2.3: El teorema fundamental de la aritmética

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El último corolario de la sección anterior nos permite probar el resultado más importante de este capítulo. Pero primero, introducimos unidades y extendemos la definición de primos a\(\mathbb{Z}\).

Definición 2.13

Unidades en\(\mathbb{Z}\) son\(-1\) y\(1\). Todos los demás números no son unidades. Un número\(n \ne 0\) en\(\mathbb{Z}\) se llama compuesto si se puede escribir como un producto de dos no unidades. Si no lo\(n\) es\(0\), no es una unidad y no compuesta, es un primo.

Teorema 2.14 (El Teorema Fundamental de la Aritmética)

Cada entero distinto de cero\(n \in \mathbb{Z}\)

es producto de poderes de primos (hasta una unidad) y
ese producto es único (hasta el orden de multiplicación y hasta la multiplicación por las unidades\(\pm 1\).

Comentario: El teorema también se llama el teorema de factorización único. Su declaración significa que hasta la reordenación de la\(p_{i}\), cada número entero\(n\) puede expresarse de manera única como

\[ n = \pm 1 \prod_{i=1}^{r} p_{i}^{l_{i}} \nonumber\]

donde los\(p_{i}\) son primos distintos.

Prueba

Declaración (1):\(S\) Definir como el conjunto de enteros\(n\) que no son productos de primos por unidad, y el establecer\(ν(S)\) sus normas. Si el conjunto no\(S\) está vacío, entonces por el principio bien ordenado (Teorema 1.7),\(ν(S)\) tiene un elemento más pequeño. Dejar\(a\) ser uno de los elementos en\(S\) que minimizan\(ν(S)\). Posiblemente multiplicando por\(-1\), podemos suponer que eso\(a\) es positivo.

Si\(a\) es primo, entonces se puede factorizar en primos, es decir\(a = a\), y el teorema se sostendría en este caso. Así\(a\) es un número compuesto,\(a = bc\) y ambos\(b\) y no\(c\) son unidades. Así\(N(b)\) y\(N(c)\) son estrictamente más pequeños que\(N(a)\). Si\(b\) y\(c\) son productos de primes, entonces, por supuesto, así es\(a = bc\). Por lo tanto al menos uno de\(a\) o no lo\(b\) es. Pero esto contradice los supuestos sobre\(a\).

Declaración (2):\(S\) Sea el conjunto de enteros que tengan más de una factorización y\(ν(S)\) el conjunto de sus normas. Si el conjunto no\(S\) está vacío, entonces por el principio de ordenamiento bien (Teorema 1.7),\(ν(S)\) tiene un elemento más pequeño. Dejar\(a\) ser uno de los elementos en\(S\) que minimizan\(ν(S)\).

Así tenemos

\[a = u \prod_{i=1}^{r} p_{i} = u' \prod_{i=1}^{r} p'_{i} \nonumber\]

donde al menos algunos de los\(p_{i}\) y\(p'_{i}\) no coinciden. Aquí,\(u\) y\(u'\) son unidades. Claramente,\(p_{1}\) divide\(a\). Por Corolario 2.12,\(p_{1}\) equivale a uno de los\(p'_{i}\), digamos,\(p'_{1}\). Dado que los primos no son unidades,\(N(\frac{a}{p_{1}})\) es estrictamente menor que\(N(a)\). Por lo tanto, por hipótesis,\(\frac{a}{p_{1}}\) es singularmente factorizable. Pero entonces entonces, los primos en

\[\frac{a}{p_{1}} = u \prod_{i=2}^{r} p_{i} = u' \prod_{i=2}^{r} p'_{i} \nonumber\]

todos coinciden (hasta unidades).