8.4: Combinaciones

En muchos problemas de conteo, el orden de arreglo o selección no importa. En esencia, estamos seleccionando o formando subconjuntos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\label{eg:combin-01}\)

Determinar el número de formas de elegir 4 valores de 1, 2, 3,..., 20, en los que el orden de selección no importa.

Solución

Dejar\(N\) ser el número de formas de elegir los 4 números. Dado que el orden en que se seleccionan los números no importa, estas no son secuencias (en las que importa el orden de aparición). Podemos cambiar una selección de 4 números en una secuencia. Los 4 números se pueden organizar de\(P(4,4)=4!\) maneras. Por lo tanto, todas estas selecciones de 4 números juntas producen\(N\cdot4!\) secuencias. El número de secuencias de 4 números es\(P(20,4)\). Así,\(N\cdot4!=P(20,4)\), o equivalentemente,\(N=P(20,4)/4!\).

Definición: combinaciones

El número de subconjuntos\(r\) -element en un conjunto\(n\) -element se denota por

\[C(n,r) \qquad\mbox{ or }\qquad \binom{n}{r}, \nonumber\]

donde\({n\choose r}\) se lee como “\(n\)elegir”\(r\). Determina el número de combinaciones de\(n\) objetos, tomadas\(r\) a la vez (sin reemplazo). Notaciones alternas como\(_nC_r\) y se\(C_r^n\) pueden encontrar en otros libros de texto. No lo escriba como\((\frac{n}{r})\); esta notación tiene un significado completamente diferente.

Recordemos que\(\binom{n}{r}\) cuenta el número de formas de elegir o seleccionar\(r\) objetos de un grupo de\(n\) objetos en los que el orden de selección no importa. Por lo tanto,\(r\) -combinaciones son subconjuntos de tamaño\(r\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\label{eg:combin-02}\)

Las 2 combinaciones de\(S=\{a,b,c,d\}\) son

\[\{a,b\}, \quad \{a,c\}, \quad \{a,d\}, \quad \{b,c\}, \quad \{b,d\}, \quad\mbox{and}\quad \{c,d\}. \nonumber\]

Por lo tanto\(\binom{4}{2}=6\). ¿Cuáles son las combinaciones 1 y 3 combinaciones de\(S\)? ¿Qué se puede decir sobre los valores de\(\binom{4}{1}\) y\(\binom{4}{3}\)?

Solución

Las combinaciones 1 son los conjuntos singleton\(\{a\}\),\(\{b\}\),\(\{c\}\), y\(\{d\}\). De ahí,\(\binom{4}{1}=4\). Las 3 combinaciones son\[\{a,b,c\}, \quad \{a,b,d\}, \quad \{a,c,d\}, \quad\mbox{and}\quad \{b,c,d\}. \nonumber\] Así,\(\binom{4}{3}=4\).

Teorema\(\PageIndex{1}\label{thm:combin}\)

Para todos los enteros\(n\) y\(r\) satisfactorios\(0\leq r\leq n\), tenemos\[\binom{n}{r} = \frac{P(n,r)}{r!} = \frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r!} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}. \nonumber\]

Prueba

La idea es similar a la que usamos en la prueba alterna del Teorema 8.3.2. Dejar\(A\) ser el conjunto de todas las\(r\) -permutaciones, y dejar\(B\) ser el conjunto de todas las\(r\) -combinaciones. \(f: A \to B\)Definir como la función que convierte una permutación en una combinación “descifrando” su orden. Entonces\(f\) es una función\(r!\) a uno porque hay\(r!\) formas de organizar (o barajar)\(r\) objetos. Por lo tanto\[|A| = r!\cdot|B|. \nonumber\] Desde\(|A|=P(n,r)\), y\(|B|=\binom{n}{r}\), se deduce que\(\binom{n}{r} = P(n,r)/r!\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\label{eg:combin-03}\)

Hay\(\binom{40}{5}\) formas de elegir 5 números, sin repeticiones, de los enteros\(1,2,\ldots,40\). Para calcular su valor numérico a mano, es más fácil si primero cancelamos los factores comunes en el numerador y el denominador. Encontramos

\[\binom{40}{5} = \frac{40\cdot39\cdot38\cdot37\cdot36} {5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} = 13\cdot38\cdot37\cdot36, \nonumber\]

que da\(\binom{40}{5}=658008\).

