8.5: El Teorema Binomial

Un binomio es un polinomio con exactamente dos términos. El teorema binomial da una fórmula para expandir\((x+y)^n\) para cualquier entero positivo\(n\).

¿Cómo expandimos un producto de polinomios? Escogemos un término del primer polinomio, multiplicamos por un término elegido del segundo polinomio, y luego multiplicamos por un término seleccionado del tercer polinomio, y así sucesivamente. En el caso especial de\((x+y)^n\), estamos seleccionando uno\(x\) o\(y\) de cada uno de los\(n\) binomios\(x+y\) para formar un producto. Algunos de estos productos serán idénticos, de ahí, necesitamos recolectar sus coeficientes. La expansión de\((x+y)^3\) se demuestra a continuación.

Encontramos\[\begin{array}{rl} (x+y)^3 &= (x+y)(x+y)(x+y) \\ &= xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy \\ &= x^3+x^2y+x^2y+xy^2+x^2y+xy^2+xy^2+y^3 \\ &= x^3+3x^2y+3xy^2+y^3. \end{array} \nonumber\] ¿Qué pasa cuando nos expandimos\((x+y)^n\)?

Si seleccionamos\(y\) entre\(k\) copias de las\((x+y)\) s, y\(x\) de las otras\(n-k\) copias, su producto será\(x^{n-k} y^k\). Por lo tanto, en la expansión de\((x+y)^n\), un término típico será de la forma\(x^{n-k} y^k\), donde\(0\leq k\leq n\). La pregunta es, ¿cuál es su coeficiente en la expansión, después de que recogemos términos similares? Este coeficiente es el número de veces que\(x^{n-k} y^k\) aparece el producto cuando multiplicamos de la\((x+y)^n\) manera descrita anteriormente. Depende de qué\(k\) copias de los\((x+y)\) s\(y\) elegiremos. Hay\(\binom{n}{k}\) opciones, de ahí que el producto\(x^{n-k}y^k\) aparezca\(\binom{n}{k}\) veces. Así, el coeficiente es\(\binom{n}{k}\). Por esta razón, también llamamos a\(\binom{n}{k}\) los coeficientes binomiales.

Teorema\(\PageIndex{1}\) (Binomial Theorem)

Para cualquier entero positivo\(n\),\[\begin{array}{rcl} (x+y)^n &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k}y^k. \qquad \end{array} \nonumber\]

Debido a la simetría en la fórmula, podemos intercambiar\(x\) y\(y\). Además, también tenemos\(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). En consecuencia, el teorema binomial puede escribirse en otras tres formas:

\[\begin{array}{rl} (x+y)^n &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{n-k} x^{n-k} y^k, \\ (x+y)^n &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{ k} x^k y^{n-k}, \\ (x+y)^n &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{n-k} x^k y^{n-k}. \end{array} \nonumber\]

No necesitas preocuparte cuál usar. ¡Todos son iguales! Es así como recordar estas cuatro formas diferentes. En cada término, los poderes de\(x\) y\(y\) siempre suman\(n\). Si el poder de una de las dos variables es\(k\), dónde\(0\leq k\leq n\), entonces el poder de la otra debe ser\(n-k\), y necesitamos multiplicar el coeficiente\(\binom{n}{k}\), que es el mismo que\(\binom{n}{n-k}\), a su producto.

Al expandirse\((x+y)^n\), puede ser útil si primero establece todos los términos\(x^n\),\(x^{n-1}y\),\(x^{n-2}y^2\), y así sucesivamente. Después rellenas con los coeficientes binomiales. Por ejemplo, para ampliar\((x+y)^3\), primero enumeramos todos los términos que esperamos encontrar:

\[(x+y)^3 = \underline{\text{ }}\, x^3 + \underline{\text{ }}\, x^2y + \underline{\text{ }}\, xy^2 + \underline{\text{ }}\, y^3. \nonumber\]

A continuación rellenamos los coeficientes binomiales:

\[(x+y)^3 = \binom{3}{0} x^3 + \binom{3}{1} x^2 y + \binom{3}{2} xy^2 + \binom{3}{3} y^3.\nonumber\]

Finalmente, evaluar los coeficientes binomiales y simplificar el resultado.

\[(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3.\nonumber\]

De manera similar, también encontramos\((x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\). Observe la similitud entre las dos expansiones.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\label{eg:binom-01}\)

\((x+y)^4\)Cómpiate.

