1.3: Números algebraicos y trascendentales

El conjunto de polinomios con coeficientes en\(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\), o\(\mathbb{C}\) se denota por\(\mathbb{Z} [x], \mathbb{Q}[x], \mathbb{R}[x]\), y\(\mathbb{C}[x]\), respectivamente.

Definición 1.12

Un elemento\(x \in \mathbb{R}\) se llama un número algebraico si satisface\(p(x) = 0\), donde\(p\) es un polinomio distinto de cero en\(\mathbb{Z}[x]\). De lo contrario se le llama un número trascendental.

Los números trascendentales son aún más difíciles de precisar que los números irracionales generales. Eso sí lo sabemos\(e\) y\(π\) son trascendentales, pero las pruebas son considerablemente más difíciles (ver [12]). A continuación veremos que los números trascendentales son mucho más abundantes que los racionales o los números algebraicos. A pesar de ello, son más difíciles de analizar y, de hecho, incluso difíciles de encontrar. Esta situación paradójica donde los números más prevalentes son más difíciles de encontrar, en realidad es bastante común en la teoría de números.

La herramienta más accesible para construir números trascendentales es el Teorema de Liouville. El ajuste es el siguiente. Dado un número algebraico\(y\), es la raíz de un polinomio con coeficientes enteros\(f(x) = \sum^{d}_{i=0} a_{i} x^{i}\), donde siempre asumimos que el coeficiente\(a_{d}\) de la mayor potencia es distinto de cero. Ese poder más elevado se llama el grado del polinomio. Tenga en cuenta que siempre podemos encontrar un polinomio de mayor grado que tenga\(y\) como raíz. A saber, multiplicar\(f\) por cualquier otro polinomio\(g\).

Definición 1.13

Decimos que\(f(x) = \sum^{d}_{i=0} a_{i} x^{i}\) in\(\mathbb{Z}[x]\) es un polinomio mínimo para\(\rho\) si f es un polinomio distinto de cero de grado mínimo tal que\(f(\rho) = 0\).

Teorema 1.14 Teorema de Liouville

Dejar\(f\) ser un polinomio mínimo de grado\(d \ge 2\) para\(\rho \in \mathbb{R}\). Entonces

\[\exists c(\rho) > 0 \mbox{ such that } \forall \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} : |\rho-\frac{p}{q}| > \frac{c(\rho)}{q^d} \nonumber\]

Prueba

Claramente, si\(|\rho-\frac{p}{q}| \ge 1\), se satisface la desigualdad. Entonces asumamos eso\(|\rho-\frac{p}{q}| < 1\).

Ahora vamos\(f\) a ser un polinomio mínimo para\(\rho\), y establecer

\[K = \mbox{max}_{t \in [\rho-1, \rho+1]} |f'(t)| \nonumber\]

Sabemos que no\(f(\frac{p}{q})\) es cero, porque de lo contrario\(f\) tendría un factor\((x-\frac{p}{q})\). En ese caso, el cociente\(g\) de\(f\) y no necesariamente\((x-\frac{p}{q})\) tendría coeficientes enteros, sino algún múltiplo integral\(mg\) de\(g\) lo haría. No obstante,\(mg\) sería de menor grado, contradiciendo así la minimalidad de\(f\). Esto nos da que

\[|q^{d} f(\frac{p}{q})| = |\sum_{i=0}^{d} a_{i}p^{i}q^{d-1}| \ge 1 \Rightarrow |f(\frac{p}{q})| \ge q^{-d} \nonumber\]

porque es un entero distinto de cero. Finalmente, utilizamos el teorema del valor medio que nos dice que hay un\(t\) entre\(\rho\) y\(\frac{p}{q}\) tal que

\[K \ge |f'(t)| = |\frac{f(\frac{p}{q})-f(\rho)}{\frac{p}{q}-\rho}| \ge \frac{q^{-d}}{|\frac{p}{q}-\rho} \nonumber\]

ya que\(f(\rho) = 0\). Porque\(K\) como antes, esto nos da la desigualdad deseada.

Definición 1.15

Un número real\(\rho\) se llama número de Liouville si para todos\(n \in \mathbb{N}\), hay un número racional\(\frac{p}{q}\) tal que

\[|\rho-\frac{p}{q}| <\frac{1}{q^n} \nonumber\]

Se deduce directamente del teorema de Liouville que los números de Sauch deben ser trascendentales. Los números de Liouville se pueden construir con bastante facilidad. El número

\[\rho = \sum_{k=1}^{\infty} 10^{-k!} \nonumber\]

es un ejemplo. Si establecemos\(\frac{p}{q}\) igual a\(\sum_{k=1}^{\infty} 10^{-k!}\), entonces\(q = 10^{n!}\). Entonces

\[\left|\rho-\frac{p}{q}\right| = \sum_{k=n+1}^{\infty} 10^{-k!} \nonumber\]

Es oriente para demostrar que esto es menor que\(q^{-n}\) (ejercicio 1.17).

No vale nada que haya una versión óptima del Teorema de Louville. Lo grabamos aquí sin pruebas.

Teorema 1.16 Teorema de Roth

Dejar\(\rho \in \mathbb{R}\) ser algebraico. Entonces para todos\(\epsilon > 0\)

\[\exists c(\rho, \epsilon) > 0 \mbox{ such that } \forall \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} : |\rho-\frac{p}{q}| > \frac{c(\alpha, \epsilon)}{q^{2+\epsilon}} \nonumber\]

donde\(c(\rho, \epsilon)\) depende sólo de\(\rho\) y\(\epsilon\).

Este resultado es tanto más notable si lo consideramos en el contexto del siguiente resultado más general (que tendremos ocasión de probar en el Capítulo 6).

Teorema 1.17

Seamos\(\rho \in \mathbb{R}\) irracionales. Entonces hay infinitamente muchos\(\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}\) tales que\(|\rho-\frac{p}{q} <\frac{1}{q^2}\).