Ejercicio práctico\(\PageIndex{1}\label{he:combin-01}\)

Computar\(\binom{12}{3}\) a mano.

Ejercicio práctico\(\PageIndex{2}\label{he:combin-02}\)

Se seleccionará un comité ejecutivo de tres miembros de un grupo de siete candidatos. ¿De cuántas maneras se puede formar el comité?

Ejercicio práctico\(\PageIndex{3}\label{he:combin-03}\)

¿Cuántos subconjuntos de\(\{1,2,\ldots,23\}\) tienen cinco elementos?

Corolario\(\PageIndex{2}\)

Para\(0\leq r\leq n\), tenemos\(\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}\).

Prueba

Según el Teorema 8.4.1, tenemos\[\binom{n}{n-r} = \frac{n!}{(n-r)!\,(n-(n-r))!} = \frac{n!}{(n-r)!\,r!}, \nonumber\] que es precisamente\(\binom{n}{r}\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\label{eg:combin-04}\)

Para calcular el valor numérico de\(\binom{50}{47}\), en lugar de computar el producto de 47 factores como se indica en la definición, es mucho más rápido si usamos\[\binom{50}{47} = \binom{50}{3} = \frac{50\cdot 49\cdot48}{3\cdot 2\cdot 1}, \nonumber\] de los que obtenemos\(\binom{50}{47} = 19600\).

Ejercicio práctico\(\PageIndex{4}\label{he:combin-04}\)

Calcula, a mano, el valor numérico de\(\binom{529}{525}\).

Ahora estamos listos para mirar algunos ejemplos mixtos. En todos estos ejemplos, a veces tenemos que usar permutación, otras veces tenemos que usar combinación. Muy a menudo necesitamos usar ambos, junto con los principios de suma y multiplicación. Puede preguntarse, ¿cómo puedo averiguar qué hacer? Te sugerimos hacerte estas preguntas:

1. Utilice el enfoque de construcción. Si quieres enumerar todas las configuraciones que cumplan con el requisito, ¿cómo lo vas a hacer de manera sistemática?
2. ¿Hay varios casos involucrados en el problema? En caso afirmativo, necesitamos enumerarlos primero, antes de pasar por cada uno de ellos uno a la vez. Por último, sumar los resultados para llegar a la respuesta final.
3. ¿Permitimos repeticiones o reemplazos? Esta pregunta también puede tomar la forma de si los objetos son distinguibles o indistinguibles.
4. ¿Importa el orden? En caso afirmativo, tenemos que usar permutación. De lo contrario, use combinación.
5. A veces, puede ser más fácil usar el principio de multiplicación en lugar de la permutación, porque se pueden permitir repeticiones (en cuyo caso, no podemos usar la permutación, aunque todavía podemos usar el principio de multiplicación). Intenta dibujar un diagrama esquemático y decidir qué necesitamos de él. Si el análisis sugiere un patrón que sigue al que se encuentra en una permutación, entonces puede usar la fórmula para la permutación.
6. No lo olvides: puede ser más fácil trabajar con el complemento.

A menudo no está claro cómo empezar porque parece haber varias formas de iniciar la construcción. Por ejemplo, ¿cómo distribuirías latas de refresco entre un grupo de estudiantes? Hay dos enfoques posibles:

1. Desde la perspectiva de los alumnos. Imagina que eres uno de los estudiantes, ¿qué refresco recibirías?
2. Desde la perspectiva de las latas de refresco. Imagina que estás sosteniendo una lata de refresco, ¿a quién le darías este refresco?

Dependiendo del problema real, normalmente solo uno de estos dos enfoques funcionaría.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\label{eg:combin-05}\)

Supongamos que tenemos que distribuir 10 latas de refresco diferentes a 20 alumnos. Es claro que algunos estudiantes pueden no recibir ningún refresco. De hecho, algunos estudiantes afortunados podrían recibir más de un refresco (el problema no dice que esto no pueda suceder). De ahí que sea más fácil comenzar desde la perspectiva de las latas de refresco.

