3.2: Espacio de fase

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Los comportamientos de un sistema dinámico pueden estudiarse utilizando el concepto de un espacio de fase, el cual se define informalmente de la siguiente manera:

Definición: Phase Space

Un espacio de fase de un sistema dinámico es un espacio teórico donde cada estado del sistema se mapea a una ubicación espacial única.

El número de variables de estado necesarias para especificar de manera única el estado del sistema se denomina grados de libertad en el sistema. Se puede construir un espacio de fase de un sistema teniendo un eje para cada grado de libertad, es decir, tomando cada variable de estado como uno de los ejes ortogonales. Por lo tanto, los grados de libertad de un sistema son iguales a las dimensiones de su espacio de fase. Por ejemplo, describir el comportamiento de una pelota lanzada hacia arriba en un tubo vertical sin fricción se puede especificar con dos variables escalares, la posición y velocidad de la pelota, al menos hasta que vuelva a golpear el fondo. De esta manera se puede crear su espacio de fase en dos dimensiones, como se muestra en la Fig. 3.2.1.

Figura\(\PageIndex{1}\): Se lanza una pelota hacia arriba en un tubo vertical (izquierda) y una ilustración esquemática de su espacio de fase (derecha). El comportamiento dinámico de la pelota se puede visualizar como una trayectoria estática en el espacio de fase (flechas rojas).

Uno de los beneficios de dibujar un espacio de fase es que permite representar visualmente el comportamiento dinámicamente cambiante de un sistema como trayectoria estática en él. Esto proporciona una gran cantidad de intuición geométrica de la dinámica del sistema, lo que sería difícil de inferir si solo estuvieras mirando ecuaciones algebraicas.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

En el ejemplo anterior, cuando la bola golpea el suelo en el tubo vertical, su energía cinética se convierte rápidamente en energía elástica (es decir, deformación de la bola), y luego se convierte nuevamente en energía cinética (es decir, velocidad ascendente). Piensa en cómo puedes ilustrar este proceso en el espacio de fases. ¿Las dos dimensiones son suficientes o necesitas introducir una dimensión adicional? A continuación, tratar de ilustrar la trayectoria del sistema pasando por un evento de rebote en el espacio de fase.