12.3: Definición de equivalencia o similitud

¿Qué queremos decir cuando decimos que dos actores tienen patrones de relaciones “similares”, y de ahí que ambos sean miembros del mismo rol o posición social? Los analistas de redes definen más ampliamente dos nodos (u otras estructuras más elaboradas) como similares si caen en la misma “clase de equivalencia”. Francamente, eso no es una ayuda inmediata. Pero sí dice que hay algo que nos haría decir que dos actores (u otras estructuras) son miembros de una “clase” que es diferente de otras “clases”.

Ahora se convierte en cuestión de qué rasgos de la posición de un actor los colocan en una “clase” con otros actores? ¿De qué manera son “equivalentes”?

Hay muchas maneras en que los actores podrían definirse como “equivalentes” en función de sus relaciones con los demás. Por ejemplo, podríamos crear dos “clases de equivalencia” de actores con out-degree of zero, y actores con out-degree de más de cero. De hecho, un gran número de los algoritmos que hemos examinado agrupan conjuntos de actores en categorías basadas en algunos puntos en común en sus posiciones en gráficas.

Tres definiciones particulares de “equivalencia” han sido particularmente útiles para aplicar la teoría gráfica a la comprensión de “roles sociales” y “posiciones estructurales”. Los veremos en los siguientes tres apartados sobre “equivalencia estructural”, “equivalencia automórfica” y “equivalencia regular”. De estos, el “automórfico” rara vez se ha utilizado en trabajos sustantivos.

Las ideas básicas de estos tres tipos de equivalencia se ilustran fácilmente con una gráfica simple (desarrollada por Wasserman y Fausto). Consideremos la Figura 12.1, una gráfica simple de las relaciones entre nueve actores “A” a “I”.

Figura 12.1: Red Wasserman-Fausto para ilustrar clases de equivalencia

Esta gráfica proporciona ejemplos particularmente claros de cómo difieren la equivalencia estructural, automórfica y regular. Veamos con más detalle estas ideas, comenzando por la noción más restrictiva de lo que significa para los actores ser equivalentes.

Equivalencia estructural

Se dice que dos nodos son exactamente equivalentes estructuralmente si tienen las mismas relaciones con todos los demás nodos. La equivalencia estructural es fácil de entender (aunque puede operacionalizarse de varias maneras) porque es muy específica: dos actores deben ser exactamente sustituibles para ser estructuralmente equivalentes.

En la Figura\(\PageIndex{1}\), hay siete “clases de equivalencia estructural”. ¿Los puedes encontrar?

• No hay actor que tenga exactamente el mismo conjunto de vínculos que el actor A (vínculos con B, C y D), por lo que el actor A está en una clase por sí mismo.
• Lo mismo ocurre con los actores B, C y D. Cada uno de estos actores tiene un conjunto único de vínculos con los demás, por lo que forman tres clases, cada una con un miembro.
• E y F, sin embargo, caen en la misma clase de equivalencia estructural. Cada uno tiene un solo empate; y ese vínculo es con el actor B. Dado que E y F tienen exactamente el mismo patrón de vínculos con todos los demás actores, son estructuralmente equivalentes.
• El actor G, de nuevo, está en una clase por sí mismo. Su perfil de vínculos con los otros nodos del diagrama es único.
• Por último, los actores H y yo caen en la misma clase de equivalencia estructural. Es decir, tienen exactamente el mismo patrón de vínculos con todos los demás actores.

Los actores que son estructuralmente equivalentes están en “posiciones” idénticas en la estructura del diagrama. Cualesquiera que sean las oportunidades y limitaciones que operen en un miembro de una clase también están presentes para los demás. Los nodos en una clase de equivalencia estructural están, en cierto sentido, en la misma posición con respecto a todos los demás actores.

Debido a que es probable que la equivalencia estructural exacta sea rara (particularmente en redes grandes), a menudo nos interesa examinar el grado de equivalencia estructural, más que la simple presencia o ausencia de equivalencia exacta.

La equivalencia estructural es la forma de equivalencia “más fuerte” que suelen considerar los analistas de redes. Si ablandamos un poco los requisitos, a menudo podemos encontrar algunos otros patrones interesantes de equivalencia.

Equivalencia Automórfica

La idea de equivalencia estructural es poderosa porque identifica actores que tienen la misma posición, o que son completamente sustituibles. Pero, incluso intuitivamente, probablemente puedas imaginar otras definiciones “menos estrictas” de lo que significa que dos actores sean similares o equivalentes.

Supongamos que la gráfica de la Figura\(\PageIndex{1}\) describiera un grupo franquiciado de hamburgueserías. El actor A es la sede central, los actores B, C y D son los gerentes de tres tiendas diferentes. Los actores E y F son trabajadores en una tienda; G es el trabajador solitario en una segunda tienda; H y yo somos trabajadores en la tercera tienda.

