3.1: Conjunto de problemas
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EJERCIO\(\PageIndex{1}\)
Considere el siguiente campo vectorial autónomo en R:
\[\dot{x} = x-x^3, x \in \mathbb{R}. \label{3.11}\]
- Calentar todos los equilibrios y determinar su estabilidad, es decir, ¿son Lyapunov estables, asintóticamente estables o inestables?
- Calentar el flujo generado por (3.11) y verificar los resultados de estabilidad para los equilibrios directamente del flujo.
EJERCIO\(\PageIndex{2}\)
Considere un campo vectorial autónomo en\(\mathbb{R}^n\):
\[\dot{x} = f(x), x \in \mathbb{R}^n. \label{3.12}\]
Supongamos que\(M \subset \mathbb{R}^n\) es un conjunto delimitado e invariante para (3.12). Dejar\(\phi_{t}(\cdot)\) denotar el flujo generado por (3.12). Supongamos\(p \in \mathbb{R}^n, p \notin M\). ¿Es posible que
\(\phi_{t}(p) \in M\),
para algunos t finitos?
EJERCIO\(\PageIndex{3}\)
Considere el siguiente campo vectorial en el plano:
\(\dot{x} = x-x^3\),
\[\dot{y} = -y, (x, y) \in \mathbb{R}^2. \label{3.13}\]
- Determinar conjuntos invariantes 0-dimensionales, unidimensionales y bidimensionales.
- Determinar los conjuntos atrayentes y sus cuencas de atracción.
- Describir las órbitas heteroclínicas y calcular expresiones analíticas para las órbitas heteroclínicas.
- ¿El campo vectorial tiene órbitas periódicas?
- Esboza el retrato de fase.6