4.2: Clasificaciones de ecuaciones modelo

Hay algunas terminologías técnicas que necesito introducir antes de continuar las discusiones:

Sistema lineal Una ecuación dinámica cuyas reglas implican solo una combinación lineal de variables de estado (una constante multiplicada por una variable, una constante o su suma).

Sistema no lineal Cualquier otra cosa (e.g., ecuación que involucra cuadrados, cubos, radicales, funciones trigonométricas, etc., de variables de estado).

Sistema de primer orden Una ecuación de diferencia cuyas reglas involucran variables de estado del pasado inmediato (en el momento\(t−1\)) solo ^a.

Sistema de orden superior Cualquier otra cosa.

^a Obsérvese que el significado de “orden” en este contexto es diferente del orden de términos en polinomios.

Sistema autónomo Una ecuación dinámica cuyas reglas no incluyen explícitamente el tiempo\(t\) ni ninguna otra variable externa.

Sistema no autónomo Una ecuación dinámica cuyas reglas sí incluyen el tiempo\(t\) u otras variables externas explícitamente.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Decidir si cada uno de los siguientes ejemplos es (1) lineal o no lineal, (2) de primer orden o de orden superior, y (3) autónomo o no autónomo

1. \(x_{t} = ax_{t−1} + b\)
2. \( x_{t} = ax_{t−1} + bx_{t−2} + cx_{t−3}\)
3. \( x_{t} = ax_{t−1}(1−x_{t−1})\)
4. \( x_{t} = ax_{t−1} + bxt−2^{2} + \sqrt[c]{x_{t−1}x_{t−3}}\)
5. \( x_{t} = ax_{t−1}x_{t−2} + bx_{t−3} + sin(t)\)
6. \(x_{t} = ax_{t−1} + by_{t−1}, y_{t} = cx_{t−1} + dy_{t−1}\)

Además, hay algunas cosas útiles que debes saber sobre estas clasificaciones:

Las ecuaciones de diferencia no autónomas de orden superior siempre se pueden convertir en formas autónomas de primer orden, introduciendo variables de estado adicionales.

Por ejemplo, la ecuación de diferencia de segundo orden

\[x_{t}=x_{t-1}+x_{t-2} \label{(4.5)} \]

(que se llama la secuencia de Fibonacci se puede convertir en una forma de primer orden introduciendo una variable de “memoria” de la\(y\) siguiente manera:

\[y_{t} = x_{t-1}\label{(4.6)} \]

Usando esto, se\(x_{t−2}\) puede reescribir como\(y_{t−1}\). Por lo tanto, la ecuación se puede reescribir de la siguiente manera:

\[ \begin{align} x_{t} &= x_{t-1}+y_{t-1}\label{(4.7)} \\[4pt] y_{t} &= x_{t-1}\label{(4.8)} \end{align} \]

Esto es ahora de primer orden. Esta técnica de conversión también funciona para ecuaciones de tercer orden o de orden superior, siempre y cuando la dependencia histórica sea finita. Del mismo modo, una ecuación no autónoma

\[x_{t} = x_{t-1} +t\label{(4.9)} \]

se puede convertir en una forma autónoma introduciendo una variable “reloj” z de la siguiente manera:

\[z_{t}= z_{t-1} +1, z_{0} =1\label{(4.10)} \]

Esta definición garantiza\(z_{t−1} = t\). Usando esto, la ecuación se puede reescribir como

\[x_{t} = x_{t-1}+ z_{t-1},\label{(4.11)} \]

que ahora es autónoma. Estos trucos matemáticos pueden parecer una especie de trampa, pero realmente no lo son El mensaje para llevar a casa sobre esto es que las ecuaciones autónomas de primer orden pueden cubrir toda la dinámica de cualquier ecuación no autónoma, de orden superior. Esto nos da la confianza de que podemos enfocarnos de manera segura en ecuaciones autónomas de primer orden sin perder nada fundamental. Esta es probablemente la razón por la que las ecuaciones autónomas de diferencia de primer orden se llaman con un nombre particular: mapas iterativos.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Convierta las siguientes ecuaciones de diferencia en una forma autónoma de primer orden.

1. \(x_{t} = x_{t-1}(1-x_{t-1})sint\)

2. \(x_{t} = x_{t-1} +x_{t-2}-x_{t-3}\)

Otra cosa importante de las ecuaciones dinámicas es la siguiente distinción entre sistemas lineales y no lineales:

Las ecuaciones lineales son siempre analíticamente solucionables, mientras que las ecuaciones no lineales no tienen soluciones analíticas en general.

Aquí, una solución analítica significa una solución escrita en forma de\(x_{t} = f(t)\) sin usar variables de estado en el lado derecho. Este tipo de solución también se llama solución de forma cerrada porque el lado derecho está “cerrado”, es decir, solo necesita\(t\) y no necesita\(x\). Obtener una solución de forma cerrada es útil porque le brinda una manera de calcular (es decir, predecir) el estado del sistema directamente desde cualquier\(t\) momento en el futuro, sin simular realmente toda la historia de su comportamiento. Desafortunadamente esto no es posible para sistemas no lineales en la mayoría de los casos.