5.1: El problema del valor propio

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Sea A una\(n\) matriz\(n\) -by-,\(x\) un vector de columna\(n\) -by- 1 y\(\lambda\) un escalar. El problema del valor propio para una matriz A dada resuelve

\[A x=\lambda x \nonumber \]

para\(n\) valores propios\(\lambda_{i}\) con vectores propios correspondientes\(\mathrm{x}_{i}\). Dado que\(\mathrm{Ix}=\mathrm{x}\), donde\(\mathrm{I}\) está la matriz de\(n\) identidad\(n\) -by-, podemos reescribir la ecuación de valor propio Ecuación\ ref {5.1} como

\[(\mathrm{A}-\lambda \mathrm{I}) \mathrm{x}=0 . \nonumber \]

La solución trivial a esta ecuación es\(x=0\), y para que existan soluciones no triviales, la\(n\) -by-\(n\) matriz A\(-\lambda I\), que es la matriz A con\(\lambda\) restada de su diagonal, debe ser singular. De ahí que para determinar las soluciones no triviales, debemos exigir que

\[\operatorname{det}(\mathrm{A}-\lambda \mathrm{I})=0 . \nonumber \]

Usando la fórmula grande para el determinante, se puede ver que la Ecuación\ ref {5.3} es una ecuación polinómica de orden\(n\) -ésimo en\(\lambda\), y se llama la ecuación característica de A. La ecuación característica se puede resolver para los valores propios, y para cada autovalor, a el vector propio correspondiente se puede determinar directamente a partir de la Ecuación\ ref {5.2}.

Podemos demostrar cómo encontrar los valores propios de una matriz general de 2 por 2 dada por

\[A=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \text {. } \nonumber \]

Tenemos

\[\begin{aligned} 0 &=\operatorname{det}(\mathrm{A}-\lambda \mathrm{I}) \\ &=\left|\begin{array}{cc} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{array}\right| \\ &=(a-\lambda)(d-\lambda)-b c \\ &=\lambda^{2}-(a+d) \lambda+(a d-b c), \end{aligned} \nonumber \]

que puede escribirse de manera más general como

\[\lambda^{2}-\operatorname{Tr} \mathrm{A} \lambda+\operatorname{det} \mathrm{A}=0 \nonumber \]

donde\(\operatorname{Tr} \mathrm{A}\) es la traza, o suma de los elementos diagonales, de la matriz\(\mathrm{A}\).

Dado que la ecuación característica de una matriz de dos por dos es una ecuación cuadrática, puede tener (i) dos raíces reales distintas; (ii) dos raíces conjugadas complejas distintas; o (iii) una raíz real degenerada. Es decir, los valores propios y los vectores propios pueden ser reales o complejos, y que para ciertas matrices defectuosas, puede haber valores propios y vectores propios menos que\(n\) distintos.

Si\(\lambda_{1}\) es un valor propio de nuestra matriz 2 por 2\(A\), entonces el vector propio correspondiente se\(\mathrm{x}_{1}\) puede encontrar resolviendo

\[\left(\begin{array}{cc} a-\lambda_{1} & b \\ c & d-\lambda_{1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{11} \\ x_{21} \end{array}\right)=0 \nonumber \]

donde la ecuación de la segunda fila siempre será un múltiplo de la ecuación de la primera fila porque el determinante de la matriz en el lado izquierdo es cero. El vector propio se\(\mathrm{x}_{1}\) puede multiplicar por cualquier constante distinta de cero y seguir siendo un vector propio. Podríamos normalizar\(x_{1}\), por ejemplo, tomando\(x_{11}=1\) o\(\left|x_{1}\right|=1\), o lo que sea, dependiendo de nuestras necesidades.

La ecuación de la primera fila de la ecuación\ ref {5.5} es

\[\left(a-\lambda_{1}\right) x_{11}+b x_{21}=0, \nonumber \]

y podríamos tomar\(x_{11}=1\) para encontrar\(x_{21}=\left(\lambda_{1}-a\right) / b\). Estos resultados generalmente se derivan según sea necesario cuando se dan matrices específicas.

Ejemplo: Encuentra los valores propios y vectores propios de las siguientes matrices:

\[\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \text { and }\left(\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array}\right) \nonumber \]

Para

\[\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \nonumber \]

la ecuación característica es

\[\lambda^{2}-1=0, \nonumber \]

con soluciones\(\lambda_{1}=1\) y\(\lambda_{2}=-1\). El primer vector propio se encuentra resolviendo\(\left(\mathrm{A}-\lambda_{1} \mathrm{I}\right) \mathrm{x}_{1}=0\), o

\[\left(\begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{11} \\ x_{21} \end{array}\right)=0, \nonumber \]

así que eso\(x_{21}=x_{11}\). El segundo vector propio se encuentra resolviendo\(\left(\mathrm{A}-\lambda_{2} \mathrm{I}\right) \mathrm{x}_{2}=0\), o

\[\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{12} \\ x_{22} \end{array}\right)=0, \nonumber \]

así que eso\(x_{22}=-x_{12}\). Por lo tanto, los autovalores y los vectores propios están dados por

\[\lambda_{1}=1, \mathrm{x}_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) ; \quad \lambda_{2}=-1, \mathrm{x}_{2}=\left(\begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array}\right) \nonumber \]

