4.6: Ejercicio

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Decidir qué funciones no son multiplicativas, multiplicativas o completamente multiplicativas (ver Definición 4.2).

1. \(f(n) = 1\).
2. \(f(n) = 2\).
3. \(f(n) = \sum_{i=1}^{n} i\).
4. \(f(n) = \prod_{i=1}^{n} i\).
5. \(f(n) = n\).
6. \(f(n) = nk\).
7. \(f(n) = \sum_{d|n} d\).
8. \(f(n) = \prod_{d|n} d\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

1. Que\(h(n) = 0\) cuando\(n\) es par, y\(1\) cuando\(n\) es impar. Demostrar que\(h\) es multiplicativo.
2. Ahora vamos\(H(n) = \sum_{d|n} h(d)\). Mostrar sin usar la Proposición 4.3 que\(H\) es multiplicativa. (Pista: escribir\(a = 2^{k} \prod_{i=1}^{r} p_{i}^{l_{i}}\) por factorización única, donde los\(p_{i}\) son primos impares. De manera similar para b.)
3. ¿Qué dice la Proposición 4.3?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

1. Calcular los números\(\sigma_{1} (n) = \sigma (n)\) de Definición4.4 para\(n \in \{1, \cdots , 30\}\) sin usar Teorema 4.5.
2. ¿Cuál es el único valor\(n\) para el cual\(\sigma (n) = n\)?
3. Demuestre que\(\sigma (p) = p+1\) cuando\(p\) sea prime.
4. Uso (c) y multiplicatividad de\(\sigma\) para verificar la lista obtenida en (a).
5. ¿Para qué valores de\(n\) en la lista de (a) es\(n | \sigma (n)\)? (Pista: 6 y 28.)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

1. Calcular los números\(\sigma_{0} (n) = \tau (n)\) de Definición 4.4 para\(n \in \{1, \cdots , 30\}\) sin usar Teorema 4.5.
2. ¿Cuál es el único valor\(n\) para el cual\(\tau (n) = 1\)?
3. Demuestre que\(\tau (p) = 2\) cuando\(p\) sea prime.
4. Uso (c) y multiplicatividad de\(\tau\) para verificar la lista obtenida en (a).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

1. Calcular los números\(\varphi\) de Definición 4.9 para\(n \in \{1, \cdots , 30\}\) sin usar Teorema 4.16.
2. ¿Qué es\(\varphi (p)\) cuando\(p\) es un prime?
3. ¿Cuántos números positivos menores que no\(pn\) son divisibles por\(p\)?
4. Uso (c) y multiplicatividad de\(\varphi\) para verificar la lista obtenida en (a).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

1. Calcular los números\(\mu (n)\) de Definición 4.6 para\(n \in \{1, \cdots , 30\}\).
2. ¿Qué es\(\mu (p)\) cuando\(p\) es un prime?
3. Uso (c) y multiplicatividad de\(\mu\) para verificar la lista obtenida en (a).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Dejar\(\tau (n)\) ser el número de divisores positivos distintos de\(n\). Responde la siguiente pregunta sin usar el Teorema 4.5.

1. Demostrar que\(\tau\) es multiplicativo.
2. Si\(p\) es primo, demuéstralo\(\tau (p^k) = k+1\).
3. Utilice el teorema de factorización único, para encontrar una expresión para\(\tau (n)\) for\(n \in \mathbb{N}\).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Dos enteros positivos\(a\) y\(b\) se llaman amistosos si\(\sigma (a)= \sigma (b) = a+b\). El par más pequeño de números amistosos está formado por\(220\) y\(284\).

1. Usa el Teorema 4.5 para\(220\) demostrarlo y\(284\) son amigables.
2. Lo mismo para\(1184\) y\(1210\).

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Un entero positivo\(n\) se llama perfecto if\(\sigma (n) = 2n\).

