4.4: Productos cartesianos

Otra forma de obtener un nuevo conjunto a partir de dos conjuntos dados\(A\) y\(B\) es formar pares ordenados. Un par ordenado\((x,y)\) consta de dos valores\(x\) y\(y\). Su orden de aparición es importante, por lo que los llamamos primer y segundo elementos respectivamente. En consecuencia,\((a,b)\neq (b,a)\) a menos que\(a=b\). En general,\((a,b)=(c,d)\) si y sólo si\(a=c\) y\(b=d\).

Definición: Producto cartesiano

El producto cartesiano de\(A\) y\(B\) es el conjunto

\[A \times B = \{ (a,b) \mid a \in A \wedge b \in B \} \nonumber\]

Así,\(A \times B\) (leer como “\(A\)cruz\(B\)”) contiene todos los pares ordenados en los que se seleccionan los primeros elementos\(A\), y los segundos elementos se seleccionan de\(B\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\label{eg:cartprod-01}\)

Dejar\(A = \{\mbox{John}, \mbox{Jim}, \mbox{Dave}\}\) y\(B = \{\mbox{Mary}, \mbox{Lucy}\}\). Determinar\(A\times B\) y\(B\times A\).

Solución

Encontramos\[\displaylines{ A\times B = \{ (\mbox{John},\mbox{Mary}), (\mbox{John},\mbox{Lucy}), (\mbox{Jim}, \mbox{Mary}), (\mbox{Jim}, \mbox{Lucy}), (\mbox{Dave},\mbox{Mary}), (\mbox{Dave},\mbox{Lucy})\}, \cr B\times A = \{ (\mbox{Mary},\mbox{John}), (\mbox{Mary},\mbox{Jim}), (\mbox{Mary},\mbox{Dave}), (\mbox{Lucy},\mbox{John}), (\mbox{Lucy},\mbox{Jim}), (\mbox{Lucy},\mbox{Dave})\}. \cr} \nonumber\] En general,\(A\times B \neq B\times A\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\label{eg:cartprod-02}\)

Determinar\(A \times B\) y\(A \times A\):

1. \(A=\{1,2\}\)y\(B=\{2,5,6\}\).
2. \(A=\{5\}\)y\(B=\{0,7\}\).

Solución

(a) Encontramos\[\begin{array}{r c l} A\times B &=& \{(1,2), (1,5), (1,6), (2,2), (2,5), (2,6)\}, \\ A\times A &=& \{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)\}. \end{array} \nonumber\]

b) Las respuestas son\(A\times B = \{(5,0), (5,7)\}\), y\(A\times A = \{(5,5)\}\).

ejercicio práctico\(\PageIndex{1}\label{he:cartprod-01}\)

Dejar\(A=\{a,b,c,d\}\) y\(B=\{r,s,t\}\). Encontrar\(A\times B\),\(B\times A\), y\(B\times B\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\label{eg:cartprod-03}\)

Determinar\(\wp(\{1,2\}) \times \{3,7\}\). Asegúrese de usar la notación correcta.

Solución

Para un problema complicado, divídalo en tareas más pequeñas y resuelve cada una por separado. Después armarlos para formar la respuesta final. En este problema, primero evaluamos\[\wp(\{1,2\}) = \big\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\} \big\}. \nonumber\] Esto lleva a\[\begin{array}{r c l} \wp(\{1,2\}) \times \{3,7\} &=& \big\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\} \big\} \times \{3,7\} \\ &=& \big\{ (\emptyset,3), (\emptyset,7), (\{1\},3), (\{1\},7), (\{2\},3), (\{2\},7), (\{1,2\},3), (\{1,2\},7) \big\}. \end{array} \nonumber\] Check para asegurarnos de que tenemos paréntesis izquierdo y derecho coincidentes, y llaves rizadas izquierda y derecha coincidentes.

ejercicio práctico\(\PageIndex{2}\label{he:cartprod-02}\)

Encuentra\(\{a,b,c\}\times\wp(\{d\})\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\label{eg:cartprod-04}\)

