1.5: Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Aplica Eratosthenes' Sieve para obtener todos los números primos entre 1 y 200. (Pista: deberías obtener 25 primos menos de 100, y 21 entre 100 y 200.)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Factorizar lo siguiente en números primos (escribir como producto de primos): 393, 16000, 5041, 1111, 1763, 720.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encuentra pares de primos que difieran en 2. Estos se llaman primos gemelos. ¿Hay infinitamente muchos de esos pares? (Pista: Este es un problema abierto; la respuesta afirmativa se llama la conjetura del primo gemelo).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Goldbach Conjecture

Demuestre que los enteros pares lo suficientemente pequeños se pueden escribir como la suma de dos primos. ¿Es esto siempre cierto? (Pista: Este es un problema abierto; la respuesta afirmativa se llama la conjetura de Goldbach.)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Comentar los tipos de números (racionales, irracionales, trascendentales) que utilizamos en la vida cotidiana.

1. ¿Qué números usamos para pagar nuestras facturas?
2. ¿Qué números utilizamos en simulaciones informáticas de procesos complejos?
3. ¿Qué números usamos para medir cosas físicas?
4. Dar ejemplos del uso de los “otros” números.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Dejemos\(a\) y\(b\) sean racionales\(x\) y e\(y\) irracionales.

1. Demostrar que\(ax\) es irracional iff\(a \ne 0\).
2. Demostrar que\(b+x\) es irracional.
3. Demostrar que\(ax+b\) es irracional iff\(a \ne 0\).
4. Concluir que\(a \sqrt{2}+b\) es irracional iff\(a \ne 0\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Demostrar que\(\sqrt{3}, \sqrt{5}\), etcétera (raíces cuadradas de primos) son irracionales.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Mostrar que los números de la forma que\(a\sqrt{2}+b\) son irracionales y densos en los reales (\(a\)y\(b\) son racionales).

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

1. Utilice un argumento pictórico similar al de la Figura 2 para mostrar que\(\mathbb{N} \times \mathbb{N}\) (el conjunto de puntos de celosía\((n, m)\) con\(n\) y\(m\) adentro\(\mathbb{N}\)) es contable.
2. Supongamos que\(A_{i}\) son conjuntos contablemente infinitos donde\(i \in I\) y\(I\) contables. Demostrar que hay una bijección\(f_{i} : \mathbb{N} \rightarrow A_{i}\) para cada uno\(i\).
3. Espectáculo hay una bijección\(F : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \bigcup_{i \in I} A_{i}\) dada por\(F(n, m) = f_{n}(m)\).
4. Concluir que la unión contable de conjuntos infinitos contables es contablemente infinita.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

¿Qué hay de malo en el siguiente intento de demostrar que\([0, 1]\) es incontable?
Supongamos que\([0, 1]\) es contable, es decir: hay una biyección\(f\) entre\([0, 1]\) y\(\mathbb{N}\). Dejar\(r(n)\) ser el número único en\([0, 1]\) asignado a\(n\). Así, la matriz infinita\((r(1), r(2), \cdots)\) forma una lista exhaustiva de los números en\([0, 1]\), de la siguiente manera:

\[r(1) = 0. \textbf{0} 0000000000 \dots \nonumber\]

\[r(2) = 0.1 \textbf{0} 101010111 \dots \nonumber\]

\[r(3) = 0.00 \textbf{0} 11111111 \dots \nonumber\]

\[r(4) = 0.111 \textbf{1} 1100000 \dots \nonumber\]

\[r(5) = 0.0001 \textbf{0} 010010 \dots \nonumber\]

\[r(6) = 0.10000 \textbf{1} 00011 \dots \nonumber\]

\[\vdots \nonumber\]

(Escrito como número en la base 2.) Construir\(r^{∗}\) como la cadena cuyo dígito n difiere del de\(r(n)\). Así en este ejemplo:\(r^{∗} = 0. \textbf{111010} \dots\),

que es diferente de todos los demás números binarios enumerados en\([0, 1]\). (Pista: ¿y si\(r^{∗}\) termina con una subsecuencia infinita de todos los unos?)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

