si Chris terminaba su tarea.
• Pat vio la noticia esta mañana iff Sam no comía pizza anoche.
• Pat vio las noticias esta mañana si y sólo si Chris terminó su tarea y Sam no tenía pizza anoche.
• Para que Pat pueda ver las noticias esta mañana, es necesario y suficiente que Sam tomara pizza anoche y Chris terminara su tarea.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\label{ex:bicond-02}\)

Definir las variables proposicionales como en el Problema 1. Expresar con palabras las declaraciones representadas por las siguientes fórmulas:

(a)\(q\Leftrightarrow r\) y (b)\(p\Leftrightarrow(q\wedge r)\)
(c)\(\overline{p}\Leftrightarrow (q\vee r)\) y (d)\(r\Leftrightarrow(p\vee q)\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\label{ex:bicond-03}\)

Considera las siguientes afirmaciones:

\(p\):	Niagara Falls se encuentra en Nueva York.
\(q\):	La ciudad de Nueva York es la capital del estado de Nueva York.
\(r\):	La ciudad de Nueva York tendrá más de 40 pulgadas de nieve en 2525.

El enunciado\(p\) es verdadero, y el enunciado\(q\) es falso. Representar cada una de las siguientes declaraciones mediante una fórmula. ¿Cuál es su valor de verdad si\(r\) es verdad? ¿Y si\(r\) es falso?

1. Las Cataratas del Niágara están en Nueva York si y sólo si la ciudad de Nueva York es la capital del estado de Nueva York.
2. Las Cataratas del Niágara están en Nueva York si la ciudad de Nueva York tendrá más de 40 pulgadas de nieve en 2525.
3. Las Cataratas del Niágara están en Nueva York o la ciudad de Nueva York es la capital del estado de Nueva York si y sólo si la ciudad de Nueva York tendrá más de 40 pulgadas de nieve en 2525.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\label{ex:bicond-04}\)

Exprese simbólicamente cada una de las siguientes declaraciones compuestas:

1. El producto\(xy=0\) si y solo si cualquiera\(x=0\) o\(y=0\).
2. El entero\(n=4\) si y solo si\(7n-5=23\).
3. Una condición necesaria para\(x=2\) es\(x^4-x^2-12=0\).
4. Una condición suficiente para\(x=2\) es\(x^4-x^2-12=0\).
5. Porque\(x^4-x^2-12=0\), es a la vez suficiente y necesario tener\(x=2\).
6. La suma de cuadrados\(x^2+y^2>1\) iff ambos\(x\) y\(y\) son mayores que 1.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\label{ex:bicond-05}\)

Determinar los valores de verdad de las siguientes afirmaciones (asumiendo que\(x\) y\(y\) son números reales):

1. El producto\(xy=0\) si y solo si cualquiera\(x=0\) o\(y=0\).
2. La suma de cuadrados\(x^2+y^2>1\) iff ambos\(x\) y\(y\) son mayores que 1.
3. \(x^2-4x+3-0 \Leftrightarrow x=3\).
4. \(x^2>y^2 \Leftrightarrow x>y\).

Ejemplo\(\PageIndex{6}\label{ex:bicond-06}\)

Determinar los valores de verdad de las siguientes afirmaciones (asumiendo que\(x\) y\(y\) son números reales):

1. \(u\)es una vocal si y sólo si\(b\) es una consonante.
2. \(x^2+y^2=0\)si y sólo si\(x=0\) y\(y=0\).
3. \(x^2-4x+4=0\)si y sólo si\(x=2\).
4. \(xy\neq0\)si y sólo si\(x\) y\(y\) son ambos positivos.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\label{ex:bicond-07}\)

Hemos visto que un número\(n\) es par si y sólo si\(n=2q\) para algún entero\(q\). En consecuencia, ¿qué se puede decir de un número impar?

Ejemplo\(\PageIndex{8}\label{ex:bicond-08}\)

También decimos que un entero\(n\) es incluso si es divisible por 2, de ahí que se pueda escribir como\(n=2q\) para algún entero\(q\), donde\(q\) representa el cociente cuando\(n\) se divide por 2. Así,\(n\) es incluso si se trata de un múltiplo de 2. ¿Qué pasa si el entero\(n\) es un múltiplo de 3? ¿Qué forma debe tomar? ¿Y si no\(n\) es un múltiplo de 3?