Solución

Podemos darle el primer refresco a cualquiera de los 20 alumnos, y también podemos darle el segundo refresco a cualquiera de los 20 alumnos. De hecho, siempre tenemos 20 opciones por cada refresco. Ya que tenemos 10 sodas, hay\(\underbrace{20\cdot20\cdots20}_{10} = 20^{10}\) formas de distribuir las sodas.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\label{eg:combin-06}\)

¿De cuántas maneras se puede seleccionar un equipo de tres representantes de una clase de 885 alumnos? ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un equipo de tres representantes compuesto por un presidente, un vicepresidente y un secretario?

Solución

Si sólo nos interesa seleccionar a tres representantes, el orden no importa. De ahí que la respuesta sería\(\binom{885}{3}\). Si nos preocupa qué oficinas ocuparán estos tres representantes, entonces la respuesta debería ser\(P(885,3)\).

Ejercicio práctico\(\PageIndex{5}\label{he:combin-05}\)

Mike necesita algunas playeras nuevas, pero sólo tiene el dinero suficiente para comprar cinco de las ocho que le gustan. ¿De cuántas maneras puede adquirir las cinco playeras escogiéndolas al azar?

Ejercicio práctico\(\PageIndex{6}\label{he:combin-06}\)

Mary quiere comprar cuatro playeras para sus cuatro hermanos, y a ella le gustaría que cada una de ellas recibiera una playera diferente. Ella encuentra diez playeras que cree que les gustarán. ¿De muchas maneras puede seleccionarlos?

Los naipes proporcionan excelentes ejemplos de problemas de conteo. Por si acaso no estás familiarizado con ellos, permítanos repasar brevemente lo que contiene una baraja de naipes.

• Hay 52 naipes, cada uno de ellos está marcado con un palo y un rango.
• Hay cuatro palos: espadas (\(\spadesuit\)), corazones (\(\heartsuit\)), diamantes (\(\diamondsuit\)) y trébol (\(\clubsuit\)).
• Cada palo tiene 13 rangos, etiquetados A, 2, 3,..., 9, 10, J, Q y K, donde A significa as, J significa jack, Q significa reina y K significa rey.
• Cada rango tiene 4 trajes (ver arriba).

Ejercicio práctico\(\PageIndex{7}\label{he:combin-07}\)

Determina el número de manos de póquer de cinco cartas que se pueden repartir de una baraja de 52 cartas.

Solución

Todo lo que nos importa es qué cinco cartas se pueden encontrar en una mano. Este es un problema de selección. La respuesta es\(\binom{52}{5}\).

ejercicio práctico\(\PageIndex{7}\label{eg:combin-07}\)

¿De cuántas maneras se puede repartir una mano de puente de 13 cartas desde una baraja estándar de 52 cartas?

Ejemplo\(\PageIndex{8}\label{eg:combin-08}\)

¿De cuántas maneras se puede repartir una baraja de 52 cartas en una partida de bridge? (En un juego de bridge, hay cuatro jugadores designados como Norte, Oriente, Sur y Oeste, a cada uno de ellos se le reparte una mano de 13 cartas).

Solución

La diferencia entre este problema y el último ejemplo es que el orden de distribuir las cuatro manecillas puente marca la diferencia. Este es un problema que combina permutaciones y combinaciones. Como habíamos sugerido anteriormente, el mejor enfoque es comenzar de cero, utilizando los principios de suma y/o multiplicación, junto con la permutación y/o combinación siempre que parezca apropiado.

Hay\(\binom{52}{13}\) formas de darle 13 cartas al primer jugador. Ahora nos quedan 39 cartas, de las cuales seleccionamos 13 para ser entregadas al segundo jugador. Ahora, de las 26 cartas restantes, tenemos que darle 13 al tercer jugador. Por último, las últimas 13 cartas se entregarán al último jugador (sólo hay una manera de hacerlo). El número de formas de repartir las cartas en un juego de bridge es\(\binom{52}{13} \binom{39}{13} \binom{26}{13}\).

