4.5: Construyendo su propia ecuación de modelo
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Ahora que ya sabes cómo simular la dinámica de las ecuaciones de diferencia, quizás quieras intentar construir tu propia ecuación modelo y probar sus comportamientos. Entonces surge una pregunta: ¿Cómo construyes tu propia ecuación modelo?
Las matemáticas son un lenguaje que se utiliza para describir el mundo. Así como así no hay una sola manera correcta de describir una idea en inglés, tampoco hay una sola forma correcta de construir una ecuación de modelo matemático. Es altamente dependiente de su propia alfabetización personal, creatividad y expresividad en el lenguaje de las matemáticas. En última instancia, solo necesitas seguir “leyendo” y “escribiendo” matemáticas todos los días, para poder mejorar en la construcción de modelos matemáticos. Dicho esto, hay algunos consejos prácticos que puedo ofrecerte para ayudarte a construir tus propias ecuaciones modelo. Aquí están:
1. Si no estás seguro de por dónde empezar, simplemente toma un modelo existente y afítalo.
2. Implementar cada suposición de modelo uno por uno. No trates de llegar al modelo final en un solo salto.
3. Para implementar una nueva suposición, primero identifique qué parte de la ecuación del modelo representa la cantidad que está a punto de cambiar, reemplácela con una función desconocida y luego diseñe la función.
4. Siempre que sea posible, adoptar la forma matemática más simple.
5. Una vez que tu ecuación esté completa, comprueba si se comporta como deseaste. A menudo es útil probar su comportamiento con valores extremos asignados a variables y/o parámetros.
Permítanme ilustrar cada uno de esos consejos pasando por un ejemplo. Considera construir otro modelo de crecimiento poblacional que pueda mostrar no sólo crecimiento exponencial sino también convergencia a cierto límite poblacional. ¿Alguna idea de por dónde empezar? Como sugiere el primer consejo, podrías usar un modelo existente que sea similar al que quieres modelar, y luego modificarlo según tus necesidades. Dado que este ejemplo trata sobre el crecimiento de la población, ya conocemos uno de esos modelos: el modelo de crecimiento exponencial. Entonces comencemos ahí:
\[x_{t}=ax_{t-1}\label{(4.19)} \]
Este modelo es muy sencillo. Consta de solo dos componentes: la relación de crecimiento\(a\) y el tamaño de la población\(x_{t−1}\).
El segundo consejo dice que debes tomar un enfoque paso a paso. Entonces pensemos en lo que adicionalmente necesitamos implementar en este modelo. Nuestro nuevo modelo debe mostrar los siguientes dos comportamientos:
- Crecimiento exponencial
- Convergencia a un determinado límite poblacional
Deberíamos revisar primero el primero. El modelo original ya muestra un crecimiento exponencial por sí mismo, por lo que esto ya está hecho. Entonces pasamos a la segunda. Obviamente, el modelo original no muestra tal convergencia, así que esto es lo que necesitaremos implementar en el modelo. El tercer consejo dice que hay que enfocarse en un componente específico para ser revisado. Aquí hay muchas opciones. Podrías revisar\(a\),\(x_{t−1}\), o incluso podrías agregar otro término al lado derecho. Pero en este caso particular, la convergencia a cierto límite significa que la relación de crecimiento\(a\) debe ir a 1 (es decir, sin crecimiento neto). Entonces, podemos enfocarnos en la parte a, y reemplazarla por una función desconocida del tamaño de la población\(f(x_{t−1})\). La ecuación del modelo ahora se ve así:
\[x_{t}=f(x_{t-1})x_{t-1}\label{(4.20)} \]
Ahora tu tarea acaba de ser más sencilla: solo para diseñar la función\(f(x)\). Piense en las limitaciones que tiene que satisfacer. \(f(x)\)debe estar cerca de la constante original\(a\) cuando la población es pequeña, es decir, cuando hay suficientes recursos ambientales, para mostrar un crecimiento exponencial. Mientras tanto,\(f(x)\) debería acercarse al 1 cuando la población se acerque a una capacidad de carga del medio ambiente (llamémoslo\(K\) por ahora). Matemáticamente hablando, estas restricciones significan que la función\(f(x)\) necesita pasar por los dos puntos siguientes:\((x,f(x)) = (0,a)\) y\((K,1)\).
