17.6: Surtido
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Los grados son una métrica medida en nodos individuales. Pero cuando nos enfocamos en los bordes, siempre hay dos grados asociados a cada borde, uno para el nodo donde se origina el borde y el otro para el nodo a donde apunta el borde. Entonces, si tomamos el primero para x y el segundo para y de todos los bordes de la red, podemos producir una gráfica de dispersión que visualice una posible correlación de grados entre los nodos a través de los bordes. Tales correlaciones de las propiedades de los nodos a través de los bordes se pueden describir generalmente con el concepto de surtatividad:
Assortatividad (surtido positivo) La tendencia de los nodos a conectarse a otros nodos con propiedades similares dentro de una red.
Desordenatividad (surtido negativo) La tendencia de los nodos a conectarse a otros nodos con propiedades disímiles dentro de una red.
Coeficiente de surtido
\[r =\frac{ \sum_{(i,j)\epsilon{E}}(f(i) -\bar{f} _{1})(f(j) -\bar{f}_{2})}{ \sqrt{\sum_{(i,j)\epsilon{E}} (f(j) -\bar{f}_{2}) } \sqrt{ \sum_{(i,j)\epsilon{E}} (f(j) -\bar{f}_{2})^{2}} } \label{(17.33)} \]
donde\(E\) está el conjunto de bordes dirigidos (los bordes no dirigidos deben aparecer dos veces\(E\) en dos direcciones), y
\[\bar{f}_{1} =\frac{\sum_{i,j}\epsilon{E} {f(i)}}{|E|}, \qquad \bar{f}_{2} =\frac{\sum_{i,j}\epsilon{E} f(j)}{|E|}. \label{(17.34)} \]
El coeficiente de ordenatividad es un coeficiente de correlación de Pearson de alguna propiedad de nodo\(f\) entre pares de nodos conectados. Los coeficientes positivos implican surtido, mientras que los negativos implican desordenatividad.
Si la propiedad medida es un grado de nodo (es decir,\(f = deg\)), esto se denomina coeficiente de ordenatividad de grados. Para las redes dirigidas, cada\(\bar{f}_1\) una de las\(\bar{f}_2\) puede ser en grado o fuera de grado, por lo que hay cuatro surtidos de grados diferentes que puede medir: in-in, in-out, out-in y out-out.
Veamos algún ejemplo. A continuación se explica cómo dibujar un gráfico de dispersión de grados y grados:
En este ejemplo, dibujamos un diagrama de dispersión grado-grado para una red Barab'asi-Albert con 1,000 nodos. Para cada borde, los grados de sus dos extremos se almacenan en xdata e ydata dos veces en diferentes órdenes, ya que un borde no dirigido se puede contar en dos direcciones. Los marcadores en la gráfica se hacen transparentes usando la opción alfa para que podamos ver las variaciones de densidad en la gráfica.
El resultado se muestra en la Fig. 17.6.1, donde cada punto representa un borde dirigido en la red (así, un borde no dirigido está representado por dos puntos colocados simétricamente a través de una línea de espejo diagonal). Se puede ver que la mayoría de los bordes conectan nodos de bajo grado entre sí, con algunos bordes conectando nodos de bajo grado y alto grado, pero es bastante raro que los nodos de alto grado estén conectados entre sí. Por lo tanto, existe una leve correlación negativa de grados en este caso.
Figura\(\PageIndex{1}\): Salida visual del código 17.19.
Podemos confirmar esta observación calculando el coeficiente de surtido de grados de la siguiente manera:
Esta función también tiene las opciones x (for\(\bar{f}_1\)) e y (for\(\bar{f}_2\)) para especificar qué grados se utilizan en el cálculo de coeficientes para redes dirigidas:
También hay otras funciones que pueden calcular surtidos de propiedades de nodo distintas a grados. Consulte la documentación en línea de NetworkX para obtener más detalles.
Medir el coeficiente de surtatividad de grados de la gráfica Karate Club. Explicar el resultado en vista de la topología real de la gráfica.
Se sabe que las redes del mundo real muestran una variedad de surtividad. En general, las redes sociales de individuos humanos, como las relaciones de colaboración entre científicos o directores corporativos, tienden a mostrar una surtatividad positiva, mientras que las redes tecnológicas (red eléctrica, Internet, etc.) y las redes biológicas (interacciones proteicas, redes neuronales, redes alimentarias, etc.) tienden a mostrar surtido negativo [76].
Mientras tanto, también se sabe que las redes libres de escala de un tamaño finito (que son muchas redes del mundo real) muestran naturalmente una desordenatividad negativa puramente por limitaciones estructurales inherentes, lo que se denomina corte estructural [25]. Tal desordenatividad surge porque simplemente no hay suficientes nodos hub disponibles para que ellos mismos se conecten entre sí para mantener la surtividad. Esto significa que las surtividades positivas que se encuentran en las redes sociales humanas indican que definitivamente existe algún mecanismo de selección que impulsa su autoorganización, mientras que las surtividades negativas que se encuentran en las redes tecnológicas y biológicas pueden explicarse por esta sencilla razón estructural. Para determinar si una red que muestre una surtibilidad negativa es fundamentalmente desordenada por razones no estructurales, deberá realizar un experimento de control aleatorizando su topología y midiendo la surtividad manteniendo la misma distribución de grados.
Aleatorizar la topología de la gráfica Karate Club manteniendo su secuencia de grados, y luego medir el coeficiente de surtatividad de grados de la gráfica aleatoria. Repita esto muchas veces para obtener una distribución de los coeficientes para las gráficas aleatorias. A continuación, compare la distribución con la surtividad real de la gráfica original de Karate Club. Con base en el resultado, determinar si la gráfica de Karate Club es realmente surtida o desordenada.