A pesar de que el actor B y el actor D no son estructuralmente equivalentes (tienen el mismo jefe, pero no los mismos trabajadores), sí parecen ser “equivalentes” en un sentido diferente. Tanto el gerente B como el gerente D reportan a un jefe (en este caso, el mismo jefe), y cada uno tiene exactamente dos trabajadores. Se trata de personas diferentes, pero los dos directivos parecen de alguna manera equivalentes. Si los cambiáramos, y también cambiáramos a los cuatro trabajadores, todas las distancias entre todos los actores de la gráfica serían exactamente idénticas. De hecho, los actores B y D forman una clase de equivalencia “automórfica”.

En la Figura\(\PageIndex{1}\), en realidad hay cinco clases de equivalencia automórfica: {A}, {B, D}, {C}, {E, F, H, I}, y {G}. Estas clases son agrupaciones cuyos miembros permanecerían a la misma distancia de todos los demás actores si fueran intercambiados, y, también se intercambiaron miembros de otras clases.

La idea de equivalencia automórfica es que conjuntos de actores pueden ser equivalentes al estar incrustados en estructuras locales que tienen los mismos patrones de lazos: estructuras “paralelas”. Poblaciones a gran escala de actores sociales (tal vez como las cadenas de hamburgueserías) pueden exhibir gran parte de este tipo de “replicación estructural”. Las caras son diferentes, pero las estructuras son idénticas.

Obsérvese que la definición menos estricta de “equivalencia” había reducido el número de clases. Si estamos dispuestos a dar un paso importante más allá, podemos reducir aún más la complejidad.

Equivalencia Regular

Se dice que dos nodos son regularmente equivalentes si tienen el mismo perfil de vínculos con otros conjuntos de actores que también son regularmente equivalentes. Esta es una forma complicada de decir algo que reconocemos intuitivamente.

Dos madres, por ejemplo, son “equivalentes” porque cada una tiene un cierto patrón de vínculos con un esposo, hijos y suegros (por un ejemplo, pero uno que es muy culturalmente relativo). Las dos madres no tienen vínculos con el mismo esposo (generalmente) ni con los mismos hijos o suegros. Es decir, no son “estructuralmente equivalentes”. Debido a que diferentes madres pueden tener diferentes números de maridos, hijos y suegros, no serán automorfícamente equivalentes. Pero son similares porque tienen las mismas relaciones con algún miembro o miembros de otro conjunto de actores (que a su vez son considerados como equivalentes por la similitud de sus vínculos con un miembro del conjunto “madre”).

Esta es una noción obvia, pero crítica. Los conjuntos de equivalencias regulares describen los “roles sociales” que son los pilares básicos de todas las instituciones sociales. Actores que regularmente equivalen a no caer necesariamente en las mismas posiciones o ubicaciones de la red con respecto a otros actores individuales; más bien, tienen el mismo tipo de relaciones con algunos miembros de otros conjuntos de actores.

En la Figura\(\PageIndex{1}\), hay tres clases de equivalencia regular. El primero es el actor A; el segundo está integrado por los tres actores B, C y D; el tercero está compuesto por los cinco actores restantes E, F, G, H e I.

La clase más fácil de ver es la dar actores a través de la parte inferior de la figura (E, F, G, H e I). Estos actores son regularmente equivalentes entre sí porque a) no tienen ningún vínculo con ningún actor de primera clase (es decir, con el actor A) y b) cada uno tiene un vínculo con un actor de segunda clase (ya sea B, C o D). Cada uno de los cinco actores, entonces, tiene un patrón idéntico de vínculos con actores de las otras clases.

Los actores B, C y D forman una clase porque a) tienen un vínculo con un miembro de la primera clase (es decir, con el actor A) y b) cada uno tiene un empate con un miembro de la tercera clase. B y D en realidad tienen vínculos con dos miembros de la tercera clase, mientras que el actor C tiene un empate con un solo miembro de la tercera clase; esto no importa, ya que hay un empate con algún miembro de la tercera clase.

El actor A está en una clase por sí mismo, definida por a) un vínculo con al menos un miembro de la clase dos y b) ningún vínculo con ningún miembro de la clase tres.

Al igual que con la equivalencia estructural y automórfica, la equivalencia regular exacta puede ser rara en una población grande con muchas clases de equivalencia. Sin embargo, la equivalencia regular aproximada puede ser muy significativa, porque llega a la noción de qué actores caen en qué roles sociales y cómo los roles sociales (no los ocupantes de roles) se relacionan entre sí.