Y aquí es donde entra el cuarto tip. Si no tienes información adicional sobre cómo debería ser el modelo, debes elegir la forma más simple posible que satisfaga los requisitos. En este caso particular, una línea recta que conecta los dos puntos anteriores es la más simple (Fig. 4.5.1), la cual viene dada por
\[f(x)= -\frac{a-1}{K}x+a.\label{(4.21)} \]
Puede enchufar esta forma en la ecuación original, para completar una nueva ecuación matemática:
\[x_{t} =-(\frac{a-1}{K} x_{t-1} +a) x_{t-1}\label{(4.22)} \]
Ahora parece que su construcción de maquetas está completa. Siguiendo el quinto consejo, vamos a comprobar si el nuevo modelo se comporta de la manera que pretendiste. Como sugiere el consejo, las pruebas con valores extremos a menudo ayudan a descubrir posibles problemas en el modelo. ¿Qué pasa cuando\(x_{t−1} = 0\)?
En este caso, la ecuación se vuelve\(x_{t = 0}\), por lo que no hay crecimiento. Esto tiene perfecto sentido; si no quedan organismos, no debería haber crecimiento. Otro caso extremo: ¿qué pasa cuando\(x_{t−1} = K\)? En este caso, la ecuación se convierte\(x_{t} = x_{t−1}\), es decir, el sistema mantiene el mismo tamaño de población. Este es el nuevo comportamiento convergente que querías implementar, por lo que esta también es una buena noticia. Ahora puedes comprobar los comportamientos del nuevo modelo mediante simulaciones por computadora.
Simular el comportamiento del nuevo modelo de crecimiento poblacional para varios valores diferentes de parámetro\(a\) y condición inicial\(x_{0}\) para ver qué tipo de comportamientos son posibles.
\[x_{t} = -(\frac{a-1}{K} x_{t-1} +a)x_{t-1}\label{(4.23)} \]
Para su información, la nueva ecuación modelo que acabamos de derivar anteriormente en realidad tiene un nombre particular; se llama el modelo de crecimiento logístico en biología matemática y varias otras disciplinas. Puede aplicar una sustitución de parámetros\(r = a−1\) para convertir la ecuación en una forma más conocida:
\[x_{t} = -(\frac{a-1}{K} x_{t-1} +a)x_{t-1}\label{(4.24)} \]
\[=-(\frac{r}{K}x_{t-1} +r+1)x_{t-1}\label{ (4.25)} \]
\[=x_{t-1}+rx_{t-1}(1- \frac{x_{t-1}}{K})\label{(4.26)} \]
Esta fórmula tiene dos términos en su lado derecho: el tamaño actual de la población\((x_{t−1})\) y el número de recién nacidos\((rx_{t−1}(···))\). Si\(x\) es mucho menor que\(K\), el valor dentro de los paréntesis se acerca a 1, y así el modelo se aproxima por
\[x_{t} \approx x_{t-1} +rx_{t-1}.\label{(4.27)} \]
Esto significa que\(r\) tiempos la población actual se suma a la población en cada paso de tiempo, resultando en un crecimiento exponencial. Pero cuando se\(x\) acerca a\(K\), dentro de los paréntesis se acerca a 0, por lo que no habrá crecimiento neto.
Crear un modelo matemático de crecimiento poblacional en el que la relación de crecimiento sea mayor en un determinado tamaño óptimo de población, pero baje a medida que la población se desvía del tamaño óptimo. Luego simule su comportamiento y vea en qué se diferencia su comportamiento del del modelo de crecimiento logístico.