Solución

Siguiendo los pasos que describimos anteriormente, encontramos

\[\begin{array}{rl} (x+y)^4 &= \binom{4}{0}x^4 + \binom{4}{1}x^3y + \binom{4}{2}x^2y^2 + \binom{4}{3}xy^3 + \binom{4}{4}y^4 \\ &= x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4. \end{array} \nonumber\]

Ya que\(\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\), la expansión siempre comienza con\(x^n\) y termina con\(y^n\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\label{eg:binom-02}\)

\((x-y)^4\)Cómpiate.

Solución

ENCONTRAMOS

\[\begin{array}{rl} (x-y)^4 &= [x+(-y)]^4 \\ &= \binom{4}{0} x^4 + \binom{4}{1}x^3(-y) + \binom{4}{2}x^2(-y)^2 + \binom{4}{3}x(-y)^3 + \binom{4}{4} (-y)^4 \\ &= x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4. \end{array} \nonumber\]

Toma nota de los signos alternos en la expansión. Esto sugiere que podríamos expandirnos exactamente de\((A-B)^n\) la misma manera que lo haríamos con\((A+B)^n\), excepto que los signos se alternan.

Podemos llevar a cabo la expansión siguiendo estos pasos. Primero, enumere todos los términos que esperamos encontrar

\[(x+y)^4 = \underline{\text{ }}\, x^4 \phantom{-} \underline{\text{ }}\, x^3y \phantom{+} \underline{\text{ }}\, x^2y^2 \phantom{-} \underline{\text{ }}\, xy^3 \phantom{+} \underline{\text{ }}\, y^4. \nonumber\]

A continuación, rellene los letreros:

\[(x+y)^4 = \underline{\text{ }}\, x^4 - \underline{\text{ }}\, x^3y + \underline{\text{ }}\, x^2y^2 - \underline{\text{ }}\, xy^3 + \underline{\text{ }}\, y^4, \nonumber\]

y luego los coeficientes binomiales:

\[(x+y)^4 = \binom{4}{0} x^4 - \binom{4}{1} x^3y + \binom{4}{2} x^2y^2 - \binom{4}{3} xy^3 + \binom{4}{4} y^4. \nonumber\]

Finalmente, computar los coeficientes binomiales para terminar la expansión.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\label{eg:binom-03}\)

Ampliar\((2x-3y)^5\).

Solución

La expansión rinde\[(2x)^5-\binom{5}{1}(2x)^4(3y)+\binom{5}{2}(2x)^3(3y)^2 -\binom{5}{3}(2x)^2(3y)^3+\binom{5}{4}(2x)(3y)^4-(3y)^5. \nonumber\] Por lo tanto,\((2x-3y)^5 = 32x^5-240x^4y+720x^3y^2-1080x^2y^3+810xy^4-243y^5\).

Ejercicio práctico\(\PageIndex{1}\label{he:binom-01}\)

Utilice el teorema binomial para expandirse\((3x-5y)^4\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\label{eg:binom-04}\)

Encuentra el coeficiente de\(x^3\) en la expansión de\((1+x)^{102}\).

Solución

Ya que\[(1+x)^{102} = \sum_{k=0}^{102} \binom{102}{k} x^k, \nonumber\] el término que contiene\(x^3\) es\(\binom{102}{3} x^3\). Por lo tanto, el coeficiente es\(\binom{102}{3}\). Dependiendo de qué forma del teorema binomial uses, puedes terminar con el término\(\binom{102}{99} x^3\). Numéricamente, esto nos da el mismo coeficiente, porque\(\binom{102}{99}=\binom{102}{102-99}=\binom{102}{3}\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\label{eg:binom-05}\)

¿Cuál es el coeficiente de\(t^4\) en la expansión de\((2+3t)^9\)?

