1.2: Números racionales e irracionales

Comenzamos con algunos resultados que necesitamos en el resto de esta subsección.

Teorema 1.7: Principio de ordenación correcta

Cualquier conjunto\(S\) no vacío\(\mathbb{N} \cup \{0\}\) tiene un elemento más pequeño.

Prueba

Supongamos que esto es falso. Pick\(s_{1} \in S\). Entonces hay otro número natural\(s_{2}\) en\(S\) tal que\(s_{2} \le s_{1}-1\). Después de un número finito de pasos, pasamos cero, lo que implica que\(S\) tiene elementos menores a 0 en él. Esto es una contradicción.

Tenga en cuenta que cualquier conjunto no vacío\(S\) de números enteros con un límite inferior se puede transformar mediante la adición de un entero\(b \in N_{0}\) en una entrada no vacía\(S+b\)\(N_{0}\). Entonces\(S + b\) tiene un límite inferior, y por lo tanto también lo hace\(S\). Además, un conjunto no vacío\(S\) de números enteros con un límite superior también se puede transformar en un no vacío\(-S+b\) en N0. Aquí,\(-S\) significa la colección de elementos de S multiplicada por\(-1\). Así tenemos el siguiente corolario del principio del orden correcto.

Corolario 1.8

Dejar ser un conjunto\(S\) no vacío\(\mathbb{Z}\) con un límite inferior (superior). Entonces\(S\) tiene un elemento más pequeño (más grande).

Definición 1.9

Un elemento\(x \in \mathbb{R}\) se llama racional si satisface\(qx-p = 0\) dónde\(p\) y\(q \ne 0\) son enteros. De lo contrario se le llama un número irracional. El conjunto de números racionales se denota por\(\mathbb{Q}\).

La forma habitual de expresar esto, es que un número racional puede escribirse como\(\frac{p}{q}\). La ventaja de expresar un número racional como la solución de un polinomio de grado 1, sin embargo, es que naturalmente conduce a la Definición 1.12.

Teorema 1.10

Cualquier intervalo en\(\mathbb{R}\) contiene un elemento de\(\mathbb{Q}\). Decimos que\(\mathbb{Q}\) es denso en\(\mathbb{R}\).

Prueba

Dejar entrar\(I = (a, b)\) con\(b > a\) cualquier intervalo\(\mathbb{R}\). Desde Corolario 1.8 vemos que hay una n tal que\(n > \frac{1}{b-a}\). En efecto, si ese no fuera el caso, entonces\(\mathbb{N}\) estaría acotado desde arriba, y así tendría un elemento más grande\(n_{0}\). Pero si\(n_{0} \in \mathbb{N}\), entonces así es\(n_{0}+1\). Esto da una contradicción y por lo tanto la desigualdad anterior debe sostenerse.

De ello se deduce que\(nb-na > 1\). Así el intervalo\((na, nb)\) contiene un entero, digamos,\(p\). Entonces tenemos eso\(na < p < nb\). El teorema sigue al dividir por n.

El quid de la siguiente prueba es que tomamos un intervalo y lo escalamos hasta que sepamos que hay un entero en él, y luego lo escalamos de nuevo hacia abajo.

Teorema 1.11

\(\sqrt{2}\)es irracional.

Prueba

Supongamos que se\(\sqrt{2}\) puede expresar como el cociente de números enteros\(\frac{r}{s}\). Podemos suponer que\(\gcd (r, s) = 1\) (de lo contrario simplemente dividir el factor común). Después de cuadrar, obtenemos

\[2s^2 = r^2 \nonumber\]

El lado derecho es parejo, por lo tanto el lado izquierdo es parejo. Pero el cuadrado de un número impar es impar, así\(r\) es par. Pero entonces\(r^2\) es un múltiplo de 4. Así\(s\) debe ser parejo. Esto contradice la suposición de que\(\gcd (r, s) = 1\).

Está bastante claro quiénes son los números racionales. Pero, ¿quiénes o dónde están los demás? Acabamos de ver que\(\sqrt{2}\) es irracional. No es difícil ver que la suma de cualquier número racional plus también\(\sqrt{2}\) es irracional. O que cualquier múltiplo racional distinto de cero de\(\sqrt{2}\) es irracional. Lo mismo vale para\(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}\), etcétera. Esto lo vemos en el ejercicio 1.7. A partir de ahí, no es difícil ver que los números irracionales también son densos (ejercicio 1.8). En el ejercicio 1.15, demostramos que el número\(e\) es irracional. La prueba de que\(\pi\) es irracional es un poco más dura y se puede encontrar en [1] [sección 11.17]. En el Capítulo 2, utilizaremos el teorema fundamental de la aritmética, Teorema 2.14, para construir otros números irracionales. En conclusión, mientras que la racionalidad se ve al pie de la letra, la irracionalidad de un número puede requerir algún esfuerzo para probarla, aunque sean mucho más numerosas como veremos en la Sección 1.4.