El conjunto\(f(T)\) en la prueba del Teorema 1.20 se llama el tercer conjunto de Cantor medio. Encuentra su construcción. ¿Qué aspecto tiene? (Pista: localiza el conjunto de números cuyo primer dígito (base 3) es un 1; luego el conjunto de números cuyo segundo dígito es un 1.)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Los números enteros exhiben muchos, muchos otros patrones intrigantes. Dada la siguiente función:

\[\begin{equation} \left\{ \begin{array}{cc} {n \mbox{ even: }}&{f(n) = \frac{n}{2}}\\ {n \mbox{ odd: }}&{f(n) = \frac{3n+1}{2}} \end{array} \right. \end{equation}\]

a) (Órbita periódica) Mostrar que\(f\) envía 1 a 2 y 2 a 1.
b) (La órbita periódica atrae) Demuestra que si comienzas con un pequeño inte- ger positivo y aplicas f repetidamente, eventualmente caes sobre la órbita en (a).
c) Demostrar que esto es cierto para todos los enteros positivos.
(Pista: Este es un problema abierto; la respuesta afirmativa se llama la conjetura de Collatz.)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Se sabe que\(2^{11213}-1\) es primo. ¿Cuántos dígitos decimales tiene este número? (Pista:\(\log_{10} 2 \approx 0.301029996\).)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Este ejercicio se prepara para los primos Mersenne y Fermat, ver Definición 5.11.

1. \(\sum_{i=0}^{b-1} 2^{ia} = \frac{2^{ab}-1}{2^{a}-1}\)Utilízalo para mostrar que si\(2^{p}-1\) es primo, entonces\(p\) debe ser primo.
2. Se usa\(\sum_{i=0}^{b-1} (-2)^{ia} = \frac{(-2)^{ab}-1}{(-2)^{a}-1}\) para mostrar que si\(2^{p}+1\) es primo, entonces no\(p\) tiene factor impar.

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

A continuación, asumimos que eso\(e-1 = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i!} = \frac{p}{q}\) es racional, y demostramos que esto lleva a una contradicción.

1. Demostrar que la suposición anterior implica que\[\sum_{i=1}^{q} \frac{q!}{i!}+\frac{q!}{q+i!} = p(q-1)! \nonumber\] (Pista: multiplicar ambos lados de por\(q!\).)
2. \(\sum_{i=1}^{q} \frac{q!}{i!}+\frac{q!}{q+i!} < \frac{1}{q^2}\)Demuéstralo. (Pista: escribe algunos términos de la suma a la izquierda.)
3. Mostrar que las sumas en (b) no pueden tener un valor entero.
4. Mostrar que los otros dos términos en (a) tienen un valor entero.
5. Concluir que existe una contradicción a menos que la suposición de que e es racional sea falsa.

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Demostrar que el teorema de Liouville (Teorema 1.14) también sostiene para racional para números racionales\(\rho = \frac{r}{s}\) siempre y cuando\(\frac{p}{q} \ne \frac{r}{s}\).

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

1. Demostrar que para todos los enteros positivos\(p\) y\(n\), tenemos\(p(n+1)n! \le (n+p)!\).
2. Utilice (a) para mostrar que\[\sum_{k = n+1}^{\infty} 10^{-k!} \le \sum_{k = n+1}^{\infty} 10^{-p(n+1)n!} (1-10^{-p(n+1)n!})^{-1} \nonumber\]
3. Mostrar que b) implica la ecuación (1.1).

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Demostrar que la desigualdad del teorema de Roth no se sostiene para todos los números. (Pista: Let\(\rho\) be a Liouville number.)

Definición 1.25

\(A\)Déjese ser un conjunto. Su conjunto de potencias\(P(A)\) es el conjunto cuyos elementos son los subconjuntos de\(A\). Esto siempre incluye el conjunto vacío denotado por\(\emptyset\).