Solución

Ya\[(2+3t)^9 = \sum_{k=0}^9 \binom{9}{k} 2^{9-k} (3t)^k, \nonumber\] que necesitamos\(k=4\). El coeficiente es\(\binom{9}{4} 2^5\cdot3^4\cdot\).

Ejemplo\(\PageIndex{6}\label{eg:binom-06}\)

¿Cuál es el coeficiente de\(t^5\) en la expansión de\((3-2t)^7\)?

Solución

Ya que\((3-2t)^7 = \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} 3^{7-k} (-2t)^k\), necesitamos\(k=5\), y el coeficiente es\(\binom{7}{5}3^2\cdot(-2)^5 = -\binom{7}{5} 3^2\cdot2^5\).

Ejercicio práctico\(\PageIndex{2}\label{he:binom-02}\)

¿Cuál es el coeficiente de\(t^5\) in\((1+3t)^8\)?

Ejercicio práctico\(\PageIndex{3}\label{he:binom-03}\)

¿Cuál es el coeficiente de\(t^4\) en la expansión de\((2-5t)^9\)?

Ejemplo\(\PageIndex{7}\label{eg:binom-07}\)

¿Cuál es el coeficiente de\(t^6\) en la expansión de\((4+5t^2)^8\)?

Solución

El término general en la expansión es\(\binom{8}{k} 4^{8-k} (5t^2)^k = \binom{8}{k} 4^{8-k} \cdot 5^k t^{2k}\). De ahí, necesitamos\(k=3\), y el coeficiente es\(\binom{8}{3}4^5\cdot5^3\).

Ejercicio práctico\(\PageIndex{4}\label{he:binom-04}\)

¿Cuál es el coeficiente de\(t^9\) en la expansión de\((3-2t^3)^8\)?

El término constante en una expansión no contiene ninguna variable. Se puede interpretar como el término que contiene\(x^0\).

Ejemplo\(\PageIndex{8}\label{eg:binom-08}\)

Encuentra el término constante en la expansión de\(\left(x+\frac{2}{x}\right)^8\).

Solución

El término general en la expansión es\[\binom{8}{k} x^{8-k} \left(\frac{2}{x}\right)^k = \binom{8}{k} x^{8-k} \cdot\frac{2^k}{x^k} = \binom{8}{k} 2^k x^{8-2k}. \nonumber\] Necesitamos\(8-2k=0\) o\(k=4\). Por lo tanto, el coeficiente es\(\binom{8}{4} 2^4\).

Ejercicio práctico\(\PageIndex{5}\label{he:binom-05}\)

Encuentra el término constante en la expansión de las dos expresiones\(\left(x+\frac{3}{x}\right)^9\) y\(\left(2x-\frac{3}{x}\right)^{10}\).

Ejemplo\(\PageIndex{9}\label{eg:binom-09}\)

Determinar el coeficiente de\(x^7\) en la expansión de\((1+x+x^2)(1+x)^{10}\).

Solución

Expandir de la\((1+x+x^2) (1+x)^{10}\) siguiente manera:\[\begin{array}{rl} (1+x+x^2) (1+x)^{10} &= (1+x+x^2) \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} x^k \\ &= \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} x^k +\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} x^{k+1} +\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} x^{k+2}. \end{array}\] Entonces el coeficiente de\(x^7\) es\(\binom{10}{7} + \binom{10}{6} + \binom{10}{5}\).

Ejercicio práctico\(\PageIndex{6}\label{he:binom-06}\)

Encuentra el coeficiente de\(x^8\) en la expansión de\((1−2x+3x^2)(1+2x)^{12}\).

