2.2: Corolarios del lema de Be ́zout

Lema 2.6 (Lema de Euclides)

Dejar\(a\) y\(b\) ser tal que\(\gcd (a, b) = 1\) y\(a | bc\). Entonces\(a | c\).

Prueba

Por Be ́zout, hay\(x\) y\(y\) tal que\(ax+by = 1\). Multiplicar por\(c\) para obtener:

\[acx+bcy = c \nonumber\]

Ya que\(a|bc\), el lado izquierdo es divisible por\(a\), y también lo es el lado derecho.

El lema de Euclides se usa con tanta frecuencia, que dará sus frutos al tener algunas de las consecuencias estándar para futuras referencias.

Teorema 2.7 Teorema de Cancelación

Dejar\(\gcd (a, b) = 1\) y\(b\) positivo. Entonces\(ax = _{b} ay\) si y sólo si\(x = _{b}y\).

Prueba

La sentencia es trivialmente verdadera si\(b = 1\), porque todos los enteros son iguales módulo 1.

Si\(ax = _{b} ay\), entonces\(a(x-y) = _{b} 0\). Este último equivale a\(b|a(x-y)\). La conclusión se desprende del teorema de Euclides. Viceversa, si\(x = _{b} y\), entonces\((x-y)\) es un múltiplo de\(b\) y\(a(x-y)\) es un múltiplo de\(b\).

Usado como estamos a cancelaciones en cálculos en\(\mathbb{R}\), es fácil subestimar la importancia de este resultado. A modo de ejemplo, considera resolver\(21x = _{35} 21y\). Es tentador decir que esto implica eso\(x = _{35} y\). Pero de hecho,\(\gcd (21, 35) = 7\) y el conjunto de soluciones es\(x = _{5} y\), como se comprueba fácilmente. Este ejemplo es de hecho un especial del siguiente corolario.

Corolario 2.8

Dejar\(\gcd (a, b) = d\) y\(b\) positivo. Entonces\(ax = _{b} ay\) si y sólo si\(x = _{b/d} y\).

Prueba

Nuevamente la afirmación es equivalente a\(b|a(x-y)\). Pero ahora podemos dividirnos por\(d\) para conseguir\(\frac{b}{d}|\frac{a}{d} (x-y)\). Ahora podemos aplicar el teorema de cancelación.

Corolario 2.9

Dejar\(\gcd (a, b) = 1\) y\(b\) positivo. Si\(a|c\) y\(b|c\) entonces\(ab|c\).

Prueba

Tenemos\(c = ax = by\) y así\(ax =_{b} 0\). El teorema de la cancelación implica eso\(x = _{b} 0\).

Proposición 2.10

\(ax = _{m}c\)tiene una solución si y solo si\(\gcd (a, m)|c\).

Prueba

Por Definición 1.5,\(ax = _{m} c\) significa\(ax+my = c\) para algunos\(y\), y el resultado se desprende de Bezout.

Corolario 2.11

Para cualquiera\(n \ge 1\), si\(p\) es primo y\(p| \prod_{i=1}^{n} a_{i}\), entonces hay\(j \le n\) tal que\(p|a_{j}\).

Prueba

Demostramos esto por inducción en\(n\), el número de términos en el producto. \(S(n)\)Sea la declaración del Corolario.

El enunciado\(S(1)\) es: Si\(p\) es primo y\(p|a_{1}\), entonces\(p|a_{1}\), que es trivialmente cierto.

Para el paso de inducción, supongamos que para cualquiera\(k > 1\),\(S(k)\) es válido y vamos\(p| \prod_{i=1}^{k+1} a_{i}\). Entonces,

\[p| ((\prod_{i=1}^{n} a_{i}) a_{k+1}) \nonumber\]

Aplicando el lema de Euclides, se deduce que,

\[\begin{array} {ccc} {p| \prod_{i=1}^{n} a_{i}}&{\mbox{or, if not, then }}&{p | a_{k+1}} \end{array} \nonumber\]

En el primer caso\(S(k+1)\) se sostiene porque\(S(k)\) sí. En este último, vemos que\(S(k+1)\) también sostiene.

Corolario 2.12

Si\(p\) y\(q_{i}\) son primos y\(p| \prod_{i=1}^{n} q_{i}\), entonces hay\(j \le n\) tal que\(p = q_{j}\).

Prueba

Corolario 2.11 dice que si\(p\) y todos\(q_{i}\) son primos, entonces hay\(j \le n\) tal que\(p|q_{j}\). Dado que\(q_{j}\) es primo, su único divisor son 1 y él mismo. Dado que\(p \ne 1\) (por la definición de primo),\(p = q_{j}\).