Podríamos haber dicho que la respuesta es\[\binom{52}{13} \binom{39}{13} \binom{26}{13} \binom{13}{13}. \nonumber\] El último factor\(\binom{13}{13}\) es la cantidad de formas de darle las últimas 13 cartas al cuarto jugador. Numéricamente\(\binom{13}{13}=1\),, entonces las dos respuestas son las mismas. No descartes este factor extra como redundante. Toma nota del bonito patrón en esta respuesta. Los números de abajo son 13, porque estamos seleccionando 13 cartas para ser entregadas a cada jugador. Los números superiores indican cuántas tarjetas aún están disponibles para su distribución en cada etapa de la distribución. ¡El razonamiento detrás de la solución se explica por sí mismo!

Ejemplo\(\PageIndex{9}\label{eg:combin-09}\)

Determinar el número de manos de póquer de cinco cartas que contienen tres reinas. ¿Cuántos de ellos contienen, además de las tres reinas, otro par de tarjetas?

Solución

1. El primer paso es elegir las tres reinas de\(\binom{4}{3}\) maneras, después de lo cual las dos cartas restantes se pueden seleccionar de\(\binom{48}{2}\) maneras. Por lo tanto, hay en conjunto\(\binom{4}{3} \binom{48}{2}\) manos que cumplen con los requisitos.
2. Como en la parte (a), las tres reinas pueden ser seleccionadas de\(\binom{4}{3}\) maneras. A continuación, tenemos que seleccionar el par. Podemos seleccionar cualquier carta de las 48 cartas restantes (por lo tanto, hay 48 opciones), después de lo cual tenemos que seleccionar una de las 3 cartas restantes del mismo rango. Esto da\(48\cdot3\) opciones para el par, ¿verdad? La respuesta es ¡NO!

La primera tarjeta que escogimos podría ser\(\heartsuit 8\), y la segunda podría ser\(\clubsuit 8\). No obstante, la primera tarjeta podría haber sido\(\clubsuit 8\), y la segunda\(\heartsuit 8\). Estas dos selecciones se cuentan como selecciones diferentes, ¡pero en realidad son la misma pareja! El problema es que estamos considerando cartas “primera” y “segunda”, lo que en efecto impone un orden entre las dos cartas, convirtiéndola así en una secuencia o una selección ordenada. Tenemos que dividir la respuesta por 2 para superar el doble cómputo. Por lo tanto, la respuesta es\(\frac{48\cdot3}{2}\).

Aquí hay una mejor manera de contar el número de pares. Una pregunta importante que hacer es

¿Cuál debemos elegir primero: el traje o el rango?

Aquí, queremos escoger primero el rango. Hay 12 opciones (la pareja no puede ser reinas) para el rango, y entre las cuatro cartas de ese rango, podemos escoger las dos cartas de\(\binom{4}{2}\) maneras. Por lo tanto, la respuesta es\(12\binom{4}{2}\). Numéricamente, las dos respuestas son idénticas, porque\(12\binom{4}{2} = 12\cdot\frac{4\cdot3}{2} = \frac{48\cdot3}{2}\). En resumen: la respuesta final es\(\binom{4}{3}\cdot12\binom{4}{2}\).

Ejercicio práctico\(\PageIndex{8}\label{he:combin-08}\)

¿Cuántas manecillas de puente contienen exactamente cuatro picas?

Ejercicio práctico\(\PageIndex{9}\label{he:combin-09}\)

¿Cuántas manecillas de puente contienen exactamente cuatro espadas y cuatro corazones?

Ejercicio práctico\(\PageIndex{10}\label{he:combin-10}\)

¿Cuántas manecillas de puente hay que contienen exactamente cuatro espadas, tres corazones, tres diamantes y tres palos?

Ejemplo\(\PageIndex{10}\label{eg:combin-10}\)

¿Cuántos enteros positivos que no excedan 99999 contienen exactamente tres 7s?