Triángulo de Pascal

Para calcular rápidamente los coeficientes binomiales, se puede usar el triángulo Pascal, en el que la fila\(n\) th (\(n \geq 0\)) consiste en los coeficientes binomiales\(\binom{n}{k}\), donde\(0 \leq k \leq n\):

\[\begin{array}{*{13}{c}} & & & & & & 1 \\ & & & & & 1 & & 1 \\ & & & & 1 & & 2 & & 1 \\ & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 \\ & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 \\ & 1 & & 5 & &10 & &10 & & 5 & & 1 \\ 1 & & 6 & &15 & &20 & &15 & & 6 & & 1 \end{array} \nonumber\]

Construir el triángulo Pascal es fácil. Generamos las filas una a la vez. Los extremos son siempre 1. Cada una de las entradas interiores es la suma de las dos entradas justo encima de ella en la fila anterior. Por ejemplo, la siguiente fila (for\(n=7\)) debería ser

\[\begin{array}{*{15}{c}} 1 & & 7 & &21 & &35 & &35 & &21 & & 7 & & 1 \end{array} \nonumber\]

Dichos cálculos producen los coeficientes binomiales correctos, debido al siguiente resultado.

Teorema\(\PageIndex{2}\) (Pascal's Identitity)

Para todos los enteros\(n\) y\(k\) satisfactorios\(1\leq k\leq n\),\[\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}. \nonumber\]

(Prueba analítica)

De la definición de coeficientes binomiales se desprende que

\[\begin{aligned} \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} &= \frac{(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k)!} + \frac{(n-1)!}{k!\,(n-k-1)!} \\ &= \frac{(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k-1)!} \left( \frac{1}{n-k} + \frac{1}{k} \right) \\ &= \frac{(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k-1)!} \cdot \frac{n}{k(n-k)} \\ &= \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.\end{aligned} \nonumber\]

Esto completa la prueba.

(Prueba combinatoria)

Let\(A\) Be an\(n\) -element set. Luego\(\binom{n}{k}\) cuenta el número de subconjuntos\(k\) -elementos de\(A\). Estos subconjuntos se pueden clasificar según si contienen un elemento fijo, digamos\(x\). Si un subconjunto contiene\(x\), entonces los otros\(k-1\) elementos deben seleccionarse de los\(n-1\) elementos restantes de\(A\). De lo contrario, si el subconjunto no contiene\(x\), entonces todos sus\(k\) elementos deben ser seleccionados de los demás\(n-1\) elementos de\(A\). Los números de estos dos tipos de subconjuntos vienen dados por\(\binom{n-1}{k-1}\) y\(\binom{n-1}{k}\), respectivamente. El teorema ahora sigue inmediatamente aplicando el principio de adición.

Ejercicio práctico\(\PageIndex{7}\label{he:binom-07}\)

Determinar las filas 8 y 9 en el triángulo de Pascal.

Ejemplo\(\PageIndex{10}\label{eg:binom-10}\)

Usa el triángulo de Pascal para expandir

1. \((C-D)^5\)
2. \((2A+5B)^3\)
3. \((3C-4B)^4\)

Solución

Dibuja los valores\(\binom{n}{k}\) del triángulo Pascal directamente. Las respuestas son:

1. \((C-D)^5 = C^5-5C^4D+10C^3D^2-10C^2D^3+5CD^4-D^5\).
2. \((2a+5B)^3 = 8A^3+60A^2B+150AB^2+125B^3\).
3. \((3C-4B)^4 = 81C^4-432C^3B+864C^2B^2-768CB^3+256B^4\).

Muchos resultados interesantes se pueden derivar del teorema binomial.

Ejemplo\(\PageIndex{11}\label{eg:binom-11}\)

Estableciendo\(x=y=1\), obtenemos una prueba simple (analítica) de la identidad familiar\(2^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\).

Ejemplo\(\PageIndex{12}\label{eg:binom-12}\)

Dejar\(x=1\) y\(y=-1\) rendimientos\(0 = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}\). Podemos reescribirlo como\[\binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \cdots = \binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \cdots. \nonumber\]

Combinatorialmente, esto significa que el número de subconjuntos de cardinalidades pares es igual al número de subconjuntos de cardinalidades impares.

