5.1: Definición y Propiedades

Ver tutorial en YouTube

La idea principal es transformar la ecuación diferencial de coeficiente constante para\(x(t)\) en una ecuación algebraica más simple para la función transformada de Laplace\(X(s)\), resolver esta ecuación algebraica, y luego transformar de\(X(s)\) nuevo en\(x(t)\). La correcta definición de la transformación de Laplace y las propiedades que satisface esta transformación hacen posible este método de solución.

Se utiliza un ansatz exponencial para resolver odas homogéneas de coeficiente constante, y la función exponencial juega correspondientemente un papel clave en la definición de la transformada de Laplace. La transformación de Laplace de\(f(t)\), denotada por\(F(s) = \mathcal{L}\{ f(t)\}\), se define por la transformación integral \[\label{eq:1}F(s)\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt.\]

La integral impropia dada por\(\eqref{eq:1}\) diverge si\(f(t)\) crece más rápido que\(e^{st}\) para grandes\(t\). En consecuencia,\(s\) puede requerirse alguna restricción en el rango de para garantizar la convergencia de\(\eqref{eq:1}\), y asumiremos sin mayor detalle que estas restricciones siempre se satisfacen.

La transformación de Laplace es una transformación lineal. Tenemos\[\begin{aligned}\mathcal{L}\{c_1f_1(t)+c_2f_2(t)\}&=\int_0^{\infty}e^{-st}(c_1f_1(t)+c_2f_2(t))dt \\ &=c_1\int_0^{\infty}e^{-st}f_1(t)dt+c_2\int_0^{\infty}e^{-st}f_2(t)dt \\ &=c_1\mathcal{L}\{f_1(t)\}+c_2\mathcal{L}\{f_2(t)\}.\end{aligned}\]

También hay una correspondencia uno a uno entre las funciones y sus transformaciones de Laplace. Por lo tanto, se puede construir una tabla de transformaciones de Laplace y usarse para encontrar transformaciones de Laplace e inversas de funciones que ocurren comúnmente. Dicha tabla se muestra en Tabla\(\PageIndex{1}\) (y esta tabla se distribuirá con los exámenes). En Tabla\(\PageIndex{1}\),\(n\) es un entero positivo. Además, las entradas crípticas para\(u_c(t)\) y se\(\delta (t − c)\) explicarán más adelante en §5.3.

Tabla\(\PageIndex{1}\): Tabla de Transformadores Laplace

\(f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}\)	\(F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}\)
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">1. \(e^{at}f(t)\)	\ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle F(s-a)\)
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">2. \(1\)	\ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{1}{s}\)
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">3. \(e^{at}\)	\ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{1}{s-a}\)
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">4. \(t^n\)	\ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{n!}{s^{n+1}}\)
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">5. \(t^ne^{at}\)	\ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}\)
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">6. \(\sin bt\)	\ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{b}{s^2+b^2}\)
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">7. \(\cos bt\)	\ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{s}{s^2+b^2}\)
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">8. \(e^{at}\sin bt\)	\ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{b}{(s-a)^2+b^2}\)
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">9. \(e^{at}\cos bt\)	\ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}\)
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">10. \(t\sin bt\)	\ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{2bs}{(s^2+b^2)^2}\)
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">11. \(t\cos by\)	\ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{s^2-b^2}{(s^2+b^2)^2}\)
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">12. \(u_c(t)\)	\ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle\frac{e^{-cs}}{s}\)
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">13. \(u_c(t)f(t-c)\)	\ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle e^{-cs}F(s)\)
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">14. \(\delta (t-c)\)	\ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle e^{-cs}\)
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">15. \(\overset{.}{x}(t)\)	\ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle sX(s)-x(0)\)
\ (f (t) =\ mathcal {L} ^ {-1}\ {F (s)\}\) ">16. \(\overset{..}{s}(t)\)	\ (F (s) =\ mathcal {L}\ {f (t)\}\) ">\(\displaystyle s^2X(s)-sx(0)-\overset{.}{x}(0)\)

Las filas de Table se\(\PageIndex{1}\) pueden determinar mediante una combinación de integración directa y algunos trucos. Primero calculamos directamente la transformada de Laplace de\(e^{at} f(t)\) (línea 1):

\[\begin{aligned}\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}&=\int_0^{\infty}e^{-st}e^{at}f(t)dt \\ &=\int_0^{\infty}e^{-(s-a)t}f(t)dt \\ &=F(s-a).\end{aligned}\]

También calculamos directamente la transformada de Laplace de\(1\) (línea 2):

\[\begin{aligned}\mathcal{L}\{1\}&=\int_0^\infty e^{-st}dt \\ &=\left.-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_0^\infty \\ &=\frac{1}{s}.\end{aligned}\]

Ahora, la transformada de Laplace de\(e^{at}\) (línea 3) se puede encontrar usando estos dos resultados:

\[\begin{align}\mathcal{L}\{e^{at}\}&=\mathcal{L}\{e^{at}\cdot 1\}\nonumber \\ &=\frac{1}{s-a}.\label{eq:2}\end{align}\]

La transformación de\(t^n\) (línea 4) se puede encontrar por integración sucesiva por partes. Un método más interesante utiliza expansiones de la serie Taylor para\(e^{at}\) y\(1/(s − a)\). Tenemos \[\begin{align}\mathcal{L}\{e^{at}\}&=\mathcal{L}\left\{\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(at)^n}{n!}\right\}\nonumber \\ &=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{a^n}{n!}\mathcal{L}\{t^n\}.\label{eq:3}\end{align}\]