Solución

Considerar cada entero legítimo como una secuencia de cinco dígitos, cada uno de ellos seleccionado entre 0, 1, 2,..., 9. Por ejemplo, el entero 358 puede considerarse como 00358. Tres de las cinco posiciones deben ser ocupadas por 7. Hay\(\binom{5}{3}\) formas de seleccionar estas tres ranuras. Las dos posiciones restantes se pueden llenar con cualquiera de los otros nueve dígitos. De ahí que existan\(\binom{5}{3} \cdot 9^2\) tales números enteros.

Ejemplo\(\PageIndex{11}\label{eg:combin-11}\)

¿Cuántos enteros positivos de cinco dígitos contienen exactamente tres 7s?

Solución

A diferencia del último ejemplo, el primero de los cinco dígitos no puede ser 0. Sin embargo, la respuesta no lo es\(\binom{5}{3} \cdot 9 \cdot 8\). Sí, hay\(\binom{5}{3}\) opciones para la colocación de los tres 7s, pero algunas de estas selecciones pueden haber puesto a los 7s en las últimas cuatro posiciones. Esto deja el primer dígito sin rellenar. Las nueve elecciones contadas por 9 permiten colocar un cero en la primera posición. El resultado es, en el mejor de los casos, un número de cuatro dígitos. El enfoque correcto es considerar dos casos:

• Caso 1. Si el primer dígito no es 7, entonces hay ocho formas de llenar esta ranura. Entre las cuatro posiciones restantes, tres de ellas deben ser 7, y la última puede ser cualquier dígito que no sea 7. Por lo que hay\(8\cdot \binom{4}{3}\cdot 9\) enteros en esta categoría.
• Caso 2. Si el primer dígito es 7, todavía tenemos que poner los otros dos 7s en las otras cuatro posiciones. Hay\(\binom{4}{2} \cdot 9^2\) tales números enteros.

En conjunto, los dos casos dan un total de\(8\cdot \binom{4}{3}\cdot 9 + \binom{4}{2} \cdot 9^2 = 774\) enteros.

Ejercicio práctico\(\PageIndex{11}\label{he:combin-11}\)

Se eligen cinco bolas de una bolsa de ocho bolas azules, seis bolas rojas y cinco bolas verdes. ¿Cuántas de estas selecciones de cinco bolas contienen exactamente dos bolas azules?

Ejemplo\(\PageIndex{12}\label{eg:combin-12}\)

Encuentra el número de formas de seleccionar cinco bolas de una bolsa de seis bolas rojas, ocho bolas azules y cuatro bolas amarillas de tal manera que las selecciones de cinco bolas contengan exactamente dos bolas rojas o dos bolas azules.

Solución

La palabra clave “o” sugiere que este es un problema que implica la unión de dos conjuntos, de ahí que tengamos que usar PIE para resolver el problema.

• ¿Cuántas selecciones contienen dos bolas rojas? Siguiendo el mismo argumento utilizado en el último ejemplo, la respuesta es\(\binom{6}{2} \binom{12}{3}\).
• ¿Cuántas selecciones contienen dos bolas azules? La respuesta es\(\binom{8}{2} \binom{10}{3}\).
• Según PIE, la respuesta final es\[\binom{6}{2} \binom{12}{3} + \binom{8}{2} \binom{10}{3} - \binom{6}{2} \binom{8}{2} \binom{4}{1}. \nonumber\] En cada término, los números superiores siempre suman 18, y la suma de los números inferiores es siempre 5. ¿Puedes explicar por qué?
• ¿Cuántas selecciones contienen dos bolas rojas y 2 bolas azules? La respuesta es\(\binom{6}{2} \binom{8}{2} \binom{4}{1}\).

Ejemplo\(\PageIndex{13}\label{eg:combin-13}\)

Tenemos 11 bolas, cinco de las cuales son azules, tres de las cuales son rojas, y las tres restantes son verdes. ¿Cuántas colecciones de cuatro bolas se pueden seleccionar de tal manera que se seleccionen al menos dos bolas azules? Supongamos que las bolas del mismo color son indistinguibles.

