18.1: Dinámica de las Redes Continuo-Estatales

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Ahora cambiaremos de marcha al análisis de las propiedades dinámicas de las redes. Primero discutiremos cómo algunas de las técnicas analíticas que ya cubrimos en capítulos anteriores se pueden aplicar a modelos de redes dinámicas, y luego pasaremos a algunos temas adicionales que son específicos de las redes.

En primer lugar, me gustaría dejar claro que ya estábamos discutiendo modelos dinámicos de redes en capítulos anteriores. Un típico sistema dinámico autónomo de tiempo discreto

\[x_{t} =F(x_{t-1}) \label{(18.1)} \]

o uno de tiempo continuo

\[\frac{dx}{dt} =F(x), \label{(18.2)} \]

puede considerarse una red dinámica si el espacio de estado es multidimensional. Por ejemplo, un sistema con un espacio de estado de cinco dimensiones puede verse como una red dinámica compuesta por cinco nodos, cada uno con un estado escalar que cambia dinámicamente en función de la regla matemática determinada en función\(F\) (Fig. 18.1). Más específicamente, la dinámica del estado del nodo i está determinada por la\(i\) -ésima parte dimensional de\(F\), y si esa parte se refiere al componente\(j\) -ésimo del vector de estado, entonces el nodo\(j\) se conecta al nodo\(i\), y así sucesivamente.

Esto significa que las redes dinámicas no son fundamentalmente diferentes de otros sistemas dinámicos. Por lo tanto, si los estados de nodo son continuos, entonces todos los

Higo 18.1.PNG — Figura\(\PageIndex{1}\): Ilustración esquemática de cómo un sistema dinámico multidimensional puede ser visto como una red dinámica. Izquierda: Ecuaciones dinámicas reales. Derecha: Relaciones interdependientes entre variables, representadas como una red dinámica.

técnicas que discutimos anteriormente —encontrar puntos de equilibrio, linealizar dinámicas alrededor de un punto de equilibrio, analizar la estabilidad del estado del sistema utilizando valores propios de una matriz jacobiana, etc.— se aplicarán a modelos dinámicos de redes sin ninguna modificación.

El análisis de redes dinámicas es más sencillo cuando el modelo es lineal, es decir,

\[x_{t} =Ax_{t-1} \label{(18.3)} \]

\[\frac{dx}{dt} =Ax \label{(18.4)} \]

Si este es el caso, todo lo que necesita hacer es encontrar valores propios de la matriz de coeficientes\(A\), identificar los valores propios dominantes\(λ_d\) (con el mayor valor absoluto para casos de tiempo discreto, o la parte real más grande para casos de tiempo continuo), y luego determinar la estabilidad del sistema estado alrededor del origen comparando\(|λ_d|\_ with 1 for discrete-time cases, or \(Re(λ_d)\) con 0 para casos de tiempo continuo. El (los) vector (es) propio (es) dominante (es) que corresponde (n) a decirnos\(λ_d\) también el estado asintótico de la red. Si bien esta metodología no se aplica a otros modelos de redes no lineales más generales, sigue siendo bastante útil, ya que muchas dinámicas de red importantes se pueden escribir como modelos lineales. Uno de esos ejemplos es la difusión, que discutiremos en la siguiente sección con más detalle.