5.1: Definición y Propiedades
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La idea principal es transformar la ecuación diferencial de coeficiente constante para\(x(t)\) en una ecuación algebraica más simple para la función transformada de Laplace\(X(s)\), resolver esta ecuación algebraica, y luego transformar de\(X(s)\) nuevo en\(x(t)\). La correcta definición de la transformación de Laplace y las propiedades que satisface esta transformación hacen posible este método de solución.
Se utiliza un ansatz exponencial para resolver odas homogéneas de coeficiente constante, y la función exponencial juega correspondientemente un papel clave en la definición de la transformada de Laplace. La transformación de Laplace de\(f(t)\), denotada por\(F(s) = \mathcal{L}\{ f(t)\}\), se define por la transformación integral \[\label{eq:1}F(s)\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt.\]
La integral impropia dada por\(\eqref{eq:1}\) diverge si\(f(t)\) crece más rápido que\(e^{st}\) para grandes\(t\). En consecuencia,\(s\) puede requerirse alguna restricción en el rango de para garantizar la convergencia de\(\eqref{eq:1}\), y asumiremos sin mayor detalle que estas restricciones siempre se satisfacen.
La transformación de Laplace es una transformación lineal. Tenemos\[\begin{aligned}\mathcal{L}\{c_1f_1(t)+c_2f_2(t)\}&=\int_0^{\infty}e^{-st}(c_1f_1(t)+c_2f_2(t))dt \\ &=c_1\int_0^{\infty}e^{-st}f_1(t)dt+c_2\int_0^{\infty}e^{-st}f_2(t)dt \\ &=c_1\mathcal{L}\{f_1(t)\}+c_2\mathcal{L}\{f_2(t)\}.\end{aligned}\]
También hay una correspondencia uno a uno entre las funciones y sus transformaciones de Laplace. Por lo tanto, se puede construir una tabla de transformaciones de Laplace y usarse para encontrar transformaciones de Laplace e inversas de funciones que ocurren comúnmente. Dicha tabla se muestra en Tabla\(\PageIndex{1}\) (y esta tabla se distribuirá con los exámenes). En Tabla\(\PageIndex{1}\),\(n\) es un entero positivo. Además, las entradas crípticas para\(u_c(t)\) y se\(\delta (t − c)\) explicarán más adelante en §5.3.
Tabla\(\PageIndex{1}\): Tabla de Transformadores Laplace
| \(f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}\) | \(F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}\) |
|---|---|
| \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">1. \(e^{at}f(t)\) | \ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle F(s-a)\) |
| \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">2. \(1\) | \ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{1}{s}\) |
| \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">3. \(e^{at}\) | \ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{1}{s-a}\) |
| \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">4. \(t^n\) | \ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{n!}{s^{n+1}}\) |
| \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">5. \(t^ne^{at}\) | \ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}\) |
| \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">6. \(\sin bt\) | \ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{b}{s^2+b^2}\) |
| \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">7. \(\cos bt\) | \ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{s}{s^2+b^2}\) |
| \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">8. \(e^{at}\sin bt\) | \ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{b}{(s-a)^2+b^2}\) |
| \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">9. \(e^{at}\cos bt\) | \ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}\) |
| \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">10. \(t\sin bt\) | \ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{2bs}{(s^2+b^2)^2}\) |
| \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">11. \(t\cos by\) | \ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{s^2-b^2}{(s^2+b^2)^2}\) |
| \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">12. \(u_c(t)\) | \ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{e^{-cs}}{s}\) |
| \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">13. \(u_c(t)f(t-c)\) | \ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle e^{-cs}F(s)\) |
| \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">14. \(\delta (t-c)\) | \ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle e^{-cs}\) |
| \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">15. \(\overset{.}{x}(t)\) | \ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle sX(s)-x(0)\) |
| \ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">16. \(\overset{..}{s}(t)\) | \ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle s^2X(s)-sx(0)-\overset{.}{x}(0)\) |
Las filas de Table se\(\PageIndex{1}\) pueden determinar mediante una combinación de integración directa y algunos trucos. Primero calculamos directamente la transformada de Laplace de\(e^{at} f(t)\) (línea 1):