Solución

Las palabras clave “al menos” significan que podríamos tener dos, tres o cuatro bolas azules. Hay\[\binom{5}{2} \binom{6}{2} + \binom{5}{3} \binom{6}{1} + \binom{5}{4} \binom{6}{0} \nonumber\] formas de seleccionar cuatro bolas, siendo al menos dos de ellas azules.

Ejercicio práctico\(\PageIndex{12}\label{he:combin-12}\)

Jerry compró ocho latas de Pepsi, siete latas de Sprite, tres latas de Dr. Pepper y seis latas de Mountain Dew. Quiere traer 10 latas a la casa de su amigo cuando vean el partido de basquetbol esta noche. Suponiendo que las latas son distinguibles, digamos, con diferentes fechas de vencimiento, cuántas selecciones puede hacer si quiere traer

1. ¿Exactamente cuatro latas de Pepsi?
2. ¿Al menos cuatro latas de Pepsi?
3. ¿A lo sumo cuatro latas de Pepsi?
4. ¿Exactamente tres latas de Pepsi, y como máximo tres latas de Sprite?

La prueba del siguiente resultado utiliza lo que llamamos un argumento combinatorio o de conteo. En general, un argumento combinatorio no se basa en la manipulación algebraica. Más bien, utiliza la significación combinatoria de las situaciones para resolver el problema.

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Demostrarlo\(\sum_{r=0}^n \binom{n}{r} = 2^n\) para todos los enteros no negativos\(n\).

Prueba

Dado que\(\binom{n}{r}\) cuenta el número de subconjuntos\(r\) -elementos seleccionados de un conjunto\(n\) -elementos\(S\), la suma de la izquierda es la suma del número de subconjuntos\(S\) de todas las cardinalidades posibles. En otras palabras, este es el número total de subconjuntos en\(S\). Aprendimos antes que\(S\) tiene\(2^n\) subconjuntos, lo que establece la identidad de inmediato.

Resumen y revisión

• Use permutación si el orden importa, de lo contrario use combinación.
• Las palabras clave arreglo, secuencia y orden sugieren el uso de permutación.
• La selección de palabras clave, subconjunto y grupo sugieren usar combinación.
• Lo mejor es comenzar con una construcción. Imagina que quieres enumerar todas las posibilidades, ¿cómo empezarías?
• Es posible que necesitemos usar tanto la permutación como la combinación, y muy probablemente también necesitemos usar los principios de adición y multiplicación.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\label{ex:combin-01}\)

Si los Buffalo Bills y los Cleveland Browns tienen ocho y seis jugadores, respectivamente, disponibles para el comercio, ¿de cuántas formas pueden intercambiar tres jugadores por tres jugadores?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\label{ex:combin-02}\)

En el juego de Mastermind, un jugador, el creador de código, selecciona una secuencia de cuatro colores (el “código”) seleccionados entre rojo, azul, verde, blanco, negro y amarillo.

1. ¿Cuántos códigos diferentes se pueden formar?
2. ¿Cuántos códigos utilizan cuatro colores diferentes?
3. ¿Cuántos códigos usan un solo color?
4. ¿Cuántos códigos usan exactamente dos colores?
5. ¿Cuántos códigos usan exactamente tres colores?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\label{ex:combin-03}\)

A Becky le gusta ver DVDs cada noche. ¿Cuántos DVD debe tener si puede ver todas las noches durante 24 noches consecutivas durante sus vacaciones de invierno?

1. ¿Un subconjunto diferente de DVDs?
2. ¿Un subconjunto diferente de tres DVDs?

Ejercicio\(\PageIndex{4}\label{ex:combin-04}\)

Bridget tiene\(n\) amigos de su club bridge. Todos los jueves por la noche, invita a tres amigas a su casa para un juego de bridge. Ella siempre se sienta en la posición norte, y decide qué amigos deben sentarse en las posiciones este, sur y oeste. Ella es capaz de hacer esto durante 200 semanas sin repetir una disposición de asientos. ¿Cuál es el valor mínimo de\(n\)?

