8.1:8.1 ¿Qué son las bifurcaciones?
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Una de las preguntas importantes que puedes responder analizando matemáticamente un sistema dinámico es cómo el comportamiento a largo plazo del sistema depende de sus parámetros. La mayoría de las veces, se puede suponer que un ligero cambio en los valores de los parámetros también causa un ligero cambio cuantitativo en el comportamiento del sistema, sin cambios en la estructura esencial del espacio de fase del sistema. Sin embargo, a veces puede ser testigo de que un ligero cambio en los valores de los parámetros provoca un cambio drástico y cualitativo en el comportamiento del sistema, con la estructura de su espacio de fase alterada topológicamente. Esto se llama bifurcación, y los valores de los parámetros en los que se produce una bifurcación se denominan umbrales críticos.
La bifurcación es un cambio cualitativo y topológico del espacio de fase de un sistema que ocurre cuando algunos parámetros varían ligeramente a través de sus umbrales críticos.
Las bifurcaciones juegan un papel importante en muchos sistemas del mundo real como mecanismo de conmutación. Los ejemplos incluyen excitación de neuronas, formación de patrones en morfogénesis (esto se discutirá más adelante), transición catastrófica de estados ecosistémicos y almacenamiento de información binaria en la memoria de la computadora, por nombrar algunos.
Hay dos categorías de bifurcaciones. A uno se le llama bifurcación local, que puede caracterizarse por un cambio en la estabilidad de los puntos de equilibrio. Se llama local porque solo se puede detectar y analizar mediante el uso de información localizada alrededor del punto de equilibrio. La otra categoría se denomina bifurcación global, que ocurre cuando las características no locales del espacio de fase, como los ciclos límite (que se discutirán más adelante), chocan con puntos de equilibrio en un espacio de fase. Este tipo de bifurcación no se puede caracterizar solo por el uso de información localizada alrededor del punto de equilibrio. En este libro de texto, nos enfocamos únicamente en las bifurcaciones locales, ya que pueden analizarse fácilmente utilizando los conceptos de estabilidad lineal que discutimos en los capítulos anteriores.
Las bifurcaciones locales ocurren cuando la estabilidad de un punto de equilibrio cambia entre estable e inestable. Matemáticamente, esta condición se puede anotar de la siguiente manera:
Las bifurcaciones locales ocurren cuando los valores propios\(λ_{i}\) de la matriz jacobiana en un punto de equilibrio satisfacen lo siguiente:
- Para modelos de tiempo discreto:\(|λ_{i}| = 1\) para algunos\(i\), mientras que\(|λ_{i}| < 1\) para el resto.
- Para modelos de tiempo continuo:\(Re(λ_{i}) = 0\) para algunos\(i\), mientras que\(Re(λ_{i}) < 0\) para el resto.
Estas condicionesdescriben la situación acríticacuando el equilibrio puntidocambia su estabilidad. Podemos formular estas condiciones en ecuaciones y luego resolverlas en términos de los parámetros, con el fin de obtener sus umbrales críticos. Veamos cómo se puede hacer este análisis a través de algunos ejemplos a continuación.