\[\begin{aligned}\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}&=\int_0^{\infty}e^{-st}e^{at}f(t)dt \\ &=\int_0^{\infty}e^{-(s-a)t}f(t)dt \\ &=F(s-a).\end{aligned}\]
También calculamos directamente la transformada de Laplace de\(1\) (línea 2):
\[\begin{aligned}\mathcal{L}\{1\}&=\int_0^\infty e^{-st}dt \\ &=\left.-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_0^\infty \\ &=\frac{1}{s}.\end{aligned}\]
Ahora, la transformada de Laplace de\(e^{at}\) (línea 3) se puede encontrar usando estos dos resultados:
\[\begin{align}\mathcal{L}\{e^{at}\}&=\mathcal{L}\{e^{at}\cdot 1\}\nonumber \\ &=\frac{1}{s-a}.\label{eq:2}\end{align}\]
La transformación de\(t^n\) (línea 4) se puede encontrar por integración sucesiva por partes. Un método más interesante utiliza expansiones de la serie Taylor para\(e^{at}\) y\(1/(s − a)\). Tenemos \[\begin{align}\mathcal{L}\{e^{at}\}&=\mathcal{L}\left\{\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(at)^n}{n!}\right\}\nonumber \\ &=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{a^n}{n!}\mathcal{L}\{t^n\}.\label{eq:3}\end{align}\]
Usando\(\eqref{eq:2}\) e igualando los coeficientes de potencias de\(a\) in\(\eqref{eq:3}\) y\(\eqref{eq:4}\), da como resultado la línea 4:
\[\mathcal{L}\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}}.\nonumber\]
La transformada de Laplace de\(t^n e^{at}\) (línea 5) se puede encontrar en la línea 1 y la línea 4:
\[\mathcal{L}\{t^ne^{at}\}=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}.\nonumber\]
La transformada de Laplace de\(\sin bt\) (línea 6) se puede encontrar a partir de la transformada de Laplace de\(e^{at}\) (línea 3) usando\(a = ib\):
\[\begin{aligned}\mathcal{L}\{\sin bt\}&=\text{Im }\{\mathcal{L}\{e^{ibt}\}\} \\ &=\text{Im }\left\{\frac{1}{s-ib}\right\} \\ &=\text{Im }\left\{\frac{s+ib}{s^2+b^2}\right\} \\ &=\frac{b}{s^2+b^2}.\end{aligned}\]
Del mismo modo, la transformada de Laplace de\(\cos bt\) (línea 7) es\[\begin{aligned}\mathcal{L}\{\cos bt\}&=\text{Re }\{\mathcal{L}\{e^{ibt}\}\} \\ &=\frac{s}{s^2+b^2}.\end{aligned}\]
La transformación de\(e^{at} \sin bt\) (línea 8) se puede encontrar a partir de la transformada de\(\sin bt\) (línea 6) y línea 1:
\[\mathcal{L}\{e^{at}\sin bt\}=\frac{b}{(s-a)^2+b^2};\nonumber\]y de manera similar para la transformación de\(e^{at}\cos bt\):
\[\mathcal{L}\{e^{at}\cos bt\}=\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}.\nonumber\]
La transformada de Laplace de\(t \sin bt\) (línea 10) se puede encontrar a partir de la transformada de Laplace de\(te^{at}\) (línea 5 con\(n = 1\)) usando\(a = ib\):
\[\begin{aligned}\mathcal{L}\{t\sin bt\}&=\text{Im }\{\mathcal{L}\{te^{ibt}\}\} \\ &=\text{Im }\left\{\frac{1}{(s-ib)^2}\right\} \\ &=\text{Im }\left\{\frac{(s+ib)^2}{(s^2+b^2)^2}\right\} \\ &=\frac{2bs}{(s^2+b^2)^2}.\end{aligned}\]
Del mismo modo, la transformada de Laplace de\(t \cos bt\) (línea 11) es\[\begin{aligned}\mathcal{L}\{t\cos bt\}&=\text{Re }\{\mathcal{L}\{te^{ibt}\}\} \\ &=\text{Re }\left\{\frac{(s+ib)^2}{(s^2+b^2)^2}\right\} \\ &=\frac{s^2-b^2}{(s^2+b^2)^2}.\end{aligned}\]
Ahora transformamos el coeficiente constante no homogéneo, de segundo orden, oda lineal no homogénea para\(x = x(t)\),\[a\overset{..}{x}+b\overset{.}{x}+cx=g(t),\nonumber\] haciendo uso de la linealidad de la transformada de Laplace:
\[a\mathcal{L}\{\overset{.}{x}\}+b\mathcal{L}\{\overset{.}{x}\}+c\mathcal{L}\{x\}=\mathcal{L}\{g\}.\nonumber\]
Determinar la transformación de Laplace de\(\overset{.}{x}(t)\) (línea 15) en términos de la transformación de Laplace\(x(t)\) y las condiciones iniciales\(x(0)\) y\(\overset{.}{x}(0)\)\(X(s) =\mathcal{L}\{x(t)\}\), definimos e integramos\[\int_0^{\infty}e^{-st}\overset{.}{x}dt\nonumber\] por partes. Dejamos\[\begin{array}{ccc}u=e^{-st}&\quad &dv=\overset{.}{x}dt \\ du=-se^{-st}dt&\quad &v=x.\end{array}\nonumber\]
Por lo tanto,\[\begin{aligned}\int_0^{\infty}e^{-st}\overset{.}{x}dt&=xe^{-st}]_0^{\infty}+s\int_0^{\infty}e^{-st}xdt \\ &=sX(s)-x(0),\end{aligned}\] donde se supone la convergencia de la transformación de Laplace requiere\[\underset{t\to\infty}{\lim}x(t)e^{-st}=0.\nonumber\]
De igual manera, la transformada de Laplace de\(\overset{..}{x}(t)\) (línea 16) se determina integrando\[\int_0^{\infty}e^{-st}\overset{..}{x}dt\nonumber\] por partes y utilizando el resultado recién derivado para la primera derivada. Dejamos\[\begin{array}{ccc}u=e^{-st}&\quad &dv=\overset{..}{x}dt \\ du=-se^{-st}dt&\quad&v=\overset{.}{x},\end{array}\nonumber\] así que\[\begin{aligned}\int_0^{\infty}e^{-st}\overset{..}{x}dt&=\overset{.}{x}e^{-st}]_0^{\infty}+s\int_0^{\infty}e^{-st}\overset{.}{x}dt \\ &=-\overset{.}{x}(0)+s(sX(s)-x(0)) \\ &=s^2X(s)-sx(0)-\overset{.}{x}(0),\end{aligned}\] donde de manera similar asumimos\(\lim_{t\to\infty}\overset{.}{x}(t)e^{-st}=0\).