Además, con\(s > a\), \[\begin{align}\frac{1}{s-a}&=\frac{1}{s(1-\frac{a}{s})}\nonumber \\ &=\frac{1}{s}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{a}{s}\right)^n\label{eq:4} \\ &=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{a^n}{s^{n+1}}.\nonumber\end{align}\]

Usando\(\eqref{eq:2}\) e igualando los coeficientes de potencias de\(a\) in\(\eqref{eq:3}\) y\(\eqref{eq:4}\), da como resultado la línea 4:

\[\mathcal{L}\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}}.\nonumber\]

La transformada de Laplace de\(t^n e^{at}\) (línea 5) se puede encontrar en la línea 1 y la línea 4:

\[\mathcal{L}\{t^ne^{at}\}=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}.\nonumber\]

La transformada de Laplace de\(\sin bt\) (línea 6) se puede encontrar a partir de la transformada de Laplace de\(e^{at}\) (línea 3) usando\(a = ib\):

\[\begin{aligned}\mathcal{L}\{\sin bt\}&=\text{Im }\{\mathcal{L}\{e^{ibt}\}\} \\ &=\text{Im }\left\{\frac{1}{s-ib}\right\} \\ &=\text{Im }\left\{\frac{s+ib}{s^2+b^2}\right\} \\ &=\frac{b}{s^2+b^2}.\end{aligned}\]

Del mismo modo, la transformada de Laplace de\(\cos bt\) (línea 7) es\[\begin{aligned}\mathcal{L}\{\cos bt\}&=\text{Re }\{\mathcal{L}\{e^{ibt}\}\} \\ &=\frac{s}{s^2+b^2}.\end{aligned}\]

La transformación de\(e^{at} \sin bt\) (línea 8) se puede encontrar a partir de la transformada de\(\sin bt\) (línea 6) y línea 1:

\[\mathcal{L}\{e^{at}\sin bt\}=\frac{b}{(s-a)^2+b^2};\nonumber\]y de manera similar para la transformación de\(e^{at}\cos bt\):

\[\mathcal{L}\{e^{at}\cos bt\}=\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}.\nonumber\]

La transformada de Laplace de\(t \sin bt\) (línea 10) se puede encontrar a partir de la transformada de Laplace de\(te^{at}\) (línea 5 con\(n = 1\)) usando\(a = ib\):

\[\begin{aligned}\mathcal{L}\{t\sin bt\}&=\text{Im }\{\mathcal{L}\{te^{ibt}\}\} \\ &=\text{Im }\left\{\frac{1}{(s-ib)^2}\right\} \\ &=\text{Im }\left\{\frac{(s+ib)^2}{(s^2+b^2)^2}\right\} \\ &=\frac{2bs}{(s^2+b^2)^2}.\end{aligned}\]

Del mismo modo, la transformada de Laplace de\(t \cos bt\) (línea 11) es\[\begin{aligned}\mathcal{L}\{t\cos bt\}&=\text{Re }\{\mathcal{L}\{te^{ibt}\}\} \\ &=\text{Re }\left\{\frac{(s+ib)^2}{(s^2+b^2)^2}\right\} \\ &=\frac{s^2-b^2}{(s^2+b^2)^2}.\end{aligned}\]

Ahora transformamos el coeficiente constante no homogéneo, de segundo orden, oda lineal no homogénea para\(x = x(t)\),\[a\overset{..}{x}+b\overset{.}{x}+cx=g(t),\nonumber\] haciendo uso de la linealidad de la transformada de Laplace:

\[a\mathcal{L}\{\overset{.}{x}\}+b\mathcal{L}\{\overset{.}{x}\}+c\mathcal{L}\{x\}=\mathcal{L}\{g\}.\nonumber\]

Determinar la transformación de Laplace de\(\overset{.}{x}(t)\) (línea 15) en términos de la transformación de Laplace\(x(t)\) y las condiciones iniciales\(x(0)\) y\(\overset{.}{x}(0)\)\(X(s) =\mathcal{L}\{x(t)\}\), definimos e integramos\[\int_0^{\infty}e^{-st}\overset{.}{x}dt\nonumber\] por partes. Dejamos\[\begin{array}{ccc}u=e^{-st}&\quad &dv=\overset{.}{x}dt \\ du=-se^{-st}dt&\quad &v=x.\end{array}\nonumber\]

Por lo tanto,\[\begin{aligned}\int_0^{\infty}e^{-st}\overset{.}{x}dt&=xe^{-st}]_0^{\infty}+s\int_0^{\infty}e^{-st}xdt \\ &=sX(s)-x(0),\end{aligned}\] donde se supone la convergencia de la transformación de Laplace requiere\[\underset{t\to\infty}{\lim}x(t)e^{-st}=0.\nonumber\]

De igual manera, la transformada de Laplace de\(\overset{..}{x}(t)\) (línea 16) se determina integrando\[\int_0^{\infty}e^{-st}\overset{..}{x}dt\nonumber\] por partes y utilizando el resultado recién derivado para la primera derivada. Dejamos\[\begin{array}{ccc}u=e^{-st}&\quad &dv=\overset{..}{x}dt \\ du=-se^{-st}dt&\quad&v=\overset{.}{x},\end{array}\nonumber\] así que\[\begin{aligned}\int_0^{\infty}e^{-st}\overset{..}{x}dt&=\overset{.}{x}e^{-st}]_0^{\infty}+s\int_0^{\infty}e^{-st}\overset{.}{x}dt \\ &=-\overset{.}{x}(0)+s(sX(s)-x(0)) \\ &=s^2X(s)-sx(0)-\overset{.}{x}(0),\end{aligned}\] donde de manera similar asumimos\(\lim_{t\to\infty}\overset{.}{x}(t)e^{-st}=0\).