En los dos ejercicios siguientes, el objetivo es mostrar algo que es obvio para los conjuntos finitos, a saber:

Teorema 1.26

La cardinalidad de un conjunto de poder es siempre (estrictamente) mayor que la del conjunto mismo.

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

a) Dado un conjunto\(A\), mostrar que hay una inyección\(f : A \rightarrow P(A)\). (Pista: para cada elemento\(a \in A\) hay un conjunto\(\{a\}\).)

b) Concluir que\(|A| \le |P(A)|\). (Pista: ver Definición 1.23.)

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

\(A\)Déjese ser un conjunto arbitrario. Asumir que hay una sobrejección\(S : A \rightarrow P(A)\) y definir

\[R = \{a \in A|a \notin S(a)\} \nonumber\]

1. Demostrar que hay\(q \in A\) tal que\(S(q) = R\).
2. Demuéstralo si\(q \in R\), entonces\(q \notin R\). (Pista: ecuación 1.2.)
3. Demuéstralo si\(q \notin R\), entonces\(q \in R\). (Pista: ecuación 1.2.)
4. Utilizar las letras b) y c) y el ejercicio 1.19, para establecer que\(|A| < |P(A)|\). (Pista: ver Definición 1.23.)

En los dos ejercicios siguientes mostramos que la cardinalidad de\(\mathbb{R}\) iguala a la de\(P(\mathbb{N})\). Esto implica eso\(|\mathbb{R}| > |\mathbb{N}|\), que también se desprende del Teorema 1.20.

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

Dejado\(T\) ser el conjunto de secuencias definidas en la prueba del Teorema 1.20. A una secuencia\(t \in T\), asocie un conjunto\(S(t)\) de la\(P(\mathbb{N})\) siguiente manera:

\[\begin{array}{ccc} {i \in S \mbox{ if } t(i) = 2}&{and}&{i \notin S \mbox{ if } t(i) = 0} \end{array} \nonumber\]

1. Demostrar que hay una bijección\(S : T \rightarrow P(\mathbb{N})\).
2. Utilizar la biyección\(f\) en la prueba del Teorema 1.20 para mostrar que hay una biyección\(K \rightarrow P(\mathbb{N})\).
3. Demostrar que (a) y (b) implican que\(|P(\mathbb{N})| = |K| = |T|\). (Pista: ver Definición 1.23.)
4. Encuentre una inyección\(K \rightarrow \mathbb{R}\) y concluya que\(|P(\mathbb{N})| \le |\mathbb{R}|\).

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

1. Demostrar que hay una bijección\(\mathbb{R} \rightarrow (0, 1)\).
2. Demostrar que hay una inyección\((0, 1) \rightarrow T\). (Pista: usa la expansión binaria habitual (base 2) de los reales.)
3. Utilizar (a), (b), y el ejercicio 1.21 (a), para demostrarlo\(|\mathbb{R}| \le |P(\mathbb{N})|\).
4. Utilizar (c) y el ejercicio 1.21 (d) para demostrarlo\(|\mathbb{R}| = |P(\mathbb{N})|\).

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

1. Mostrar que tener la misma cardinalidad (ver Definición 1.23) es una relación de equivalencia en conjuntos.
2. Concluir que “cardinalidad” es una “clase de equivalencia de conjuntos”.

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

1. Arreglar algunos\(n > 0\). Demostrar que tener el mismo resto módulo\(n\) es una relación de equivalencia en\(\mathbb{Z}\). (Pista: por ejemplo,\(-8, 4\), y 16 tienen el resto módulo 12.)
2. Demostrar que la adición respeta esta relación de equivalencia. (Pista: Si\(a+b = c, a \sim a′\), y\(b \sim b′\), luego\(a′+b′ =c′\) con\(c \sim c′\).)
3. La misma pregunta para la multiplicación.