4.1: Funciones multiplicativas

Definición 4.1

Las funciones teóricas numéricas o las funciones o secuencias aritméticas son funciones definidas en los enteros positivos (es decir\(\mathbb{N}\)) con valores en\(\mathbb{C}\).

Tenga en cuenta que en otras áreas de las matemáticas, la secuencia de palabras es el único término comúnmente utilizado. Utilizaremos estos términos indistintamente.

Definición 4.2

Una función multiplicativa es una secuencia tal que\(\gcd (a, b) = 1\) implica\(f(ab) = f(a)f(b)\). Una función completamente multiplicativa es aquella donde se encuentra la condición que no\(\gcd(a, b) = 1\) se necesita.

Obsérvese que completamente multiplicativo implica multiplicativo (pero no al revés). La razón por la que esta definición es interesante, es que nos permite evaluar el valor de una función multiplicativa\(f\) en cualquier entero siempre y cuando podamos calcular\(f(p^k)\) para cualquier primo\(p\). En efecto, utilizando el teorema fundamental de la aritmética,

\[\begin{array} {cccc} {\mbox{if}}&{n = \prod_{i=1}^{r} p_{i}^{l_{i}}}&{\mbox{then}}&{f(n) = \prod_{i=1}^{r} f(p_{i}^{l_{i}})} \end{array} \nonumber\]

como se desprende inmediatamente de la Definición 4.2.

Proposición 4.3

Dejar\(f\) ser una función multiplicativa sobre los enteros. Entonces

\[F(n) = \sum_{d | n} f(d) \nonumber\]

también es multiplicativo.

Prueba

Vamos\(n = \prod^{r}_{i=1} p_{i}^{l_{i}}\). La suma se\(\sum_{d | n} f(d)\) puede escribir usando el lema anterior y el hecho de que\(f\) es multiplicativo:

\[F(n) = \sum_{a_{1} = 0}^{l_{1}} \cdots \sum_{a_{r} = 0}^{l_{r}} f(p_{1}^{a_{1}}) \cdots f(p_{r}^{a_{r}}) \nonumber\]

\[= \prod_{i=1}^{r} (\sum_{a_{i} = 0}^{l_{i}} f(p_{i}^{a_{i}})) \nonumber\]

Ahora vamos\(a\) y\(b\) dos enteros mayores que\(1\) y tal que\(\gcd (a, b) = 1\) y\(ab = n\). Luego por el Teorema de Factorización Único\(a\) y se\(b\) puede escribir como:

\[\begin{array}{ccc} {a = \prod_{i=1}^{r} p_{i}^{l_{i}}}&{\mbox{and}}&{b = \prod_{i=r+1}^{s} p_{i}^{l_{i}}} \nonumber \end{array}\]

Aplicando el cómputo anterior\(a\) y\(b\) arroja eso\(f(a) f(b) = f(n)\).

Quizás las funciones multiplicativas más simples son aquellas en las que\(f(n) = n^k\) para algunos fijos\(k\). Efectivamente,\(f(n)f(m) = n^{k}m^{k} = f(nm)\). De hecho, esta es una función completamente multiplicativa.

Definición 4.4

Vamos\(k \in \mathbb{R}\). La función multiplicativa\(\sigma_{k} : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\) da la suma de la k-ésima potencia de los divisores positivos de\(n\). Equivalentemente:

\[\sigma_{k}(n) = \sum_{d |n} d^{k} \nonumber\]

Obsérvese que la multiplicatividad de\(\sigma_k\) sigue directamente de la Proposición 4.3. Los casos especiales son cuándo\(k=1\) y\(k=0\). En el primer caso, la función es simplemente la suma de los divisores positivos y generalmente se baja el subíndice '1'. Cuando\(k = 0\), se suele llamar a la función\(\tau\), y el valor de la función es el número de divisores positivos de su argumento.

Teorema 4.5

Vamos\(n = \prod^{r}_{i=1} p_{i}^{l_{i}}\) donde\(p_{i}\) están los primos. Entonces para\(k \ne 0\)

\[\sigma_{k} (n) = \prod^{r}_{i=1} (\frac{p_{i}^{k(l_{i}+1)}-1}{p_{i}^{k}-1}) \nonumber\]

mientras que para\(k = 0\)

\[\sigma_{0} (n) = \tau (n) = \prod^{r}_{i=1} (l_{i}+1) \nonumber\]

Prueba

Por la Proposición 4.3,\(\sigma_{k} (n)\) es multiplicativa, por lo que es suficiente para computar para algunos primos\(p\)

\[\sigma_{k} (p^l) = \sum_{i=0}^{l} p_{i}^{ik} = \frac{p^{k(l+1)}-1}{p^{k}-1}) \nonumber\]

Por lo tanto,\(\sigma_{k} (n)\) es efectivamente un producto de estos términos.

Sin embargo, hay otras funciones multiplicativas interesantes al lado de las potencias de los divisores. La función Mobius que se define a continuación es una de estas, como veremos.

Definición 4.6

La función Mobius\(\mu: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) viene dada por:

\[\mu (n) = \left \{ \begin{array} {ccc} {1}&{\mbox{if}}&{n=1}\\ {0}&{\mbox{if}}&{\exists p > 1 \mbox{ prime with } p^2 | n}\\ {(-1)^r}&{\mbox{if}}&{n = p_{1} \cdots p_{r} \mbox{ and } p_{i} \mbox{ are distinct primes }} \end{array} \right . \nonumber\]

Definición 4.7

Decimos que n es cuadrado libre si no hay primo\(p\) tal que\(p^2 | n\).

Lema 4.8

La función Mobius\(\mu\) es multiplicativa.

Prueba

Por factorización única, se nos permite asumir que

\[\begin{array} {ccccc} {n=ab}&{\mbox{where}}&{a = \prod_{i=1}^{r} p_{i}^{l_{i}}}&{and}&{b = \prod_{i=r+1}^{s} p_{i}^{l_{i}}} \end{array} \nonumber\]

Si\(a\) es igual\(1\), entonces\(\mu (ab) = \mu (a) \mu (b) = 1 \mu (b)\), y similar si\(b = 1\). Si cualquiera\(a\) o no\(b\) es cuadrado libre, entonces tampoco lo es\(n = ab\), y así en ese caso, nuevamente tenemos\(\mu (ab) = \mu (a) \mu (b) = 0\). Si ambos\(a\) y\(b\) están libres de cuadrados, entonces\(r\) (en la definición de\(\mu\)) es estrictamente aditivo y así lo\((-1)^r\) es estrictamente multiplicativo, de ahí multiplicativo.

Definición 4.9

La función phi de Euler, también llamada función totiente de Euler se define de la siguiente manera:\(\phi (n)\) es igual al número de enteros en los\(\{1, \cdots n\}\) que son primos relativos a\(n\).