1. Mostrar que\(n\) es perfecto si y sólo si la suma de sus divisores positivos\(n\) es menor que igual\(n\).
2. Demuestre que si\(p\) y\(2^{p}-1\) son primos, entonces\(n = 2^{p-1}(2^{p}-1)\) es perfecto. (Pista: usar Teorema 4.5 y ejercicio 4.3 (c).)
3. Usa el ejercicio 1.14 para mostrar que si\(2^{p}-1\) es primo, entonces\(p\) es primo, y así\(n = 2^{p-1} (2^{p}-1)\) es perfecto.
4. Comprobar que esto sea congruente con la lista en el ejercicio 4.3.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Dibuja la siguiente gráfica dirigida\(G\): el conjunto de vértices\(V\) representan\(0\) y los números naturales entre\(1\) y\(50\). Para\(a, b \in V\),\(ab\) existe un borde dirigido si\(\sigma (a)-a = b\). Finalmente, agregue un bucle en el vértice que representa\(0\). Observe que cada vértice tiene borde\(1\) saliente, pero puede tener más que borde\(1\) entrante.

1. Encuentra los ciclos de longitud\(1\) (bucles). El distinto de cero de estos representa números perfectos.
2. Encuentra los ciclos de duración\(2\) (si los hay). Un par de números\(a\) y\(b\) que forman un ciclo de duración\(2\) se denominan números amistosos. Así para tal par,\(\sigma (b)-b = a\) y\(\sigma (a)-a = b\).
3. Encuentra ciclos más largos. Los números representados por vértices en ciclos más largos se denominan números sociables.
4. Encuentra números cuyo camino termina en un ciclo de longitud\(1\). A estos se les llama aspirantes a números.
5. Encuentra números (si los hay) que no tengan borde entrante. A estos se les llama números intocables.
6. Determinar los caminos a partir de\(2193\) y en\(562\). (Pista: ambos terminan en un ciclo (o bucle).)

Una ruta a través de esta gráfica se denomina secuencia alícuota. La llamada conjetura catalán-Dickson dice que cada secuencia alícuota termina en algún ciclo (o bucle) finito. Sin embargo, incluso para un número relativamente pequeño como el 276, se desconoce (en 2017) si su secuencia de alícuotas termina en un ciclo.

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

En este ejercicio, damos una prueba diferente del Teorema 4.16. Utiliza el principio de inclusión-exclusión [21]. Lo declaramos aquí para su completitud. Let\(S\) Ser un conjunto finito con subconjuntos\(A_{1}, A_{2}\), y así sucesivamente a través\(A_{r}\). Entonces, si denotamos la cardinalidad de un conjunto\(A\) por\(|A|\),

\[|S- \bigcup_{i=1}^{r} A_{i}| = |S|-|S_{1}|+|S_{2}|-\cdots+(-1)^{r}|S_{r}| \nonumber\]

donde\(|S_{l}|\) es la suma de los tamaños de todas las intersecciones de\(l\) los miembros de\(\{A_{1}, \cdots, A_{r}\}\).

Ahora bien, en lo siguiente nos mantenemos con las siguientes convenciones. Usando la factorización prima, escriba

\[n = \prod_{i=1}^{r} p_{i}^{k_{i}} \nonumber\]

\[A_{i} = \{z \in S | p_{i} \mbox{ divides } z\} \nonumber\]

\[S = \{1, 2 \cdots n\} \mbox{ and } R = \{1,2 \cdots r\} \nonumber\]

\[ I_{l} \subseteq R \mbox{ such that } |I_{l}| = l \nonumber\]