¿Cómo podríamos describir el contenido del producto cartesiano\([1,3] \times \{2,4\}\)? Dado que\([1,3]\) es un conjunto infinito, es imposible enumerar todos los pares ordenados. Necesitamos usar la notación set-builder: También\[[1,3] \times \{2,4\} = \{ (x,y) \mid 1\leq x\leq3, y=2,4\}. \nonumber\] podemos escribir\([1,3] \times \{2,4\} = \{ (x,2), (x,4) \mid 1\leq x\leq3\}\).

ejercicio práctico\(\PageIndex{3}\label{HE:cartprod-03}\)

Describir, usando la notación set-builder, el producto cartesiano\([1,3] \times [2,4]\).

Los productos cartesianos se pueden extender a más de dos juegos. En lugar de pares ordenados, necesitamos \(n\)-tuplas ordenadas. El producto cartesiano\(n\) -fold de los\(n\) juegos\(A_1, A_2, \ldots, A_n\) es el conjunto

\ [$A_1\ veces A_2\ veces\ cdots\ veces a_N
=\ {(a_1, a_2,\ lpuntos, a_n)\ mid a_i\ en a_i\ mbox {para cada} i,
1\ leq i\ leq n\}\ nonumber\]

En particular, cuando\(A_i=A\) para todos\(i\), abreviamos el producto cartesiano como\(A^n\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\label{eg:cartprod-05}\)

Se denota el espacio\(n\) -dimensional\(\mathbb{R}^n\). Es el producto cartesiano\(n\) -fold de\(\mathbb{R}\). En casos especiales,\(\mathbb{R}^2\) es el\(xy\) -plano, y\(\mathbb{R}^3\) es el\(xyz\) -espacio.

ejercicio práctico\(\PageIndex{5}\label{he:cartprod-04}\)

Vamos\(A=\{1,2\}\),\(B=\{a,b\}\), y\(C=\{r,s,t\}\). Encuentra\(A\times B\times C\).

Ejemplo\(\PageIndex{6}\label{eg:cartprod-06}\)

Desde un punto de vista técnico,\((A \times B) \times C\) es diferente de\(A \times B \times C\). ¿Puedes explicar por qué? ¿Se puede discutir la diferencia, si la hay, entre\((A \times B) \times C\) y\(A \times (B \times C)\)? Por ejemplo, dar algunos ejemplos específicos de los elementos en\((A \times B)\times C\) y\(A \times (B \times C)\) para ilustrar sus diferencias.

Solución

Los elementos de\((A\times B)\times C\) son pares ordenados en los que las primeras coordenadas son a su vez pares ordenados. Un elemento típico en\((A\times B)\times C\) toma la forma de\[\big((a,b),c\big). \nonumber\] Los elementos en\(A\times B\times C\) son triples ordenados de la forma\[(a,b,c). \nonumber\] Dado que sus elementos se ven diferentes, es claro que\((A\times B)\times C \neq A\times B\times C\). De igual manera, un elemento típico en\(A\times (B\times C)\) miradas como\[\big(a,(b,c)\big). \nonumber\] Thereth\((A\times B)\times C \neq A\times(B\times C)\),, y\(A\times (B\times C)\neq A\times B\times C\).

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Para cualquier conjunto\(A\)\(B\),, y\(C\), tenemos\[\begin{array}{r c l} A \times (B \cup C) &=& (A \times B) \cup (A \times C), \\ A \times (B \cap C) &=& (A \times B) \cap (A \times C), \\ A \times (B - C) &=& (A \times B) - (A \times C).\end{array} \nonumber\]

OBSERVACIÓN

¿Cómo demostraríamos que los dos sets\(S\) y\(T\) son iguales? Tenemos que demostrar que\[x\in S \Leftrightarrow x\in T. \nonumber\] La complicación en este problema es que ambos\(S\) y\(T\) son productos cartesianos, por lo que\(x\) adquiere una forma especial, es decir, la de un par ordenado. Consideremos la primera identidad como ejemplo; necesitamos demostrar que\[(u,v)\in A \times (B \cup C) \Leftrightarrow (u,v)\in (A \times B) \cup (A \times C). \nonumber\] lo demostramos en dos pasos: primero mostrando\(\Rightarrow\), luego\(\Leftarrow\), que equivale a mostrar primero\(\subseteq\), luego\(\supseteq\). Alternativamente, podemos usar\(\Leftrightarrow\) a lo largo del argumento.

