5.2: Solución de problemas de valor inicial
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Comenzamos con una oda homogénea simple y mostramos que el método de transformación de Laplace produce un resultado idéntico al método previamente aprendido. Luego aplicamos el método de transformación de Laplace para resolver una ecuación no homogénea.
Resolver\(\overset{..}{x}-\overset{.}{x}-2x=0\) con\(x(0)=1\) y\(\overset{.}{x}(0)=0\) por dos métodos diferentes.
Solución
La ecuación característica de la oda se determina a partir del ansatz\(x = e^{rt}\) y es\[r^2-r-2=(r-2)(r+1)=0.\nonumber\]
La solución general de la oda es, por lo tanto\[x(t)=c_1e^{2t}+c_2e^{-t}.\nonumber\]
Para satisfacer las condiciones iniciales, debemos tener\(1 = c_1 + c_2\) y\(0 = 2c_1 − c_2\), requiriendo\(c_1 =\frac{1}{3}\) y\(c_2 = \frac{2}{3}\). Por lo tanto, la solución a la oda que satisface las condiciones iniciales viene dada por \[\label{eq:1}x(t)=\frac{1}{3}e^{2t}+\frac{2}{3}e^{-t}.\]
Ahora resolvemos este ejemplo usando la transformación de Laplace. Tomando la transformación de Laplace de ambos lados de la oda, usando la linealidad de la transformación, y aplicando nuestro resultado para la transformación de la primera y segunda derivada, encontramos\[[s^2X(s)-sx(0)-\overset{.}{x}(0)]-[sX(s)-x(0)]-[2X(s)]=0,\nonumber\] o\[X(s)=\frac{(s-1)x(0)+\overset{.}{x}(0)}{s^2-s-2}.\nonumber\]
Nótese que el denominador del lado derecho es solo el cuadrático de la ecuación característica de la oda homogénea, y que este factor surge de las derivadas del término exponencial en la integral transformada de Laplace.
Aplicando las condiciones iniciales, encontramos \[\label{eq:2}X(s)=\frac{s-1}{(s-2)(s+1)}.\]
Así, hemos determinado la solución transformada de Laplace\(X(s) =\mathcal{L}\{x(t)\}\). Ahora necesitamos calcular la transformada inversa de Laplace\(x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}\).
Sin embargo, la inversión directa\(\eqref{eq:2}\) de la búsqueda Cuadro 5.1.1 no es posible, pero una expansión parcial de la fracción puede ser útil. En particular, escribimos \[\label{eq:3}\frac{s-1}{(s-2)(s+1)}=\frac{a}{s-2}+\frac{b}{s+1}.\]
El método de encubrimiento se puede utilizar para resolver\(a\) y\(b\). Multiplicamos ambos lados de\(\eqref{eq:3}\) por\(s − 2\) y ponemos\(s = 2\) para aislar\(a\):
\[\begin{aligned}a&=\left.\frac{s-1}{s+1}\right]_{s=2} \\ &=\frac{1}{3}.\end{aligned}\]
Del mismo modo, multiplicamos ambos lados de\(\eqref{eq:3}\) por\(s + 1\) y ponemos\(s = −1\) para aislar\(b\):
\[\begin{aligned}b&=\left.\frac{s-1}{s-2}\right]_{s=-1} \\ &=\frac{2}{3}.\end{aligned}\]
Por lo tanto,\[X(s)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s-2}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{s+1},\nonumber\] y la línea 3 del Cuadro 5.1.1 nos da las transformaciones inversas de cada término por separado para rendir\[x(t)=\frac{1}{3}e^{2t}+\frac{2}{3}e^{-t},\nonumber\] idénticas a\(\eqref{eq:1}\).
Resolver\(\overset{..}{x}+x=\sin 2t\) con\(x(0)=2\) y\(\overset{.}{x}(0)=1\) por métodos de transformación de Laplace.
Solución
Tomando la transformación de Laplace de ambos lados de la oda, encontramos\[\begin{aligned}s^2X(s)-sx(0)-\overset{.}{x}(0)+X(s)&=\mathcal{L}\{\sin 2t\} \\ &=\frac{2}{s^2+4},\end{aligned}\] donde la transformación de Laplace de\(\sin 2t\) hizo uso de la línea 6 de la Tabla 5.1.1. Sustituyendo\(x(0)\)\(\overset{.}{x}(0)\) y resolviendo\(X(s)\), obtenemos\[X(s)=\frac{2s+1}{s^2+1}+\frac{2}{(s^2+1)(s^2+4)}.\nonumber\]
Para determinar la transformada inversa de Laplace a partir de la Tabla 5.1.1, realizamos una expansión parcial de fracción del segundo término:
\[\label{eq:4}\frac{2}{(s^2+1)(s^2+4)}=\frac{as+b}{s^2+1}+\frac{cs+d}{s^2+4}.\]
Por inspección, podemos observar eso\(a = c = 0\) y aquello\(d = −b\). Un cálculo rápido muestra que\(3b = 2,\) o\(b = 2/3\). Por lo tanto,\[\begin{aligned}X(s)&=\frac{2s+1}{s^2+1}+\frac{2/3}{s^2+1}-\frac{2/3}{(s^2+4)} \\ &=\frac{2s}{s^2+1}+\frac{5/3}{s^2+1}-\frac{2/3}{(s^2+4)}.\end{aligned}\]
De las líneas 6 y 7 del Cuadro 5.1.1, obtenemos la solución tomando transformadas inversas de Laplace de los tres términos por separado, donde\(b = 1\) en los dos primeros términos, y\(b = 2\) en el tercer término:
\[x(t)=2\cos t+\frac{5}{3}\sin t-\frac{1}{3}\sin 2t.\nonumber\]