1. \(\varphi (n) = |S-\bigcup_{i=1}^{r} A_{i}\)Demuéstralo. (Pista: cualquier número que no sea coprimo con\(n\) es un múltiplo de al menos uno de los\(p_{i}\).)
2. Demostrar que\(|A_{i}| = \frac{n}{p_{i}}\)
3. \(|\bigcap_{i \in I_{l}} A_{i}| = n \prod_{i \in I_{l}} \frac{1}{p_{i}}\)Demuéstralo. (Pista: use Corolario 3.7.)
4. Muestralo\(|S_{l}| = n \sum_{I_{l} \subseteq R} \prod_{i \in I_{l}} \frac{1}{p_{i}}\).
5. Demostrar que el principio de inclusión-exclusión implica eso\(|S-\bigcup_{i=1}^{r} A_{i}| = n+n \sum_{l=1}^{r} (-1)^{l} \sum_{I_{l} \subseteq R} \prod_{i \in I_{l}} \frac{1}{p_{i}}\).
6. \(n+n \sum_{l=1}^{r} (-1)^{l} \sum_{I_{l} \subseteq R} \prod_{i \in I_{l}} \frac{1}{p_{i}} = n \prod_{i=1}^{r} (1-\frac{1}{p_{i}})\)Demuéstralo. Observe que esto implica Teorema 4.16. (Pista: escribir el producto\(\prod_{i=1}^{r} (1-\frac{1}{p_{i}})\).)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Vamos\(F(n) = n = \sum_{d|n} f(n)\). Usa la fórmula de inversión de Mobius (o\(f(n) = \sum_{d|n} \mu (d) F(\frac{n}{d})\)) para encontrar\(f(n)\). (Pista: sustituir la función Mobius de la Definición 4.6 y utilizar la multiplicatividad cuando sea necesario.)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

1. Calcular los conjuntos\(S_{n}\) y\(T_{n}\) de Lema 4.13 explícitamente para\(n = 4\) y\(n = 12\).
2. Realizar la reanudación realizada en las ecuaciones 4.1 y 4.2 explícitamente para\(n = 4\) y\(n = 12\).

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Recordemos la definición de la convolución\(f \ast g\) de Dirichlet de las funciones aritméticas\(f\) y\(g\). (Definición 4.18)

1. Demostrar que la convolución de Dirichlet es conmutativa, es decir\[f \ast g = g \ast f \nonumber\]
2. Demostrar que la convolución de Dirichlet es asociativa, es decir\[(f \ast g) \ast h = g \ast (f \ast h) \nonumber\]
3. Demostrar que la convolución de Dirichlet es distributiva, es decir\[(f \ast (g+h) = f \ast g + f \ast h) \nonumber\]
4. La operación binaria Convolución de Dirichlet tiene una identidad\(\epsilon\), definida por\[f \ast \epsilon = \epsilon \ast f = f \nonumber\] Mostrar que la función\(\epsilon\) de Lemma 4.12 es la identidad de la convolución.

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Utilice el ejercicio 4.14 para acreditar lo siguiente:

1. Mostrar que la convolución de Dirichlet de dos funciones multiplicativas es multiplicativa.
2. Mostrar que la suma de dos funciones multiplicativas no es necesariamente multiplicativa. (Pista:\(\epsilon+\epsilon\)).

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Ver Definición 4.11. Definr\(f(n) \equiv \tau (n^2)\) y\(g(n) \equiv 2^{\omega (n)}\)

1. Calcular\(\omega(n), f(n),\) y\(g(n)\) para\(n\) iguales\(10^n\) y\(6!\).
2. Para\(p\) prime, demuéstralo\(\tau (p^{2k}) = \sum_{d|p^k} 2^{\omega(d)} = 2k+1\). (Pista: use Teorema 4.5.)
3. Demostrar que\(f\) es multiplicativo. (Pista: uso que\(\tau\) es multiplicativo.)
4. Utilice (d) para mostrar que\(g\) es multiplicativo.
5. Demostrar que\[\tau (n^{2}) = \sum_{d|n} 2^{\omega(d)} \nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Vamos a\(S(n)\) denotar el número de divisores libres de\(n\) with\(S(1) = 1\) y\(\omega(n)\) el número de divisores primos distintos de\(n\). Ver también Definición 4.11.

1. \(S(n) = \sum_{d|n} |\mu(d)|\)Demuéstralo. (Pista: usar definición 4.6)
2. \(S(n) = 2^{\omega(n)}\)Demuéstralo. (Pista: deja\(W\) ser el conjunto de divisores primos de\(n\). Entonces cada divisor libre cuadrado corresponde a un subconjunto -producto- de esos primos. ¿Cuántos subconjuntos de primos hay en\(W\)?)
3. Concluir que\[\sum_{d|n} |\mu (d)| = 2^{\omega(n)} \nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Definir la\(\lambda\) función Liouville por\(\lambda (1) = 1\) y\(\lambda (n) = (-1)^{\Omega(n)}\).