Prueba 1

Vamos\((u,v)\in A\times(B\cup C)\). Entonces\(u\in A\), y\(v\in B\cup C\). La definición de unión implica que\(v\in B\) o\(v\in C\). Hasta el momento, hemos encontrado

1. \(u\in A\)y\(v\in B\), o
2. \(u\in A\)y\(v\in C\).

Esto es equivalente a

1. \((u,v)\in A\times B\), o
2. \((u,v)\in A\times C\).

Por lo tanto,\((u,v)\in (A\times B)\cup(A\times C)\). Esto lo demuestra\(A\times(B\cup C) \subseteq (A\times B)\cup(A\times C)\).

A continuación, vamos\((u,v)\in (A\times B)\cup(A\times C)\). Entonces\((u,v)\in A\times B\), o\((u,v)\in A\times C\). Esto significa

1. \(u\in A\)y\(v\in B\), o
2. \(u\in A\)y\(v\in C\).

Ambas condiciones lo requieren\(u\in A\), así podemos reescribirlas como

1. \(u\in A\), y
2. \(v\in B\)o\(v\in C\);

que es equivalente a

1. \(u\in A\), y
2. \(v\in B\cup C\).

Por lo tanto,\((u,v)\in A\times(B\cup C)\). Eso lo hemos demostrado\((A\times B) \cup(A\times C) \subseteq A\times(B\cup C)\). Junto con\(A\times (B\cup C) \subseteq (A\times B)\cup(A\times C)\) eso lo hemos probado antes, concluimos que\(A\times(B\cup C) = (A\times B)\cup (A\times C)\).

Prueba 2

Sólo probaremos la primera igualdad. Desde que\[\begin{array}{r l l} (u,v) \in A \times (B \cup C) & \Leftrightarrow u \in A \wedge v \in (B \cup C) & (\text{defn. of Cartesian product}) \\ & \Leftrightarrow u \in A \wedge (v \in B \vee v \in C) & (\text{defn. of union}) \\ & \Leftrightarrow (u \in A \wedge v \in B) \vee (u \in A \wedge v \in C) & (\text{distributive law}) \\ & \Leftrightarrow (u, v) \in A \times B \vee (u, v) \in A \times C & (\text{defn. of Cartesian product}) \\ & \Leftrightarrow (u,v) \in (A \times B) \cup (A \times C) & (\text{defn. of union}) \end{array}\] concluimos eso\(A\times(B\cup C) = (A\times B)\cup(A\times C)\).

Teorema\(\PageIndex{2}\label{cartprodcard}\)

Si\(A\) y\(B\) son conjuntos finitos, con\(|A|=m\) y\(|B|=n\), entonces\(|A\times B| = mn\).

Prueba

Los elementos de\(A\times B\) son pares ordenados de la forma\((a,b)\), donde\(a\in A\), y\(b\in B\). Hay\(m\) opciones de\(a\). Para cada fijo\(a\), podemos formar el par ordenado de\((a,b)\)\(n\) maneras, porque hay\(n\) opciones para\(b\). Juntos, los pares ordenados se\((a,b)\) pueden formar de\(mn\) maneras.

El argumento que utilizamos en la prueba se llama principio de multiplicación. Lo volveremos a estudiar en el Capítulo 8. En resumen, dice que si un trabajo se puede completar en varios pasos, entonces el número de formas de terminar el trabajo es producto de la cantidad de formas de terminar cada paso.

Coralario\(\PageIndex{3}\)

Si\(A_1,A_2,\ldots,A_n\) son conjuntos finitos, entonces\(|A_1\times A_2\times \cdots\times A_n| = |A_1| \cdot |A_2|\,\cdots\, |A_n|\).

Corolario\(\PageIndex{4}\)

Si\(A\) es un conjunto finito con\(|A|=n\), entonces\(|\wp(A)|=2^n\).

