5.3: Permutación matricial, bloques e imágenes

También es útil, a veces, reorganizar las filas y columnas de una matriz para que podamos ver patrones con mayor claridad. Al desplazar filas y columnas (si quieres reorganizar las filas, debes reorganizar las columnas de la misma manera, o la matriz no tendrá sentido para la mayoría de las operaciones) se llama “permutación” de la matriz.

Nuestros datos originales se parecen a la Figura 5.6:

	Bob	Carol	Ted	Alice
Bob	—	1	1	0
Carol	0	—	1	0
Ted	1	1	—	1
Alice	0	0	1	—

Figura 5.6. Matriz asimétrica de adyacencia

Reorganicemos (permutemos) esto para que los dos machos y las dos hembras queden adyacentes en la matriz. La permutación matricial (Data>Permutar) significa simplemente cambiar el orden de las filas y columnas. Dado que la matriz es simétrica, si cambio la posición de una fila, también debo cambiar la posición de la columna correspondiente. El resultado se muestra en la Figura 5.7.

	Bob	Ted	Carol	Alice
Bob	—	1	1	0
Ted	1	—	1	1
Carol	0	1	—	0
Alice	0	1	0	—

Figura 5.7. Matriz permutada

Ninguno de los elementos ha tenido sus valores cambiados por esta operación o reordenando las filas y columnas, acabamos de cambiar las cosas. También hemos resaltado algunas secciones de la matriz. Cada sección coloreada se conoce como un bloque. Los bloques se forman pasando líneas divisorias a través de las filas y columnas de la matriz (por ejemplo, entre Ted y Carol). Pasar estas líneas divisorias a través de la matriz se llama particionar la matriz. Aquí hemos particionado por el actor por su sexo. La partición también se llama a veces “bloquear la matriz”, porque la partición produce bloques.

Este tipo de agrupación de células a menudo se realiza en el análisis de redes para comprender cómo algunos conjuntos de actores están “incrustados” en roles sociales o en entidades más grandes. Aquí, por ejemplo, podemos ver que todos los ocupantes del rol social “masculino” se eligen entre sí como amigos; ninguna hembra se elige entre sí como amigas, y que los machos tienen más probabilidades de elegir mujeres (se seleccionan 3 de cada 4 posibilidades) que las hembras para elegir machos (solo 2 de 4 posibles opciones). Hemos agrupado a los machos para crear una “partición” o “súper nodo” o “rol social” o “bloque”. A menudo particionamos matrices de redes sociales de esta manera para identificar y probar ideas sobre cómo los actores están “incrustados” en roles sociales u otros “contextos”.

Es posible que deseemos prescindir de los nodos individuales por completo, y examinar solo las posiciones o roles. Si calculamos la proporción de todos los lazos dentro de un bloque que están presentes, podemos crear una matriz de densidad de bloques. Al hacer esto, hemos ignorado las relaciones de uno mismo en la Figura 5.8.

	Macho	Hembra
Macho	1.00	0.75
Hembra	0.50	0.00

Figura 5.8. Matriz de densidad de bloques

Es posible que deseemos resumir la información aún más mediante el uso de imagen de bloque o matriz de imagen. Si la densidad en un bloque es mayor que alguna cantidad (a menudo usamos la densidad promedio para toda la matriz como puntaje de corte, en el ejemplo actual la densidad es .58), ingresamos un “1" en una celda de la matriz bloqueada, y un “0" en caso contrario. Este tipo de simplificación se llama la “imagen” de la matriz bloqueada, como en la Figura 5.9.

	Macho	Hembra
Macho	1	1
Hembra	0	0

Figura 5.9. Matriz de imagen de datos bloqueados por sexo, usando densidad media global como corte

Las imágenes de matrices bloqueadas son herramientas poderosas para simplificar la presentación de patrones complejos de datos. Al igual que cualquier procedimiento de simplificación, se debe utilizar el buen juicio para decidir cómo bloquear y qué cortes usar para crear imágenes, o podemos perder información importante.

UCINET incluye herramientas que hacen que permutar y bloquear matrices sea bastante fácil.

Transform>Block permite seleccionar una matriz a bloquear, una partición de fila y/o columna, y un método para calcular las entradas en el bloques resultantes.

Para usar este comando, primero debe crear archivos separados que describan la partición de fila y la partición de columna. Estos archivos son simplemente vectores (ya sea una fila, o una columna) que identifican qué actores van a caer en qué partición. Por ejemplo, si los actores 1, 2 y 5 formaran el grupo A, y los actores 3 y 4 formaran el grupo B, mi conjunto de datos de partición de columna diría: 1 1 2 2 1. Estas particiones o bloques son simplemente archivos de datos UCINET regulares con una fila o una columna.

El comando pide un método para resumir la información dentro de cada bloque. Puedes tomar el promedio de los valores en el bloque (si los datos son binarios, tomar el promedio es lo mismo que calcular la densidad), sumar los valores en el bloque, seleccionar el valor más alto o el valor más bajo, o seleccionar una medida de la cantidad de variación entre las puntuaciones en el bloque, ya sea las sumas de cuadrados o la desviación estándar.

El comando genera dos nuevas matrices. El conjunto de datos “PreImage” contiene las puntuaciones originales, pero permutadas; el “Conjunto de datos de imagen reducida” contiene una nueva matriz de bloques que contiene las densidades de bloque.

Transform>Colapsar le permite combinar filas y/o columnas especificando (las instrucciones detalladas se dan en la ventana de comandos) que los elementos se van a combinar, y cómo. Podríamos seleccionar, por ejemplo, combinar las columnas 1, 2 y 5, y las filas 1, 2 y 5 tomando el promedio de los valores (también podríamos seleccionar el máximo, mínimo o suma). El comando crea una nueva matriz que ha contraído las filas o columnas deseadas utilizando la operación de resumen seleccionada.

El menú de datos también te brinda algunas herramientas para este tipo de trabajo:

Datos>Permute le permite reorganizar las filas y/o columnas y/o matrices (si su conjunto de datos contiene múltiples matrices que representan relaciones múltiples, como las burocracias Knoke “información” y las relaciones de “dinero”). Simplemente especifica el nuevo orden con una lista. Si quisiera agrupar las filas 1, 2 y 5 para que fueran nuevas filas 1, 2 y 3; y las filas 3 y 4 para que fueran nuevas filas 4 y 5, entraría 1 2 4 5 3.

Datos>Sort reorganiza las filas, columnas o ambas de la matriz según un criterio que seleccione. Si sus datos son valorados (es decir, representan la fuerza de empate) es posible que desee ordenar las filas y columnas en orden ascendente o descendente (esto también podría tener sentido para los datos binarios). Si quieres una ordenación más complicada (digamos “todos los 3's primero, luego todos los 1's, luego todos los 2's) puedes usar un archivo de datos UCINET externo para especificar esto como un vector (es decir, el conjunto de datos solo sería: 3 1 2).

Datos>Transpose reorganiza los datos de una manera que se usa muy comúnmente en álgebra matricial, tomando la “transposición”. Una transposición es, muy simple, cambiar las filas y columnas de una matriz entre sí.