Ejercicio\(\PageIndex{5}\label{ex:combin-05}\)

Bridget tiene\(n\) amigos de su club bridge. Ella es capaz de invitar a un subconjunto diferente de tres de ellos a su casa todos los jueves por la noche durante 100 semanas. ¿Cuál es el valor mínimo de\(n\)?

Ejercicio\(\PageIndex{6}\label{ex:combin-06}\)

¿Cuántos números de cinco dígitos se pueden formar a partir de los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? ¿Cuántos de ellos no tienen dígitos repetidos?

Ejercicio\(\PageIndex{7}\label{ex:combin-07}\)

El Departamento de Matemáticas de una pequeña universidad cuenta con tres profesores titulares, siete profesores asociados y cuatro profesores asistentes. De cuántas maneras se puede formar un comité de cuatro miembros bajo estas restricciones:

1. No hay restricciones.
2. Se selecciona al menos un profesor titular.
3. El comité deberá contener un profesor de cada rango.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\label{ex:combin-08}\)

Un gerente de tienda departamental recibe de la sede de la compañía 12 boletos de fútbol para el mismo juego (de ahí que puedan considerarse como “idénticos”). ¿De cuántas maneras puede distribuirlos a 20 empleados si nadie obtiene más de un boleto? ¿Y si los boletos son para 12 juegos diferentes?

Ejercicio\(\PageIndex{9}\label{ex:combin-09}\)

Un tablero de ajedrez tiene 64 cuadrados distintos dispuestos en ocho filas y ocho columnas.

1. ¿De cuántas maneras se pueden colocar ocho fichas idénticas en el tablero para que no puedan ocupar dos fichas la misma fila o la misma columna?
2. ¿De cuántas maneras se pueden colocar en el tablero dos damas rojas idénticas y dos damas negras idénticas para que ninguna de las dos damas del mismo color pueda ocupar la misma fila o la misma columna?

Ejercicio\(\PageIndex{10}\label{ex:combin-10}\)

Determinar el número de permutaciones de\(\{A, B, C, D, E\}\) que cumplan las siguientes condiciones:

1. \(A\)ocupa la primera posición.
2. \(A\)ocupa la primera posición, y\(B\) la segunda.
3. \(A\)aparece antes\(B\).

Ejercicio\(\PageIndex{11}\label{ex:combin-11}\)

Una cadena binaria es una secuencia de dígitos elegida entre 0 y 1. ¿Cuántas cadenas binarias de longitud 16 contienen exactamente siete 1s?

Ejercicio\(\PageIndex{12}\label{ex:combin-12}\)

¿De cuántas maneras se puede elegir un subconjunto no vacío de personas entre ocho hombres y ocho mujeres para que cada subconjunto contenga un número igual de hombres y mujeres?

Ejercicio\(\PageIndex{13}\label{ex:combin-13}\)

Una mano de póquer es una selección de cinco cartas elegida de una baraja estándar de 52 cartas. ¿Cuántas manos de poker cumplen las siguientes condiciones?

1. No hay restricciones.
2. La mano contiene al menos una carta de cada palo.
3. La mano contiene exactamente un par (las otras tres cartas todas de diferentes rangos).
4. La mano contiene tres de un rango (las otras dos cartas todas de diferentes rangos).
5. La mano es una casa llena (tres de un rango y un par de otro).
6. La mano es una recta (filas consecutivas, como en 5, 6, 7, 8, 9, pero no todas del mismo palo).
7. La mano es al ras (todos el mismo palo, pero no una recta).
8. La mano es una recta al ras (tanto recta como al ras).

Ejercicio\(\PageIndex{14}\label{ex:combin-14}\)

Un pizzería local ofrece los siguientes ingredientes en sus pizzas de queso: queso extra, pepperoni, champiñones, pimientos verdes, cebollas, salchichas, jamón y anchoas.

1. ¿Cuántos tipos de pizzas se pueden pedir?
2. ¿Cuántos tipos de pizzas se pueden pedir con exactamente tres coberturas?
3. ¿Cuántos tipos de pizza vegetariana (sin pepperoni, salchicha o jamón) se puede pedir?