1. Cómputos\(\lambda (10n)\) y\(\lambda (6!)\).
2. Demostrar que\(\lambda\) es multiplicativo. (Pista:\(\Omega(n)\) es completamente aditiva.)
3. Utilice la Proposición 4.3 para mostrar que\(F(n) = \sum_{d|n} \lambda (d)\) es multiplicativo.
4. Para\(p\) prime, muestra\[\sum_{d|p^k} \lambda (d) = \sum_{i=0}^{k} (-1)^i \nonumber\] lo que equivale a\(1\) si\(k\) es par y\(0\) si\(k\) es impar.
5. Utilice los incisos c) y d) para concluir que\[F(n) = \sum_{d|n} \lambda (d)= \left \{ \begin{array} {cc} {1}&{\mbox{if } n = m^2}\\ {0}&{\mbox{else}} \end{array} \right. \nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

Dejar\(f\) ser una función multiplicativa.
Definir\(q(n) \equiv \sum_{d|n} \mu (d)f(d)\), dónde\(\mu\) está la función Mobius.

1. \(f(1)=1\)Demuéstralo.
2. Demostrar que\(f \mu\) (su producto) es multiplicativo.
3. Utilice la Proposición 4.3 para mostrar que\(q(n)\) es multiplicativo.
4. Demuestre que si\(p\) es primo, entonces\(q(p^k) = f(1)-f(p) = 1-f(p)\).
5. Utilice (c) y (d) para demostrar que\[q(n) = \sum_{d|n} \mu (d) f(d)= \prod_{p prime, p|n} (1-f(p)) \nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

Utilice el ejercicio 4.19 (e) y la definición de\(\omega\) en el ejercicio 4.16 y\(\lambda\) en el ejercicio 4.18 para demostrar que

\[\sum_{d|n} \mu (d) \lambda (d) = 2 \omega (n) \nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

1. Demuéstralo para todos\(n \in \mathbb{N}, \mu (n) \mu (n+1) \mu (n+2) \mu (n+3)= 0\). (Pista: divisibilidad por 4.)
2. Demostrar que para cualquier entero\(n \ge 3\),\(\sum^{n}_{k = 1} \mu (k!) = 1\). (Pista: use (a).)

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

1. Utilice la fórmula del producto de Euler y la secuencia\(\mu\) de la Definición 4.6 para demostrar que\[\frac{1}{\zeta (s)} = \prod_{p prime} (1-p^{-s}) = \prod_{p prime} (\sum_{i \ge 0} \mu (p^{i})p^{-is} \nonumber\]
2. Sin usar la ecuación (4.7), demostrar que la expresión en (a) es igual\(\sum_{n \ge 1} \mu (n) n^{-s}\). (Pista: dado que\(\mu\) es multiplicativo, puede escribir una prueba reordenando términos como en la primera prueba de la fórmula del producto de Euler.)

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

1. Usa la ecuación (4.8) para mostrar que\[\zeta (s-1) = \sum_{a \ge 1} \frac{a}{a^s} \sum_{b \ge 1} \frac{\mu (b)}{b^s} \nonumber\]
2. Usa Lema 4.23 y la primera igualdad de ecuación (4.3) para demostrar que\[\frac{\zeta (s-1)}{\zeta (s)} = \sum_{n \ge 1} \varphi (n^s) \nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

1. Usa el Corolario 4.22 para demostrar que\[\zeta (s-k) = \sum_{a \ge 1} \frac{\sigma_{k} (a)}{a^s} \sum_{b \ge 1} \frac{\mu (b)}{b^s} \nonumber\]
2. Mostrar que\[\zeta (s-k) = \sum_{n \ge 1} (\sigma_{k} \ast \mu) (n) n^{-s} \nonumber\] donde\(\ast\) significa la convolución de Dirichlet (Definición 4.18).