Resumen y revisión

• El teorema binomial se puede expresar en cuatro formas diferentes pero equivalentes.
• La expansión de\((x+y)^n\) comienza con\(x^n\), luego disminuimos el exponente en\(x\) uno, mientras tanto aumentamos el exponente de\(y\) por uno, y repetimos esto hasta que tengamos\(y^n\).
• Los siguientes términos son\(x^{n-1}y\), por tanto\(x^{n-2}y^2\),, etc., que terminan con\(y^n\).
• En general, la suma de exponentes en\(x\) y\(y\) es siempre\(n\). De ahí que el término general es\(x^k y^{n-k}\), cuyo coeficiente es\(\binom{n}{k}\).
• La expansión de\((x+y)^n\) y\((x-y)^n\) se ven casi idénticas, salvo que los signos en\((x-y)^n\) alternan.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\label{ex:binom-01}\)

Utilice el teorema binomial para expandir las siguientes expresiones:

1. \((x + y)^5\)
2. \((s − t)^6\)
3. \((a + 3b)^4\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\label{ex:binom-02}\)

Encuentra el coeficiente de

1. \(x^{11}y^3\)en\((x+y)^{14}\)
2. \(x^4y^7\)en\((2x-y)^{11}\)
3. \(x^4y^3\)en\((3x+2y)^7\)
4. \(x^5\)en\((1-x+x^2)(1+x)^7\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\label{ex:binom-03}\)

Encuentra el término constante en la expansión de

1. \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^4\)
2. \(\left(3x-\frac{2}{5x^2}\right)^9\)
3. \(\left(3x^2-\frac{5}{7x^3}\right)^4\)
4. \((1-x^2+x^3)\left(3x^2-\frac{5}{7x^3}\right)^6\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\label{ex:binom-04}\)

Demuéstralo\( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 2^k = 3^n\) para cualquier entero positivo\(n\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\label{ex:binom-05}\)

Dejar\(n\) ser un entero positivo. Evaluar\( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} r^k\) para cualquier número real\(r\).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\label{ex:binom-06}\)

Encuentra un formulario cerrado para la suma\( \sum_{k=0}^n k\binom{n}{k}\).

Pista

Diferenciar\((1+x)^n\) con respecto a\(x\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\label{ex:binom-07}\)

El objetivo de este problema es derivar una fórmula para\(\sum_{k=1}^n k^2\).

1. Usa inducción para mostrar eso\[\sum_{k=1}^n \binom{k}{1} = \frac{n(n+1)}{2} \nonumber\] para cualquier entero positivo\(n\).
2. Usar inducción para mostrar eso\[\sum_{k=1}^n \binom{k}{2} = \frac{n(n+1)(n-1)}{3!} \nonumber\] para cualquier entero positivo\(n\)
3. Encuentra los enteros\(a\) y\(b\) tal que\[k^2 = a\binom{k}{2} + b\binom{k}{1}. \nonumber\]
4. De la parte (c), obtenemos\[\sum_{k=1}^n k^2 = a\sum_{k=1}^n \binom{k}{2} + b\sum_{k=1}^n \binom{k}{1}. \nonumber\] Aplicar los resultados de las partes (a) y (b) para derivar una fórmula para\(\sum_{k=1}^n k^2\).

Pista (b)

Tenga en cuenta que\(\binom{1}{2}=0\).

Pista (c)

Comparar coeficientes.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\label{ex:binom-08}\)

El objetivo de este problema es derivar una fórmula para\(\sum_{k=1}^n k^3\).

1. Usa inducción para mostrar eso\[\sum_{k=1}^n \binom{k}{3} = \frac{n(n+1)(n-1)(n-2)}{4!} \nonumber\] para cualquier entero positivo\(n\).
2. Encontrar los enteros\(a\),\(b\), y\(c\) tal que\[k^3 = a\binom{k}{3} + b\binom{k}{2} + c\binom{k}{1}. \nonumber\]
3. Aplicar los resultados de las partes (a) y (b) para derivar una fórmula para\(\sum_{k=1}^n k^3\).

Pista (a)

Tenga en cuenta que\(\binom{1}{2}=0\).

Pista (b)

Comparar coeficientes.