14.1: Definición de equivalencia automórfica

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La equivalencia automórfica no exige tanto una definición de similitud como la equivalencia estructural, sino que es más exigente que la equivalencia regular. Existe una jerarquía de los tres conceptos de equivalencia: cualquier conjunto de equivalencias estructurales también son equivalencias automórficas y regulares. Cualquier conjunto de equivalencias automórficas también son equivalencias regulares. No todas las equivalencias regulares son necesariamente automórficas o estructurales; y no todas las equivalencias automórficas son necesariamente estructurales.

Formalmente “Dos vértices u y v de una gráfica etiquetada G son automorficamente equivalentes si todos los vértices se pueden volver a etiquetar para formar una gráfica isomórfica con las etiquetas de u y v intercambiadas. Dos vértices automorficamente equivalentes comparten exactamente las mismas propiedades independientes de la etiqueta”. (Borgatti, Everett, y Freeman, 1996:119).

De manera más intuitiva, los actores son automorficamente equivalentes si podemos permutar la gráfica de tal manera que el intercambio de los dos actores no tenga efecto en las distancias entre todos los actores de la gráfica. Si queremos evaluar si dos actores son automorficamente equivalentes, primero imaginamos intercambiar sus posiciones en la red. Entonces, miramos y vemos si, cambiando también a algunos otros actores, podemos crear una gráfica en la que todos los actores estén a la misma distancia que estaban el uno del otro en la gráfica original.

En el caso de la equivalencia estructural, dos actores son equivalentes si podemos intercambiarlos uno por uno, y no afectar ninguna propiedad de la gráfica. Los actores automorfícamente equivalentes son actores que se pueden intercambiar sin ningún efecto en la gráfica —dado que también se mueven otros actores. Si el concepto sigue siendo un poco difícil de entender en este punto, no se preocupe. Sigue leyendo, y luego regresa después de haber mirado algunos ejemplos.