Para encontrar los valores propios y vectores propios de la segunda matriz podemos seguir este mismo procedimiento. O mejor aún, podemos tomar un atajo. Let

\[A=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \quad \text { and } \quad B=\left(\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array}\right) \nonumber \]

Conocemos los valores propios y los vectores propios de\(\mathrm{A}\) y eso\(\mathrm{B}=\mathrm{A}+3 \mathrm{I}\). Por lo tanto, al\(\lambda_{\mathrm{B}}\) representar los valores propios de\(\mathrm{B}\), y\(\lambda_{\mathrm{A}}\) representar los valores propios de\(A\), tenemos

\[0=\operatorname{det}\left(\mathrm{B}-\lambda_{\mathrm{B}} \mathrm{I}\right)=\operatorname{det}\left(\mathrm{A}+3 \mathrm{I}-\lambda_{\mathrm{B}} \mathrm{I}\right)=\operatorname{det}\left(\mathrm{A}-\left(\lambda_{\mathrm{B}}-3\right) \mathrm{I}\right)=\operatorname{det}\left(\mathrm{A}-\lambda_{\mathrm{A}} \mathrm{I}\right) \nonumber \]

Por lo tanto,\(\lambda_{\mathrm{B}}=\lambda_{\mathrm{A}}+3\) y los valores propios de\(\mathrm{B}\) son 4 y 2. Los vectores propios siguen siendo los mismos.

Es útil notar eso\(\lambda_{1}+\lambda_{2}=\operatorname{Tr} \mathrm{A}\) y aquello\(\lambda_{1} \lambda_{2}=\operatorname{det} \mathrm{A}\). El resultado análogo para\(n\) las matrices\(n\) -by- también es cierto y vale la pena recordar. En particular, sumar los valores propios y compararlos con el rastro de la matriz proporciona una comprobación rápida de su álgebra.

Ejemplo: Encuentra los valores propios y vectores propios de las siguientes matrices:

\[\left(\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \text { and }\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \nonumber \]

Para

\[A=\left(\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \nonumber \]

la ecuación característica es

\[\lambda^{2}+1=0 \nonumber \]

con soluciones\(i\) y\(-i\). Observe que si la matriz\(A\) es real, entonces el conjugado complejo de la ecuación del valor propio\(A x=\lambda x\) es\(A \bar{x}=\bar{\lambda} \bar{x}\). Entonces si\(\lambda\) y\(x\) es un valor propio y un vector propio de una matriz real\(A\) entonces también lo son los conjugados complejos\(\bar{\lambda}\) y\(\bar{x}\). Los valores propios y los vectores propios de una matriz real aparecen como pares conjugados complejos.

El vector propio asociado con\(\lambda=i\) se determina a partir de\((\mathrm{A}-i \mathrm{I}) \mathrm{x}=0\), o

\[\left(\begin{array}{rr} -i & -1 \\ 1 & -i \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=0 \nonumber \]

o\(x_{1}=i x_{2}\). Por lo tanto, los vectores propios y los vectores propios de\(\mathrm{A}\) están dados por

\[\lambda=i, \quad \mathbf{X}=\left(\begin{array}{l} i \\ 1 \end{array}\right) ; \quad \bar{\lambda}=-i, \quad \overline{\mathrm{X}}=\left(\begin{array}{r} -i \\ 1 \end{array}\right) \nonumber \]

Para

\[B=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \nonumber \]

la ecuación característica es

\[\lambda^{2}=0, \nonumber \]

para que haya un valor propio degenerado de cero. El vector propio asociado con el valor propio cero si se encuentra desde\(\mathrm{Bx}=0\) y tiene cero segundo componente. Por lo tanto, esta matriz es defectuosa y tiene solo un valor propio y un vector propio dados por

\[\lambda=0, \quad \mathrm{x}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right) \nonumber \]

Ejemplo: Encuentra los valores propios y los vectores propios de la matriz de rotación:

\[R=\left(\begin{array}{rr} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right) \nonumber \]

La ecuación característica viene dada por

\[\lambda^{2}-2 \cos \theta \lambda+1=0, \nonumber \]

con solución

\[\lambda_{\pm}=\cos \theta \pm \sqrt{\cos ^{2} \theta-1}=\cos \theta \pm i \sin \theta=e^{\pm i \theta} \nonumber \]

El vector propio correspondiente a\(\lambda=e^{i \theta}\) se encuentra de

\[-i \sin \theta x_{1}-\sin \theta x_{2}=0, \nonumber \]

o\(x_{2}=-i x_{1}\). Por lo tanto, los valores propios y los vectores propios son

\[\lambda=e^{i \theta}, \quad x=\left(\begin{array}{r} 1 \\ -i \end{array}\right) \nonumber \]

y sus complejos conjugados.