Prueba

Que los elementos de\(A\) ser\(a_1,a_2,\ldots,a_n\). Los elementos de\(\wp(A)\) son subconjuntos de\(A\). Cada subconjunto de\(A\) contiene algunos elementos de\(A\). Asociarse a cada subconjunto\(S\) de\(A\) una\(n\) -tupla ordenada\(\big(b_1,b_2,\ldots,b_n\big)\) de\(\{0,1\}^n\) tal manera que\[b_i = \cases{ 0 & if $a_i\notin S$, \cr 1 & if $a_i\in S$. \cr} \nonumber\] El valor del elemento\(i\) th en esta\(n\) -tupla ordenada indica si el subconjunto\(S\) contiene el elemento\(a_i\). Es claro que los subconjuntos de\(A\) están en correspondencia uno a uno con las\(n\) -tuplas. Esto significa que el conjunto de poder\(\wp(A)\) y el producto cartesiano\(\{0,1\}^n\) tienen la misma cardinalidad. Como hay\(n\) -tuplas\(2^n\) ordenadas, concluimos que también hay\(2^n\) subconjuntos.

Esta idea de correspondencia uno a uno es un concepto muy importante en matemáticas. Lo volveremos a estudiar en el Capítulo 6.

Resumen y revisión

• El producto cartesiano de dos conjuntos\(A\) y\(B\), denotado\(A\times B\), consiste en pares ordenados de la forma\((a,b)\), de donde\(a\) proviene\(A\), y de donde\(b\) proviene\(B\).
• Dado que los pares ordenados están involucrados,\(A\times B\) generalmente no es igual a\(B\times A\).
• La noción de pares ordenados puede extenderse análogamente a\(n\) -tuplas ordenadas, con lo que se obtiene un producto cartesiano\(n\) -fold.
• Si\(A\) y\(B\) son conjuntos finitos, entonces\(|A\times B| = |A|\cdot|B|\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\label{ex:cartprod-01}\)

Vamos\(X=\{-2,2\}\),\(Y=\{0,4\}\) y\(Z=\{-3,0,3\}\). Evaluar los siguientes productos cartesianos.

1. \(X\times Y\)
2. \(X\times Z\)
3. \(Z\times Y\times Y\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\label{ex:cartprod-02}\)

Considerar los conjuntos\(X\),\(Y\) y\(Z\) definidos en el ejercicio anterior. Evaluar los siguientes productos cartesianos.

1. \(X\times Y\times Z\)
2. \((X\times Y)\times Z\)
3. \(X\times (Y\times Z)\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\label{ex:cartprod-03}\)

Sin enumerar todos los elementos de\(X\times Y\times X\times Z\), dónde\(X\)\(Y\),, y\(Z\) se definen en el primer ejercicio, determinar\(|X\times Y\times X\times Z|\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\label{ex:cartprod-04}\)

Determinar\(|\wp(\wp(\wp(\{1,2\})))|\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\label{ex:cartprod-05}\)

Considera el conjunto\(X=\{-2,2\}\). Evaluar los siguientes productos cartesianos.

1. \(X\times\wp(X)\)
2. \(\wp(X)\times\wp(X)\)
3. \(\wp(X\times X)\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\label{ex:cartprod-06}\)

Dejar\(A\) y\(B\) ser arbitrarios conjuntos no vacíos.

1. ¿Bajo qué condición hace\(A\times B = B\times A\)?
2. ¿Bajo qué condición está\((A\times B)\cap(B\times A)\) vacía?

Ejercicio\(\PageIndex{7}\label{ex:cartprod-07}\)

Dejar\(A\),\(B\), y\(C\) ser cualquiera de tres conjuntos. Demostrar que

1. \(A\times(B\cap C) = (A\times B)\cap (A\times C)\)
2. \(A\times(B - C) = (A\times B) - (A\times C)\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\label{ex:cartprod-08}\)

Dejar\(A\),\(B\), y\(C\) ser cualquiera de tres conjuntos. Demostrar que si\(A\subseteq B\), entonces\(A\times C \subseteq B\times C\).