1.9: Integrales indefinidas de funciones elementales

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A partir de nuestras conocidas derivadas de funciones elementales, podemos determinar algunas integrales indefinidas simples. La regla del poder nos da\[\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c,\quad n\neq -1.\nonumber\]

Cuando\(n = −1\), y\(x\) es positivo, tenemos\[\int\frac{1}{x}dx=\ln x+c.\nonumber\]

Si\(x\) es negativo, usando la regla de la cadena tenemos\[\frac{d}{dx}\ln (-x)=\frac{1}{x}.\nonumber\]

Por lo tanto, ya que\[|x|=\left\{\begin{array}{ll}-x&\text{if }x<0; \\ x&\text{if }x>0,\end{array}\right.\nonumber\] podemos generalizar nuestra integral indefinida a estrictamente positiva o estrictamente negativa\(x\):

\[\int\frac{1}{x}dx=\ln |x|+c.\nonumber\]

También se pueden integrar funciones trigonométricas:

\[\int\cos xdx=\sin x+c,\quad\int\sin xdx=-\cos x+c.\nonumber\]

Las identidades fácilmente probadas son una regla de adición:

\[\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx;\nonumber\]y multiplicación por una constante:

\[\int Af(x)dx=A\int f(x)dx.\nonumber\]

Esto permite la integración de funciones\[\int (x^2+7x+2)dx=\frac{x^3}{3}+\frac{7x^2}{2}+2x+c,\nonumber\] como\[\int (5\cos x+\sin x)dx=5\sin x-\cos x+c.\nonumber\]