3.1: ¿Qué son los Sistemas Dinámicos?

La teoría de sistemas dinámicos es la base misma de casi cualquier tipo de modelos basados en reglas de sistemas complejos. Considera que los sistemas de demostración cambian con el tiempo, no solo las propiedades estáticas de las observaciones. Un sistema dinámico puede definirse informalmente de la siguiente manera ¹:

Definición: Sistema Dinámico

Un sistema dinámico es un sistema cuyo estado se especifica de manera única por un conjunto de variables y cuyo comportamiento se describe mediante reglas predefinidas.

Ejemplos de sistemas dinámicos incluyen el crecimiento de la población, un péndulo oscilante, los movimientos de los cuerpos celestes y el comportamiento de individuos “racionales” que juegan un juego de negociación, por nombrar algunos. Los tres primeros ejemplos suenan legítimos, ya que esos son sistemas que suelen aparecer en los libros de texto de física. Pero ¿qué pasa con el último ejemplo? ¿Podría modelarse el comportamiento humano como un sistema dinámico determinista? La respuesta depende de cómo se formula el modelo utilizando supuestos relevantes. Si se asume que los individuos toman decisiones siempre de manera perfectamente racional, entonces el proceso de toma de decisiones se vuelve determinista, y por lo tanto las interacciones entre ellos pueden modelarse como un sistema dinámico determinista. Por supuesto, esto no garantiza si es un buen modelo o no; el supuesto tiene que ser evaluado críticamente con base en los criterios discutidos en el capítulo anterior.

De todos modos, los sistemas dinámicos pueden describirse a través de pasos de tiempo discretos o una línea de tiempo continua. Sus formulaciones matemáticas generales son las siguientes:

Definición: Sistema dinámico de tiempo discreto

\[x_t = F(x_{t−1},t) \label{3.1} \]

Este tipo de modelo se denomina ecuación de diferencia, ecuación de recurrencia o mapa iterativo (si no hay\(t\) en el lado derecho).

Definición: Sistema dinámico de tiempo continuo

\[\dfrac{dx}{dt}= F(x,t) \label{3.2} \]

Este tipo de modelo se denomina ecuación diferencial.

En cualquier caso,\(x_t\) o\(x\) es la variable de estado del sistema en el momento\(t\), que puede tomar un valor escalar o vectorial. \(F\)es una función que determina las reglas por las cuales el sistema cambia su estado a lo largo del tiempo. Las fórmulas dadas anteriormente son versiones de primer orden de sistemas dinámicos (es decir, las ecuaciones no involucran\(x_{t−2}\),\(x_{t−3}\),..., o\(d^2x/dt^2\),\(d^3x/dt^3\),...). Pero estas formas de primer orden son lo suficientemente generales como para cubrir todo tipo de dinámicas que son posibles en los sistemas dinámicos, como discutiremos más adelante.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

¿Has aprendido de algún modelo en las ciencias naturales o sociales que se formulen como sistemas dinámicos de tiempo discreto o de tiempo continuo como se muestra arriba? Si es así, ¿qué son? ¿Cuáles son las suposiciones detrás de esos modelos?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

¿Cuáles son algunas opciones apropiadas para las variables de estado en los siguientes sistemas?

• crecimiento poblacional
• péndulo oscilante
• movimientos de cuerpos celestes
• comportamiento de individuos “racionales” jugando un juego de negociación

¹ Una definición tradicional de sistemas dinámicos considera sistemas deterministas solamente, pero los comportamientos estocásticos (es decir, probabilísticos) también pueden modelarse en un sistema dinámico, por ejemplo, representando la distribución de probabilidad de los estados del sistema como un estado de meta-nivel.